邱少芬

【摘要】將“完全平方公式”一課的教學思路定位為：學生能夠在恰當的數學情境中，完成對公式的思考和推導，并且能夠在獨立動手操作的過程中，從幾何的角度驗證公式的成立.另外，教師還要引導學生在小組合作中學會交流，激發(fā)其學習主動性，從而在層層遞進的問題鏈中提高他們的邏輯推理能力和自主探究能力.由此獲得對促進初中數學原理深度學習的教學策略的認識和思考.

【關鍵詞】數學原理;深度學習;核心素養(yǎng);高階思維

“萬丈高樓平地起”，如果沒有牢固的地基，多么宏偉的建筑也可能瞬間倒塌.數學原理，作為數學體系的基本元素，猶如我們數學學習中的“地基”，支撐著整個數學體系.因此，廣大教師有必要采取新穎且有效的教學方式來引導學生深入學習和把握數學原理.

一、認識概念“數學原理”

數學原理，即人們在觀察、實踐的基礎上，歸納得到的基本事實或方法，它是數學公理、定理、公式、性質和法則等的統(tǒng)稱.數學原理涉及的知識內容較為基礎，且綜合性較弱，常被教師忽視，等同于簡單內容.事實上，基礎與簡單是完全不同的，“基礎”指的是根本、重要，是學生需要掌握的必要內容，不能被認為只要介紹并進行機械訓練即可.結合實踐調研可知，在實踐教學中存在很多復雜的題目未被解決，究其根本，主要原因便是學生對基礎知識的理解不夠透徹、掌握不夠深入.由此可見，深入學習和深層掌握初中數學原理內容，是學生實現(xiàn)深度學習的必要環(huán)節(jié).

二、認識概念“深度學習”

蘇霍姆林斯基說過：“用記憶替代思考，用背誦替代對現(xiàn)象本質的清晰理解和觀察，能使孩子變得遲鈍，到頭來會使他喪失學習的愿望.”這段話生動地向我們描繪了某種教學方式，這種教學方式側重于強調應試技巧和手段，卻不能在教學的過程中引起學生的思考和探究.與之相反，深度學習則要求學生不能被動地接受知識，而應以主動的姿態(tài)和飽滿的情緒來獲取知識和技能，并且還應在發(fā)現(xiàn)、理解、思考的過程中慢慢將知識同化.它要求學生在這個過程中，感知、思維、情感、意志、價值觀必須全面參與.深度學習的目的指向具體的、社會的、人的全面發(fā)展，它是學生核心素養(yǎng)培育與發(fā)展的基本途徑.

下面，筆者就以新人教版數學八年級上冊“完全平方公式”一課為例，談談對基于深度學習的初中數學原理教學的一些認知與見解，旨在為其他教育工作者提供有效的借鑒和思路.

三、主要教學環(huán)節(jié)實錄

環(huán)節(jié)1巧設情境，激發(fā)學生的求知欲

題目：（1）（a+b）2=a2+b2;（2）（a-b）2=a2-b2.

師：學完“多項式×多項式”后，小明和小紅因為這道題爭得面紅耳赤.小明說這兩個式子的計算結果是正確的，而小紅卻說是錯誤的.你同意誰的觀點呢？

（學生熱烈討論）

生1：我贊成小明的觀點.我們學過（ab）2=a2b2，那么（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2也是正確的.

生2：我認為小紅是對的.（ab）2=a2b2是針對積的乘方的知識，并不能直接遷移到兩數和差的乘方中.

師：那正確的計算結果應該是什么呢？

生3：我認為（a+b）2和（a-b）2本質上都是“多項式×多項式”，應該用這個知識來計算.

師：（板書（1）（a+b）2=（a+b）（a+b），（2）（a-b）2=（a-b）（a-b））是這樣嗎？

（全體學生恍然大悟）

師：請大家按這樣的做法計算結果.

（學生計算出正確結果：（1）（a+b）2=a2+2ab+b2，（2）（a-b）2=a2-2ab+b2）

（教師引出新課課題）

環(huán)節(jié)2在教學過程中提高學生的動手操作能力和思維能力

師：現(xiàn)在每個小組手上的袋子里都有兩個邊長分別為a和b的正方形以及兩個長為a、寬為b的長方形.請每個小組成員進行合作，嘗試拼出一個大正方形.同時請思考：每個小圖形的面積與大正方形的面積之間有何關系？能否用等式表示？

（各小組學生圍站在一起，合作動手操作和思考，氣氛熱烈）

師：請完成任務的小組派代表上臺展示你們的合作成果.

（六個小組均派代表上講臺進行展示，都能展示出正確結果）

師：這個活動，大家都積極參與了，那你們知道這個活動結果證明了什么嗎？

生4：我們通過動手發(fā)現(xiàn)，剛才講到的第一個公式確實是成立的！

生5：我們從幾何的角度證明了第一個公式是成立的.

師：沒錯，我們不僅可以通過計算驗證公式，還可以從幾何的角度進行證明，有時候，數形結合能夠讓我們對知識的理解更加透徹！

師：下面我們通過動畫展示，也從幾何角度來證明第二個公式成立！

環(huán)節(jié)3游戲：一起來找不同

師：同學們玩過游戲“一起來找不同”嗎？下面，我們就來觀察這兩個公式，看看你們能不能找到它們的不同之處？

（1）（a+b）2=a2+2ab+b2，

（2）（a-b）2=a2-2ab+b2.

生（眾）：左邊的運算符號不同，右邊計算結果的第二項的符號也不同.

師：那么，右邊計算結果的第二項的符號，與左邊的式子的運算符號有沒有對應關系呢？

生6：有，若左邊是兩數的和的平方，則右邊第二項的符號為正！若左邊是兩數的差的平方，則右邊第二項的符號為負！

師：非常好，那么，右邊運算結果的每一項有什么特征嗎？

生7：第一項和第三項分別是左邊兩個數的平方，符號均為正.第二項是左邊兩數的積的2倍，符號與左邊運算符號相同.

師：同學們不僅能算出運算結果，還學會了在對比中尋找規(guī)律，這一點做得非常好.只有找到規(guī)律，才能準確地把這樣的公式結果應用到同類型的題目中，提高運算速度.下面兩道題目，你能根據公式的特點直接寫出答案嗎？

（x+6）2=;

（3-y）2=。

環(huán)節(jié)4嘗試該公式應用的活動：合作解決問題

師：如果a和b所代表的不僅是一個字母或者數字，那么在運用公式的過程中有沒有什么注意點呢？請你們先獨立完成題目，再小組同學進行合作，互相糾錯，并且找出錯誤的原因是什么.

計算：（1）y-122;

（2）（4m+n）2.

（教師等待學生合作完成，讓兩個小組的代表上臺展示，并指出易錯點）

師：在小組合作過程中，大家都認真地進行了討論和總結，相信你們一定有所收獲.大家都發(fā)現(xiàn)，易錯點主要是，（1）在運用公式的過程中，符號沒有對應好;（2）中間項漏乘二;（3）分數的平方或者式子的平方，底數容易漏掉括號，沒有突出這個底數是個整體.你們理解了嗎？敢來糾錯嗎？請看題目：

（1）（3y-2）2=3y2-12y+4;

（2）（2x+1）2=4x2+2x+1.

生8：我找到了，第一個題目等號右邊3y沒有加括號，這一項結果應該是9y2，第二小題等號右邊第二項不是兩數乘積的二倍，正確結果應該是4x.

師：大家知識鞏固得很好.下面兩道題就看看你們自己會不會避開這些錯誤.

計算：（1）（2a-5b）2;（2）34x+23y2

（待學生完成練習后，教師組織學生互相反饋和評價）

師：只要能抓住公式的本質，注意易錯點，題目就容易多了.那么，同學們，你們敢不敢來挑戰(zhàn)更容易錯的題目呢？

（學生很興奮）

師：請大家嘗試下面的題目，小組成員進行討論，爭取全組成員都能得到正確結果.

計算：（1）（-a+b）2;（2）（-a-b）2.

（第二小組上臺展示，并且指出了易錯點：第一個數-a是一個整體，在計算的時候應該帶括號強調整體，否則結果容易出現(xiàn)錯誤）

師：同學們，你們在討論的時候，很好地發(fā)現(xiàn)了第一個數-a是個易錯的麻煩，那么有沒有找到好的辦法來避開這個錯誤呢？

生9：要記住為-a加上括號.

師：有沒有更加徹底的辦法？例如，干掉這個讓人煩惱的“-”？

（學生熱烈討論）

生10：我們小組發(fā)現(xiàn)，只要把原式進行適當變形，題目的出錯率就會大大降低了.

（1）（-a+b）2=（b-a）2;（2）（-a-b）2=（a+b）2.

師：同學們，該小組的做法正確嗎？有合理的依據嗎？

生11：有，第一個式子是依據加法交換律變形的;第二個式子是依據互為相反數的兩數的平方相等來變形的.

師：同學們很善于發(fā)現(xiàn)和總結.是的，這里有個完全平方公式計算的小技巧：如果第一個數有負號，通?？梢韵茸冃?，（1）調換兩數的位置;（2）把括號里的數化為它的相反數，然后運用公式，這樣能大大降低出錯率.

師：下面請大家完成練習冊中的習題.

環(huán)節(jié)5回顧與思考，設置懸疑

（學生暢所欲言，進行反思與總結）

師：本節(jié)課大家都收獲滿滿，表現(xiàn)得也非常好，所以，老師要送你們一件禮物，也是一個挑戰(zhàn).（屏幕出現(xiàn)一個禮盒，點擊打開，彈出了一道題）

計算：（a+b+c）2.

師：同學們，你們能否接受老師這份禮物呢？希望課后你們能夠認真思考.下課！

四、對促進數學原理深度學習的課堂教學策略的幾點思考

（一）創(chuàng)設有效情境，激發(fā)學生的求知欲望

為充分彰顯數學課程的育人功能，教師需要意識到創(chuàng)設教學情境的重要性，并在實踐教學過程中嘗試創(chuàng)設適宜的教學情境，其中需要注意的一點便是，教師所創(chuàng)設的教學情境應符合大綱要求、貼合教材內容、極具有效性，使學生能夠立足于情境去思考，最終激發(fā)學生的求知欲望，使學生主動、輕松地獲取新知識.這就是深度學習的開始.

本節(jié)課，學生在小明和小紅的吵鬧聲中，從基于猜測（從將積的乘方錯誤地遷移到和差的平方）到基于知識回顧（多項式×多項式），一直上升至基于理解（公式成立），在此過程中，他們的知識體系進行了重組，學習經驗也得到了豐富.由此可以讓他們充分認識到，數學學習不能僅僅依靠猜想，還要運用所學知識去計算和推理.

（二）創(chuàng)新活動方式，組織學生在實踐中學習

在實踐教學過程中，教師還應結合即將開展的教學內容特點來創(chuàng)新活動方式，通過瀏覽網絡資源來學習和借鑒新穎且有效的活動組織方式來吸引學生的注意力、提升課堂“抬頭率”，使學生能夠沉浸到實踐學習中，將所學的知識點與技能點運用到實踐練習中，最終切實提高學生的動手操作能力，促使學生在動手的過程中主動進行邏輯思考，同時，也使得深度學習得以繼續(xù)進行.

本節(jié)課，學生通過動手拼湊正方形，不僅在實踐中發(fā)現(xiàn)結果：同一圖形面積的兩種不同表達結果是相等的，還能更好地體會到“數形結合”這一重要的數學思想，這可以使學生的知識結構得到進一步強化，使得他們的學習技巧得到進一步提升，這也是深度學習的結果.

（三）合作學習，自主互助，多向交流

調查得出，很多教師深受固化思維的限制和影響，并未完全摒棄舊有的教學觀念與方式，在數學課堂上采用的較多的是“灌注式”或“填鴨式”的教學方式，使得整個數學課堂較為沉悶乏味，無法激發(fā)學生參與課堂學習的內需與動力，甚至還會大幅度降低學生參與課堂活動的自主性和積極性.除此之外，課堂上也沒有留出充裕的時間讓學生和教師進行溝通交流，使得師生、生生間缺乏交流，這種教學方式忽略了學習者的學習主動性，只強調“教”，不重視“學”，最終導致教學效果不夠明顯.若教師組織學生開展合作學習，則能夠有效突破這一教學困境.教師通過合作學習，能夠給學生間、師生間留有充裕的時間和自由的空間進行學術交流和情感互通，從而充分彰顯學生在課堂上的主體地位，使學生成為課堂的主人，激活學生思維和學習的主動性，使學生體會到學習的成就感.

本節(jié)課中，教師多次組織學生進行合作學習，讓學生主動探究，使得他們在合作的過程中加深對新知識的印象，提高了協(xié)作能力，并在積極的交流過程中收獲更多，學習效益倍增.

（四）設計層層遞進的問題鏈，引導學生探究思考

朱德全先生曾指出，問題是教師教學的心臟，是學習學生的心臟，并且強調“問題解決指向人的發(fā)展”這一觀點，這與深度學習促進學生高階思維發(fā)展的理念是一致的.因此，在實踐教學過程中，教師需為引發(fā)學生思考設置層層遞進的問題鏈，使數學課堂更具探究性和啟發(fā)性，從而有效彰顯數學課堂的育人價值.環(huán)環(huán)相扣的數學問題可以使學生在問題的一步步引導下不斷深化和發(fā)展自己的思維邏輯，鍛煉自身的數學問題探究能力，最終進一步促進深度學習的發(fā)展，提升他們的數學學習能力和核心素養(yǎng).

本節(jié)課中，教師的問題鏈一直存在，并且是由淺入深和由易到難的.通過在恰當的時候設置適宜的問題，不僅能夠為學生指明思考的方向，還能在關鍵的時候幫助學生延續(xù)思路，使學生能夠有效突破學習重點和難點.

總而言之，為適應現(xiàn)代化教育教學的發(fā)展趨勢，小學教師應積極探尋優(yōu)化教學成效、構建高效課堂的策略，應立足于數學原理視域探尋實現(xiàn)深度學習的有效途徑.需要注意的是，數學深度學習是個長期變化的過程，教師應該在教學過程中不斷調整和貫徹這個理念.本文給出了一些促進數學原理教學的深度學習的策略，但是如何進行課堂教學的設計，讓學生真正在教學中深度學習是個必須深入研究的課題.在以后的教學中，筆者也會繼續(xù)加強這方面的學習和研究，希望這種教學方式的實施，能夠真正帶來學生學習能力的提高，同時為數學教學者提供有效借鑒！

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