何東林, 李煜彥

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，742500，甘肅省隴南市)

半對(duì)偶雙模在交換代數(shù)的對(duì)偶理論中扮演著重要角色.Foxby[1],Vasconcelos[2]和Golod[3]分別研究了交換Noether局部環(huán)上的半對(duì)偶模.White[4]討論了關(guān)于半對(duì)偶模的 Auslander類和Bass類.隨后,Holm和White[5]將半對(duì)偶模的概念推廣到任意一對(duì)結(jié)合環(huán)R和S上,并研究了半對(duì)偶雙模RCS的Auslander類和Bass類,分別記作AC(S)和BC(R).Tang 和Huang[6]討論了模的關(guān)于Bass類BC(R)的內(nèi)射維數(shù).基于以上研究背景,本文主要研究模的關(guān)于Auslander類AC(S)的投射維數(shù),給出左S-模M的Auslander投射維數(shù)AC(S)pd(SM)≤n的若干等價(jià)刻畫.

1 定義與引理

定義1[5]稱滿足下列條件的左S-模組成的類為關(guān)于半對(duì)偶雙模RCS的Auslander類,記為AC(S).

定義2 設(shè)M是左S-模.若存在正合列0→An→…→A1→A0→M→0,其中Ai∈AC(S)(0≤i≤n),則稱模M的Auslander維數(shù)小于等于n,記作AC(S)pd(SM)≤n.并記AC(S)pd(SM)=inf{n|AC(S)pd(SM)≤n}.若這樣的非負(fù)整數(shù)n不存在,那么記AC(S)pd(SM)=+∞.

引理1 模類AC(S)包含所有投射左S-模且關(guān)于擴(kuò)張和滿同態(tài)的核封閉.

證明由文獻(xiàn)[9]中定理6.2易證.

引理2[5]設(shè)RCS是半對(duì)偶雙模,則模類IC(S)={HomR(C,I)|I是內(nèi)射左R-模}關(guān)于直積和直和因子封閉.

引理3[9]設(shè)x,y是Abel范疇A上的子范疇,x是y的余生成子且x關(guān)于直和因子封閉,則y∩y⊥?x.

2 主要結(jié)論

證明不妨設(shè)AC(S)pd(SM)=n<+∞.下面對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=0時(shí),有AC(S)pd(SM)=0.易知M∈AC(S),結(jié)論成立.

(1)

(2)

假設(shè)結(jié)論對(duì)于n-1成立,下面討論對(duì)n的情形.由AC(S)pd(SM)=n知,存在正合列

0→An→…→A1→A0→M→0,

(3)

(4)

綜上所述,M∈AC(S).

定理2 設(shè)M是左S-模,AC(S)pd(SM)<+∞且n為非負(fù)整數(shù),則以下條件等價(jià)：

(1)AC(S)pd(SM)≤n；

(2)對(duì)任意m≥n有Ωm(M)∈AC(S)；

可得正合列

0→Ωn(M)→Pn-1⊕An→Pn-2⊕An-1→…→P0⊕A1→M⊕A0→M→0.

(5)

因?yàn)?→A0→A0⊕M→M→0可裂,所以序列

0→Ωn(M)→Pn-1⊕An→Pn-2⊕An-1→…→P0⊕A1→A0→0.

(6)

由引理1知,Pi∈AC(S)(0≤i≤n).又因?yàn)锳C(S)關(guān)于有限直和及滿同態(tài)的核封閉,所以Ωn(M)∈AC(S).而在正合列0→Ωn+1(M)→Pn→Ωn(M)→0中Pn∈AC(S),由引理1知Ωn+1(M)∈AC(S).依次類推可得,對(duì)任意m≥n都有Ωn(M)∈AC(S).

(7)

(8)

又因?yàn)锳C(S)pd(SM)<+∞,所以AC(S)pd(K)<+∞.根據(jù)定理1可得K∈AC(S).因此AC(S)pd(SM)≤n.

命題1 IC(S)是AC(S)的內(nèi)射余生成子.

(9)

另一方面,對(duì)任意HomR(C,I)∈IC(S)和任意i≥1,有同構(gòu)

(10)

命題2 AC(S)∩AC(S)⊥?IC(S).

證明由引理2知,IC(S)關(guān)于直和因子封閉.又由命題1知,IC(S)是AC(S)的內(nèi)射余生成子.根據(jù)引理3可得AC(S)∩AC(S)⊥?IC(S).

定理3 設(shè)0→U→V→W→0是左S-模正合列,

(1)若V∈AC(S),則AC(S)pd(W)≤AC(S)pd(U)+1.

(2)若U∈AC(S),則AC(S)pd(V)≤AC(S)pd(W).

(3)若W∈AC(S),則AC(S)pd(U)≤AC(S)pd(W).

證明(1)設(shè)V∈AC(S).若AC(S)pd(U)=+∞,則AC(S)pd(W)≤AC(S)pd(U)+1顯然成立.若AC(S)pd(U)<+∞,不妨設(shè)AC(S)pd(U)=n,則存在長(zhǎng)度為n的正合列0→An→…→A1→A0→U→0,其中Ai∈AC(S)(0≤i≤n).將上式與序列0→U→V→W→0拼接可得正合列

0→An→…→A1→A0→V→W→0,

(11)

因?yàn)锳i∈AC(S)(0≤i≤n)且V∈AC(S),所以AC(S)pd(W)=n+1,即AC(S)pd(W) ≤AC(S)pd(U)+1成立.

(2)設(shè)U∈AC(S).若AC(S)pd(W)=+∞,則AC(S)pd(V)≤AC(S)pd(W)顯然成立.若AC(S)pd(W)<+∞,不妨設(shè)AC(S)pd(W)=m,則存在正合列

(12)

(3)設(shè)W∈AC(S),若AC(S)pd(V)=+∞,則AC(S)pd(U)≤AC(S)pd(V)顯然成立.若AC(S)pd(V)<+∞,不妨設(shè)AC(S)pd(V)=l,則存在正合列

(13)

圖2U→V和A0″→V的拉回圖