[摘要]文章通過調(diào)查問卷、訪談，整理幾何教學(xué)難點(diǎn)和診斷學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中存在的問題，根據(jù)各種理論，結(jié)合平時(shí)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)制定了相應(yīng)的策略，并在實(shí)驗(yàn)班中進(jìn)行用策略的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)后總結(jié)了一些解決問題的方法和解決學(xué)生幾何推理難點(diǎn)的常用策略.

[關(guān)鍵詞]幾何推理;幾何教學(xué)難點(diǎn);教學(xué)策略;調(diào)查研究

作者簡介：馮國虎（1974），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲區(qū)優(yōu)秀教師稱號(hào)

目前對幾何學(xué)習(xí)的研究主要集中在對幾何圖形的研究，幾何證明方法個(gè)別題（一類題）的解題策略的探討（包括一題多解、變式、輔助線的添加等），以及各個(gè)層次學(xué)生幾何認(rèn)知差異的比較，但對學(xué)生幾何學(xué)習(xí)困難和成因形成的具體分析較少，特別是從通法上尋找解決幾何教學(xué)難點(diǎn)的研究較少.另外，

一般的研究都從教師的角度出發(fā)，而不是從學(xué)生的認(rèn)知過程、學(xué)生的自我反思、學(xué)生的自我調(diào)整的視角來審視學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中的困難，更少有針對學(xué)生幾何學(xué)習(xí)存在問題的診斷及其解決的策略和方法的研究，而這正是本文研究的方向

目前初中幾何學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀

長期以來，初中生數(shù)學(xué)能力發(fā)展水平的一個(gè)關(guān)鍵的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，或者說是劃分學(xué)生是否具有數(shù)學(xué)天賦的一個(gè)分水嶺就是初中的幾何證明.幾何證明有嚴(yán)格的邏輯要求，讓學(xué)生普遍認(rèn)為幾何太抽象、太難學(xué)從解題上看，學(xué)生不知從何著手，一部分學(xué)生雖然知道答案，但敘述不清楚，說不出理由，不少初學(xué)幾何的學(xué)生無法越過符號(hào)語言表述的障礙，本來會(huì)表達(dá)的意思都被符號(hào)語言弄糊涂了，對邏輯推理的證明過程幾乎不會(huì)寫.越是如此，學(xué)生越害怕幾何證明題，越無從下手，越不知道要怎么做馬瑞雅研究認(rèn)為歐氏幾何的特點(diǎn)是以直觀圖形為載體，在幾何計(jì)算和證明的實(shí)踐活動(dòng)中，圖形的千變?nèi)f化使得學(xué)生在解題過程中難以抓住圖形的本質(zhì)和重點(diǎn)，對題目所給信息不能正確提取和重組，找不到解決問題的突破口而無從下手.同時(shí)對基本的邏輯常識(shí)有欠缺，對逆命題、反證法等理解不了?.大多數(shù)學(xué)生幾何證明停留在模仿階段，遇到?jīng)]見過或需要作輔助線的題目時(shí)束手無策.東北師范大學(xué)馬海燕研究認(rèn)為，初中生對證明的一般性和證明的必要性掌握得不夠扎實(shí)，大部分學(xué)生認(rèn)為關(guān)于圖形的性質(zhì)，實(shí)驗(yàn)、

測量等方法可以充分說明，沒有必要再通過證明贅述，他們還停留在實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡期，沒能達(dá)到《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求.內(nèi)蒙古師范大學(xué)張麗紅研究認(rèn)為，差生被試傾向于采用單向推理策略和傾向于運(yùn)用回顧性監(jiān)控策略，解決問題策略不合理.在幾何學(xué)習(xí)上感到困難，學(xué)習(xí)不得法是其中一個(gè)重要的根源4.更重要的是學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中，好多學(xué)生不喜歡證明題，尤其是初三年級的學(xué)生，大部分學(xué)生都覺得證明題難.雖然在被調(diào)查的學(xué)生中，有一半的學(xué)生可以解答證明題，但是只能證明一部分.如果難度加深點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)一籌莫展

探究問題，制定策略

1.調(diào)查問卷

為了了解學(xué)生在幾何推理中存在難點(diǎn)的具體情況，筆者對所教的九年級學(xué)生（具體的對象是九年級（3）（4）（6）班的學(xué)生，人數(shù)為90，其中男生43人，女生47人）進(jìn)行了問卷調(diào)查，回收90份.

根據(jù)問卷調(diào)査發(fā)現(xiàn)：認(rèn)為幾何難學(xué)的人數(shù)為72，占總?cè)藬?shù)的80%;對幾何學(xué)習(xí)非常有興趣和有興趣的人為50人，占總?cè)藬?shù)的555%，沒有興趣的人數(shù)為6，占總?cè)藬?shù)的6.7%;知道幾何證明是說理和由因果關(guān)系的邏輯段組成的推理過程的人數(shù)為81，占總?cè)藬?shù)的90%;在幾何學(xué)習(xí)中遇到困難如（可多選）經(jīng)常漏看、錯(cuò)看題目條件，導(dǎo)致寫不出結(jié)果的人數(shù)為29，占總?cè)藬?shù)的32%;圖形稍微復(fù)雜，不能準(zhǔn)確利用圖形信息證明的人數(shù)為54，占總?cè)藬?shù)的60%;不會(huì)把文字語言轉(zhuǎn)化成幾何中的符號(hào)語言的人數(shù)為28，占總?cè)藬?shù)的31%;聯(lián)想能力不夠，想不出證明思路的人數(shù)為58，占總?cè)藬?shù)的64%，其他原因的人數(shù)為2，占總?cè)藬?shù)的2%.在遇到從沒見過的幾何題時(shí)，你的心情如何？很焦慮，腦子一片空白想不下去的人數(shù)為18，占總?cè)藬?shù)的20%;開始很緊張，慢慢平靜就會(huì)繼續(xù)思考的人數(shù)為52，占總?cè)藬?shù)的58%，其他情況的人數(shù)為20，占總?cè)藬?shù)的22%.幾何課上，你喜歡怎樣的學(xué)習(xí)方式？喜歡教師一個(gè)人講，一講到底的人數(shù)為0;無所謂哪一種方式，只要聽得懂就可以的人數(shù)為56，占總?cè)藬?shù)的62%;教師在講解中穿插提問的人數(shù)為22，占總?cè)藬?shù)的24%;其他人數(shù)為12，占總?cè)藬?shù)的1-4%.

從調(diào)査問卷發(fā)現(xiàn)，幾何學(xué)習(xí)對學(xué)生來說普遍覺得有困難，但大部分學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)還是感興趣的、沒有喪失信心.他們學(xué)習(xí)幾何的最大困難是推理能力弱，具體體現(xiàn)在：首先是聯(lián)想能力不夠，稍微難點(diǎn)的題沒有證明思路和圖形復(fù)雜時(shí)不能準(zhǔn)確地從圖形中獲取信息證明（圖形語言到符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化不順利）：其次是文字語言到符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化;最后是審題不仔細(xì).結(jié)合平時(shí)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，歸納幾何推理有以下幾種難點(diǎn)：①對定理等使用條件不熟悉、不能作合理的聯(lián)想、復(fù)雜圖形中提煉不出基本圖形等常見問題;②分析總結(jié)缺方法：③三種數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換欠缺.

2.訪談

選好訪談話題（測試卷）和對象，制定訪談要求，進(jìn)行一對一的訪談，整理幾何教學(xué)的難點(diǎn)和診斷學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中存在的問題

（1）訪談對象

受到條件的限制和研究的需要，筆者訪談的對象以自己教學(xué)班的學(xué)生為主.在研究期間，筆者所教學(xué)的班級剛好從八年級升到九年級，所以對同一個(gè)學(xué)生有八年級時(shí)的訪談和九年級時(shí)的訪談，訪談的人數(shù)為6，人員的確定是筆者根據(jù)學(xué)生記載的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分層，共分三個(gè)層次（A層次、B層次、C層次），每個(gè)層次的學(xué)生隨機(jī)抽取2人.

（2）對訪談對象的試題編制

①根據(jù)學(xué)生的情況每個(gè)層次在八年級和九年級編制了難度不同的試題各2個(gè).即八年級A層次2個(gè)試題，八年級B層次2個(gè)試題，八年級C層次2個(gè)試題;九年級A層次2個(gè)試題，九年級B層次2個(gè)試題，九年級C層次2個(gè)試題.

②訪談試題編制的內(nèi)容：八年級幾何研究的重點(diǎn)是特殊的四邊形，因此選擇八年級下冊特殊四邊形中的內(nèi)容;九年級上冊幾何研究的重點(diǎn)是圓和相似，因此選擇的內(nèi)容為圓和相似的綜合題.

③根據(jù)試題的編制和學(xué)生分層中可能存在的不合理因素，在試題的檢測中遵循A層次的學(xué)生先做A層次的題，若做不出就做B層次的題;B層次的學(xué)生先做B層次的題，能做再做A層次的題試一試，不能做就做C層次的題;C層次的學(xué)生先做C層次的題，能做可以繼續(xù)做B層次的題，不能做則只要求畫出已知、求證和備用條件并寫出來.

（3）訪談結(jié)果

①通過對6位選好的訪談學(xué)生在八年級的訪談測試（每個(gè)學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行訪談測試）進(jìn)行分析，得到學(xué)生在訪談測試中出現(xiàn)的問題，從而診斷出學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題

②通過對6位選好的訪談學(xué)生在九年級的訪談測試（每個(gè)學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行訪談測試）進(jìn)行分析，得到學(xué)生在訪談測試中出現(xiàn)的問題，從而診斷出學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題.

3.制定策略

通過調(diào)查問卷、訪談，整理幾何教學(xué)難點(diǎn)和診斷結(jié)果得知學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中存在的問題，根據(jù)SOLO分類評價(jià)法、最近發(fā)展區(qū)、建構(gòu)主義理論、刺激一反應(yīng)學(xué)說等理論，結(jié)合平時(shí)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)制定了相應(yīng)的策略：

（1）策略的步驟：仔細(xì)審題（找出已知條件、隱含條件及問題）一理解題意（利用定理、定義、概念等從已知條件、隱含條件中推出相應(yīng)的結(jié)論，作為

備用條件）一確定思路（結(jié)合問題組織已知條件、隱含條件及備用條件，選擇跟問題有關(guān)的有用信息）一實(shí)踐反思（根據(jù)解題思路寫出證明過程，反思整個(gè)推理過程，若不嚴(yán)密或不準(zhǔn)確再重新審題，重復(fù)前面的步驟）

（2）策略的實(shí)施：策略實(shí)施對象有兩個(gè)班：未用策略的班級記為A班，使用策略的班級記為B班.分析A班學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平、知識(shí)水平和能力水平，根據(jù)本堂課教學(xué)設(shè)計(jì)的意圖和預(yù)設(shè)，用常規(guī)的方法在A班中教學(xué)，在B班中使用策略教學(xué)，對照用和不用策略之后的效果.

研究結(jié)果

1.解決幾何教學(xué)難點(diǎn)的方法及解決學(xué)生幾何推理難點(diǎn)的常用策略在調(diào)查和個(gè)案研究的基礎(chǔ)上設(shè)對照班（A班）和實(shí)驗(yàn)班（B班），在實(shí)驗(yàn)班中進(jìn)行解決幾何教學(xué)難點(diǎn)的策略研究，取得了一定的實(shí)驗(yàn)效果，得到了若干解決幾何教學(xué)難點(diǎn)的方法和解決學(xué)生幾何推理難點(diǎn)的常用策略：（1）利用有效的復(fù)習(xí)課進(jìn)行針對性提高改進(jìn);（2）利用思維導(dǎo)圖整理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和理順解題的一般步驟;（3）利用備用條件法讓學(xué)生由易到難動(dòng)手實(shí)踐;（4）基本解題思路的整理;（5）作業(yè)的分層批改;（6）同伴互助學(xué)習(xí)

（1）利用有效的復(fù)習(xí)課進(jìn)行針對性提高改進(jìn)

每到中考復(fù)習(xí)時(shí)，教師都在糾結(jié)怎么復(fù)習(xí)，是以練題復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)呢，還是確定知識(shí)點(diǎn)選擇相應(yīng)的題進(jìn)行練習(xí)？想想都覺得各有所不足，特別是總復(fù)習(xí)，已經(jīng)不是單一知識(shí)點(diǎn)的問題，一個(gè)題往往可以從不能的角度（知識(shí)點(diǎn)）出發(fā)解決，而且要讓學(xué)生能靈活地應(yīng)用知識(shí)，培養(yǎng)解題的能力，筆者覺得“學(xué)生先行，交流在中，教師斷后”是一種不錯(cuò)的復(fù)習(xí)模式.

例如，在復(fù)習(xí)“直線與圓”的一節(jié)課之前，筆者在設(shè)計(jì)問題編寫時(shí)其中一問的方法只考慮了三種，開始還擔(dān)心學(xué)生能不能想到，若想不到怎么辦，如何引導(dǎo).總覺得不能考慮周全，想想怎么做都不周全，不如大膽地把課堂的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生（學(xué)生先行）.在上課時(shí)及時(shí)找到學(xué)生不同的解法（對錯(cuò)先不管），馬上讓他們在黑板上寫出來，不僅在交流中有據(jù)可尋，學(xué)生的思路也會(huì)更清晰地展現(xiàn)在每個(gè)人的面前，而且學(xué)生的思路、錯(cuò)誤、困難都一目了然（交流在中），教師在講評（教師斷后）中也可以充分利用這些資源提高課堂交流的效率和質(zhì)量，也便于其他學(xué)生對解題思路做出判斷和整理.

（2）利用思維導(dǎo)圖整理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和理順解題的一般步驟

①學(xué)生很多時(shí)候?qū)λ鶎W(xué)的概念、定義、定理理解不清、掌握不扎實(shí)，而課后復(fù)習(xí)是現(xiàn)固知識(shí)，提高運(yùn)用知識(shí)解決問題能力的重要環(huán)節(jié).學(xué)生對運(yùn)用思維導(dǎo)圖這種方式進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié)都表現(xiàn)出了一定的興趣，因此在復(fù)習(xí)中讓學(xué)生獨(dú)立對整章知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，根據(jù)自己的理解，理清數(shù)學(xué)概念、規(guī)律及其區(qū)別、聯(lián)系，區(qū)分重點(diǎn)、難點(diǎn)，畫出思維導(dǎo)圖，例如，圖1是學(xué)生對四邊形這一內(nèi)容的整理.

②思維導(dǎo)圖作為一種可視化的思考工具，以圖形化的方式把題中所給的信息結(jié)構(gòu)化，使其便于更好地分析、理解、聯(lián)想、綜合并產(chǎn)生新的想法，使教師從解題過程的解釋和闡述中解放出來，著重于引導(dǎo)學(xué)生在探究解題思路的過程中主動(dòng)建構(gòu)解題的思想和方法，從而讓學(xué)生體驗(yàn)到解題的全部過程達(dá)到真正理解.我們從思維導(dǎo)圖的核心畫法出發(fā)，把解題分成以下幾個(gè)步驟（如圖2）

準(zhǔn)確審題是解題的先決條件，思維導(dǎo)圖從題中找出關(guān)鍵詞的過程使學(xué)生更加重視分析、理解各種信息，并加強(qiáng)信息的全面性與關(guān)聯(lián)性，使信息更加系統(tǒng)化、更具條理性，極大地提高了審題的準(zhǔn)確性，接下來對關(guān)鍵詞進(jìn)行不同角度、不同層次的研判并展開逐級聯(lián)想，聯(lián)想所能想到的知識(shí)點(diǎn)和解題的思想、方法、技巧等，然后經(jīng)過提煉、刪除、綜合等過程得到問題的解決方案.

（3）利用備用條件法讓學(xué)生由易到難動(dòng)手實(shí)踐

在平時(shí)的練習(xí)以及在各類中考題的難題中，學(xué)生在解題時(shí)往往容易糾結(jié)于難題的一兩問，而不從已知條件出發(fā)，尋找可以得到的備用條件，然后從這些備用條件的組合中尋找解決問題的策略.當(dāng)然，解決問題特別是難的綜合題不是一蹴而就的，需要一步一步地由易到難去解決.很多時(shí)候讀懂題意仍然不夠，只有把所有的能得到的備用條件都寫出來并在圖中畫出來之后才能算是真正理解了題意，在此基礎(chǔ)上再去組合備用條件，選擇各種方案進(jìn)行嘗試，問題得到有效解決也就近在眼前了.

（4）基本解題思路的整理

好的方法只有真正落實(shí)了方能見效，因此克服學(xué)生的惰性，更真實(shí)地反映學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題成為當(dāng)務(wù)之急.學(xué)生在平時(shí)審題時(shí)往往粗枝大葉，沒有認(rèn)真讀題，懶得從已知條件推出備用條件，也懶得把已知條件和備用條件在圖中畫出來，從而造成對題意的理解不清，不能準(zhǔn)確地解答問題，造成教師不能準(zhǔn)確地獲得學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)情況，降低了教學(xué)效率.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中學(xué)生也不能自覺、自然地使用此方法，往往在教師的提醒下或遇到困難時(shí)才會(huì)去使用，如何把策略內(nèi)化到學(xué)生的幾何推理過程中，需要在教學(xué)中不斷地強(qiáng)化和使用，漸漸把方法的使用培養(yǎng)成學(xué)生解題的習(xí)慣.通過基本解題思路的整理，可以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

（5）作業(yè)的分層批改

教師在教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過程中應(yīng)該充分考慮到學(xué)生的實(shí)際水平，在學(xué)生所處的水平上或者在稍高一級的水平上進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生才能夠得到發(fā)展.因此教師借鑒策略診斷學(xué)生的思維水平和存在的問題，直觀地知道學(xué)生屬于什么思維水平，并根據(jù)低一級水平向上一級水平過渡主要的問題是什么的同時(shí)，也要讓學(xué)生明確自己的狀況（會(huì)什么，不會(huì)什么，不會(huì)的原因是什么），反思自己的現(xiàn)狀，讓他們找到提高思維水平和解決問題的切入點(diǎn).教師要準(zhǔn)確找到學(xué)生的實(shí)際水平，對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行分層批改是一種不錯(cuò)的選擇.作業(yè)分層批改可以幫助教師找到相同層次學(xué)生的共性或類似的問題和不同層次學(xué)生存在怎樣的差異，更有效地找到各個(gè)思維水平存在的問題及低一級水平向上一級水平過渡需要什么，然后需要怎么做就很清楚了.

（6）同伴互助學(xué)習(xí)

學(xué)生的社會(huì)體驗(yàn)是個(gè)人開展活動(dòng)、發(fā)展內(nèi)在心理功能以及形成個(gè)人文化的前提條件.同伴互助學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上就是聚焦于課堂教學(xué)中常常被忽視的生生之間互動(dòng)這一社會(huì)活動(dòng)，從而發(fā)揮其所具有的潛在的積極作用.與教師交流相比，同學(xué)之間的交流會(huì)更輕松、更順暢，因?yàn)閹熒g總是存在著差異，包括智力、理解力、已有經(jīng)驗(yàn)知識(shí)等差異;而與同伴交流，學(xué)生可以更好地表達(dá)自己的疑惑;另外，學(xué)生之間有著相同的學(xué)習(xí)背景，對于同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)有相似的認(rèn)知程度，他們可以更清楚地知道疑惑出現(xiàn)的原因，并對其疑惑進(jìn)行解答.在同伴互助學(xué)習(xí)中，學(xué)生與同伴之間根據(jù)策略能判斷自己或同伴的思維水平和存在的問題，直觀地知道自己或同伴屬于什么水平，學(xué)會(huì)反思，也學(xué)會(huì)幫助同伴，改進(jìn)幾何學(xué)習(xí)，提高幾何學(xué)習(xí)的效率和效果

2.研究的成果

（1）前、后測成績對照

前測成績（八年級第一學(xué)期、區(qū)統(tǒng)測試卷）：

后測成績（九年級第一學(xué)期、區(qū)統(tǒng)測試卷）：

通過前測和后測的常模分析，B班在平均分、優(yōu)秀率、后30%平均分上比A班都有顯著的提高、進(jìn)步，合格率和前40%平均分兩者相比雖沒有顯著的進(jìn)步，但有進(jìn)步的趨勢，這說明策略的使用還是非常有效的.

（2）研究的價(jià)值

筆者對自己所在學(xué)校的一批學(xué)生（在七下期中與八上期中）和另一批學(xué)生（在八下期中與九上期中）的數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行了分析，七下期中試卷幾何題總分為34分，占總分120分的28.3%，八上期中試卷幾何題總分為52分，占總分20分的43%;八下期中幾何題總分為30分，占總分120分的25%，九上期中幾何題總分為37分，占總分120分的31%.

P=幾何總分/總分，M=調(diào)查總?cè)藬?shù)中超過P值的人數(shù)，N=M/調(diào)查總?cè)藬?shù)

調(diào)查顯示幾何學(xué)習(xí)的情況對學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)業(yè)成績產(chǎn)生了重要的影響，因此發(fā)現(xiàn)學(xué)生在幾何題中存在的問題并幫助其改進(jìn)，進(jìn)而幫助他們提高解決幾何問題的能力和學(xué)業(yè)成績，這顯得更加重要與急迫，這也是本研究的價(jià)值所在.

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