王玉德， 毛鑫華

(曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

連續(xù)時間系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析一般是通過分析系統(tǒng)極點的位置來確定[1-4]，系統(tǒng)的靈敏度、相對穩(wěn)定性可通過分析極點與s平面的虛軸間的距離獲得.表征系統(tǒng)性能的一系列指標(biāo)，都直接或間接地與系統(tǒng)零、極點的位置有關(guān)[2，3].

下面從零、極點分布對系統(tǒng)時域響應(yīng)的影響，對系統(tǒng)根軌跡曲線的變化趨勢的影響兩個方面來討論零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響.

1 零點位置改變對系統(tǒng)根軌跡曲線的影響

圖1 系統(tǒng)零點z=0時的根軌跡曲線

圖2 系統(tǒng)零點分別為z=-1 000,-2,-1,-0.5時系統(tǒng)根軌跡曲線

圖3 系統(tǒng)零點分別為z=0.5，1，2，1 000時系統(tǒng)根軌跡曲線

2 增加極點對系統(tǒng)根軌跡曲線的影響

在上述二階系統(tǒng)的基礎(chǔ)上分別增加數(shù)值不等的雙極點p=-3，-4，-10，-12，-10 000，-11 000，根軌跡曲線如圖5. 圖5所示根軌跡曲線與圖4相比較可以看出，系統(tǒng)極點數(shù)目增加后系統(tǒng)根軌跡漸近線的分支數(shù)、漸近線的方向角發(fā)生了變化，根軌跡繼續(xù)向右傾斜，使得系統(tǒng)穩(wěn)定時根軌跡增益的調(diào)整范圍變得更小，使得系統(tǒng)更容易失去穩(wěn)定，故增加系統(tǒng)極點越多，越不利于改善系統(tǒng)的性能.

圖4 增加數(shù)值不等的單個極點的系統(tǒng)根軌跡曲線

圖5 增加雙極點前后系統(tǒng)根軌跡曲線

3 增加零點對系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響

從圖6看出，增加零點后系統(tǒng)響應(yīng)的靈敏性得到改善，上升時間比原系統(tǒng)的上升時間減少，同時系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的振蕩也更加劇烈，超調(diào)量增加，相對穩(wěn)定性能變差.同時，分析系統(tǒng)函數(shù)零點與s平面虛軸的距離對系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響，可以看出系統(tǒng)函數(shù)的零點越靠近s平面的虛軸，系統(tǒng)響應(yīng)變化就越劇烈，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差也越大.反之，增加的零點距離虛軸越遠(yuǎn)，則對系統(tǒng)響應(yīng)的影響越小.

圖6 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

在上面增加系統(tǒng)負(fù)實數(shù)零點實驗的基礎(chǔ)上，在原系統(tǒng)中增加正實數(shù)零點(z=5)，增加零點后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)變化如圖7.

圖7 增加負(fù)實數(shù)零點時系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

從圖7中看出，系統(tǒng)階躍響應(yīng)在給定輸入的初始階段出現(xiàn)了回歸的變化，然后再以較快的速度達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，但總體上對比零點增加前、后的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線看出，增加零點后系統(tǒng)的振蕩更強烈，超調(diào)量變大，響應(yīng)的上升時間大于原系統(tǒng)的上升時間，系統(tǒng)靈敏度和相對穩(wěn)定性能變差.

4 小 結(jié)

為研究系統(tǒng)的零極點分布對系統(tǒng)性能的影響，在已有系統(tǒng)函數(shù)上增加零、極點，畫出零、極點變化前后系統(tǒng)的根軌跡曲線，可以直觀地看到系統(tǒng)零、極點改變對系統(tǒng)根軌跡曲線的影響，為應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能提供了理論支撐.在分析零、極點分布對根軌跡曲線影響的基礎(chǔ)上，應(yīng)用時域分析法對增加零點前后系統(tǒng)階躍響應(yīng)進行分析，可以看出零點在向極點移動的過程中，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的動態(tài)分量的幅度在變小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性變好.