□□ 張 凡，賈明曉，劉祖軍，馬 帥 (.華北水利水電大學(xué)，河南 鄭州 450045； .南陽市污水凈化中心，河南 南陽 473000)

引言

隨著有限元技術(shù)的迅猛發(fā)展，工程計算的準(zhǔn)確性和效率越來越受到重視[1]。為了滿足工程的需要，兼顧計算效率和計算精度的多尺度建模方法逐漸被運用到結(jié)構(gòu)分析中。目前對于多尺度建模方法的研究，要點在于宏觀與細(xì)觀界面處不同單元節(jié)點自由度能保持變形協(xié)調(diào)[2]。因此，本文基于有限元軟件ANSYS建立一四跨連續(xù)箱梁橋的精細(xì)模型和多尺度模型，旨在探究不同的多尺度建模方法在多尺度橋梁中的適用性。

多尺度建模方法是指在同一個計算模型中既包含高效率的宏觀單元又包含高精度的精細(xì)單元，不同單元在同一個模型中通過一定的方法進(jìn)行耦合連接，從而使整個結(jié)構(gòu)的計算時間和精度達(dá)到平衡[3]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對多尺度建模方法的研究取得了顯著成果，為結(jié)構(gòu)多尺度損傷分析提出了許多可行性的模擬方法。周凌宇等[4]通過虛設(shè)梁單元法建立了連續(xù)組合橋梁腹桿與負(fù)彎矩區(qū)受力性能研究的多尺度模型。劉亮等[5]通過運用有限元軟件ABAQUS中的coupling實現(xiàn)多尺度單元間的自由度耦合，并驗證了多尺度模型的精確性。王文博[6]通過雙梁模型的有限元解與解析解，說明了MPC和CERIG單元連接的內(nèi)在機理。曲文輝、李眾[7]分別采用四種多尺度建模方法建立了體殼混合單元以及純實體單元和純殼單元，對比幾種模型在不同工況作用下的應(yīng)力數(shù)據(jù)，提出CERIG法最適合于體殼單元的連接。鄭吳悰[8]運用四種多尺度連接方法，建立了不同類別的多尺度模型，對比了不同工況作用下靜力受力特性和整體模型的動力特性，比選出CERIG法最適合于板樁式路基的多尺度建模方法。盧星輔等[9]通過三種多尺度建模方式建立了三維礦井巷道模型，并對其計算結(jié)果進(jìn)行對比分析，總結(jié)出了各方法的優(yōu)缺點。綜上所述，由于不同的多尺度建模方法的界面連接原理不同，應(yīng)用在不同領(lǐng)域最適用的多尺度建模方法也不同，因此，研究多尺度建模方法在橋結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用是很有必要的。

目前在ANSYS中常用的多尺度建模技術(shù)有接觸法、應(yīng)用CERIG和RBE3的表面約束法、約束方程法、剛性桿單元連接法等[10]。為探究不同的多尺度建模方法在多尺度橋梁中的適用性，本文基于有限元軟件ANSYS建立以一箱梁橋有限元模型，選擇最常見的四種多尺度分析方法，分別利用MPC法、RBE3法、CERIG法、約束方程法連接多尺度模型，對其分析結(jié)果與精細(xì)模型進(jìn)行比較，結(jié)合實際情況，分析四種方法的不足，比選出最適用于橋梁結(jié)構(gòu)的多尺度建模方法。

1 多尺度界面連接

目前對于多尺度方法的研究，核心問題在于選擇一個合適的界面連接方式[11]。如梁單元和實體單元，由于兩種單元自由度不同，在進(jìn)行有限元分析時轉(zhuǎn)角位移無法傳遞，會出現(xiàn)“剛度矩陣奇異”，因此必須考慮不同尺度單元之間的協(xié)調(diào)問題[12]。不同尺度單元的界面連接方法有很多，目前在結(jié)構(gòu)多尺度領(lǐng)域最常用的方法有MPC法、RBE3法、CERIG法、約束方程法等。

1.1 MPC多點約束法

MPC多點約束法建立的是多點約束關(guān)系，是多節(jié)點約束法的一種。以圖1梁單元與實體單元的連接為例，其一般計算方程為：

(1)

式中，i——實體單元在交界面上節(jié)點的在某方向位移編號；

j——梁單元在交界面上的節(jié)點編號；

ui、uj——節(jié)點在某方向的位移；

Cj——權(quán)重系數(shù)；

C0——常數(shù)；

L——實體單元節(jié)點與梁單元節(jié)點的距離，此處L=2。

圖1 梁—實體多尺度模型

若梁單元在節(jié)點2處發(fā)生ROTZ轉(zhuǎn)動，連接面上實體單元的節(jié)點將產(chǎn)生豎向位移UY，其計算方程為：

UY5=sin(ROTZ2)·L

(2)

-UY9=sin(ROTZ2)·L

(3)

由式(2)和式(3)可以推導(dǎo)出式：

UY5-UY9-2sin(ROTZ2)·L=0

(4)

當(dāng)發(fā)生小轉(zhuǎn)動時，sin(ROTZ2)≈ROTZ2，式(4)可以改寫成：

UY5-UY9-2sin(ROTZ2)·L=0

(5)

MPC法的約束方程是由ANSYS系統(tǒng)內(nèi)部自動生成[8,11]，通過位移方程實現(xiàn)不同尺度單元之間的位移協(xié)調(diào)，在求解小變形的線彈性問題時，其約束方程可以采用式(5)，直接進(jìn)行計算；在求解于大變形的彈塑性問題時，結(jié)構(gòu)會發(fā)生較大的變形，在進(jìn)行有限元分析時，MPC法能根據(jù)結(jié)構(gòu)在每一步的迭代過程中節(jié)點變化的實際位置自動更新約束方程，因此，既能用于結(jié)構(gòu)小變形，線彈性分析又能用于結(jié)構(gòu)大變形，彈塑性分析。

1.2 RBE3表面約束法

RBE3表面約束法是在連接面上創(chuàng)建柔性單元，將梁單元節(jié)點受到的力以不同的權(quán)重系數(shù)分配到實體單元節(jié)點上，但是實體單元節(jié)點自由度的權(quán)重系數(shù)分配需要合乎實際結(jié)構(gòu)的受力要求，權(quán)重系數(shù)的設(shè)置可以是系統(tǒng)自動生成，也可以手動設(shè)置，本文是根據(jù)系統(tǒng)自動生成的。RBE3法的本質(zhì)是線性約束方程，通過力的重分配實現(xiàn)不同尺度單元之間力的傳遞，在分析大變形問題時，誤差較大。

1.3 CERIG表面約束法

CERIG表面約束法與RBE3法類似，是在連接面上創(chuàng)建剛性單元，不需要考慮自由度的權(quán)重系數(shù)分配就可以滿足平截面假定，但是由于連接面是剛性的，會產(chǎn)生額外的連接面剛度。CERIG法的本質(zhì)是線性約束方程，通過剛性單元處力的重分配實現(xiàn)不同尺度單元之間力的傳遞，在分析大變形問題時，誤差較大。

1.4 約束方程法

約束方程法是在連接面上手動建立線性約束方程，以便于從一類單元到另一類單元傳遞載荷，實現(xiàn)連接面的變形協(xié)調(diào)，約束方程的一般形式是：

(6)

式中，i——方程中項的標(biāo)號；

DOFi——自由度；

Coefi——權(quán)系數(shù)。

以圖1為例，若梁單元在節(jié)點2處發(fā)生ROTZ轉(zhuǎn)動，其計算方程為：

ROTZ2=(UY9-UY5)/4

(7)

上式(7)改寫為：

UY9-UY5-4ROTZ2=0

(8)

約束方程法的本質(zhì)是線性約束方程，建立的是位移協(xié)調(diào)方程，同樣不適用于分析大變形問題。

2 多尺度模型構(gòu)建

2.1 橋梁概況

圖2為某在建4 m×20 m 連續(xù)梁橋，圖3是全橋橫截面尺寸圖，全橋采用混凝土箱梁橋面系。

圖2 橋梁立面布置圖(單位：mm)

圖3 橋梁橫截面圖(單位：mm)

箱梁上頂面寬為13 m，下底面寬為9 m，梁高為2.0 m，翼緣板外懸為2 m；橫梁處梁高為1.3 m，厚度為2 m，橫向抗震擋塊高度為0.05 m，厚度為0.04 m；橋墩高為8 m，截面為1.5 m×1.5 m；采用單樁基礎(chǔ)，樁基礎(chǔ)深為25 m，截面為1.5 m×1.5 m；全橋采用C50混凝土、采用HRB400鋼筋，鋼筋直徑為25 mm，全橋采用整體式建模的方式，鋼筋等效分配到混凝土中，彈性模量取34 500 MPa，泊松比取0.2。采用有限元程序ANSYS分別構(gòu)建全橋多尺度模型和精細(xì)模型。

2.2 構(gòu)建多尺度橋梁模型

對橋梁的關(guān)鍵部位采用實體單元solid45進(jìn)行精細(xì)建模，而橋梁的柱和梁的非連接部位采用梁單元beam188進(jìn)行普通建模，橋墩與梁、墩與樁基之間固定連接，其中精細(xì)建模部位主要有三部分。分別是梁與橋墩的連接區(qū)域、橋墩部位的塑性鉸區(qū)域和樁基礎(chǔ)，這幾個區(qū)域受力復(fù)雜或者容易破壞，因此進(jìn)行精細(xì)建模。

其中塑性鉸區(qū)域的確定由國家相關(guān)抗震設(shè)計規(guī)范計算所得[3]：

LP=0.08H+0.022fyds≥0.044fyds

LP=2b/3

(9)

式中，H——橋墩高度；

b——墩的有效計算尺寸；

fy——鋼筋屈服強度標(biāo)準(zhǔn)值；

ds——橋墩鋼筋直徑。

本文的實體單元與梁單元建模的比例就是依據(jù)塑性鉸理論進(jìn)行得到，其塑性鉸大小為0.816 m。

運用ANSYS建立橋梁的多尺度模型如圖4所示。分別用MPC、RBE3、CERIG、建立約束方程四種方法實現(xiàn)多尺度模型中實體單元與梁單元連接界面的協(xié)調(diào)。

圖4 全橋多尺度有限元模型

2.3 樁的模擬

為了使計算結(jié)果更為真實，本文對樁基礎(chǔ)進(jìn)行精細(xì)建模，并建立土彈簧來模擬樁-土效應(yīng)，其土彈簧剛度由m法計算所得[13-14]，其土層取值見表1，每個樁建立四組彈簧模擬樁的水平方向受力，并在底部設(shè)置豎向固定約束，其中樁基礎(chǔ)及土彈簧的模擬如圖5所示。

表1 地基土的比例系數(shù)

圖5 樁基礎(chǔ)精細(xì)模型

3 結(jié)果分析

本文基于多尺度橋梁模型，進(jìn)行有限元分析，計算得到橋梁結(jié)構(gòu)分別在自重和橋面鋪裝兩種工況下的靜力響應(yīng)和五種模型的動力特性，依次比較四種多尺度連接方法的差異。

3.1 靜力響應(yīng)

基于多尺度橋梁模型，計算自重和橋面鋪裝兩種工況下的力學(xué)響應(yīng)。提取四種多尺度模型與實體模型的最大豎向位移并計算其誤差，以此判斷各模型的各連接方法對整體剛度的影響。

兩種工況作用下的五種計算模型的最大豎向位移見表2。

表2 五種計算模型的最大豎向位移 mm

將四種多尺度模型的最大豎向位移，與實體模型對比，計算出四種模型在兩種工況下最大豎向位移的誤差見表3。

表3 四種多尺度模型的最大豎向位移誤差

由表2和表3可以發(fā)現(xiàn)，不同界面連接方法對整體結(jié)構(gòu)剛度的影響差異較大，其中MPC法和CERIG法的誤差明顯小于其他三種方法，RBE3法和約束方程法誤差較大大。

為驗證上述結(jié)論的準(zhǔn)確性，提取橋梁順橋向多個梁截面最大von_Mises應(yīng)力進(jìn)行對比，兩種工況作用下的五種計算模型順橋向多個梁截面最大von_Mises值見表4。

表4 五種計算模型梁截面的最大von_Mises MPa

根據(jù)四種多尺度模型梁截面最大von_Mises應(yīng)力與實體模型對比，計算出四種模型在兩種工況下梁截面最大von_Mises應(yīng)力誤差見表5。

表5 四種多尺度模型梁截面的最大von_Mise誤差

由表5發(fā)現(xiàn)，CERIG法和MPC法的誤差較小，明顯優(yōu)于其他方法，RBE3法和約束方程法誤差最大。

為了更直觀地了解連接面的模擬效果，提取自重工況下第四根橫梁與第四根箱梁的連接面的von_Mises應(yīng)力。

由圖6～圖10連接面的von_Mises應(yīng)力云圖對比發(fā)現(xiàn)，MPC法和CERIG法的有限元計算結(jié)果與實體模型最為接近，連接效果最好；RBE3法連接面是柔性，由于其權(quán)重系數(shù)的分配不合理，在翼緣部位出現(xiàn)應(yīng)力集中的現(xiàn)象，因此，導(dǎo)致計算結(jié)果出現(xiàn)較大的誤差；約束方程法存在應(yīng)力集中問題，導(dǎo)致有限元計算結(jié)果誤差最大，這也是提取最大豎向位移和最大von_Mises誤差很大的原因。

圖6 MPC法von_Mises應(yīng)力云圖(單位：MPa)

圖7 RBE3法von_Mises應(yīng)力云圖(單位：MPa)

圖8 CERIG法von_Mises應(yīng)力云圖(單位：MPa)

圖9 約束方程法von_Mises應(yīng)力云圖(單位：MPa)

圖10 實體模型von_Mises應(yīng)力云圖(單位：MPa)

為探究約束方程法應(yīng)力集中的原因，提取圖9的應(yīng)力集中區(qū)域，如圖11所示。

圖11 約束方程法von_Mises應(yīng)力詳圖

圖中從上到下的三個節(jié)點編號依次為4996、4993、4995，此處存在約束方程：CE,19,9,0,4996,UX,1,4995,UX,-1,4993,ROTZ,NY(4996)-NY(4995)。當(dāng)結(jié)構(gòu)受到自重的影響時，會在梁節(jié)點4993處產(chǎn)生ROTZ轉(zhuǎn)角位移和Y方向的豎向位移。由于梁單元和實體單元自由度不同，為了實現(xiàn)自由度之間的協(xié)調(diào)，約束方程將梁節(jié)點4993處產(chǎn)生的ROTZ轉(zhuǎn)角位移轉(zhuǎn)換成UX方向水平位移，傳遞到實體單元的4996節(jié)點和4995節(jié)點；梁節(jié)點Y方向的豎向位移，由于實體單元由UY方向的自由度，則直接傳遞到實體單元上。本應(yīng)作用在整個梁截面上的位移，通過約束方程只作用在數(shù)個節(jié)點，因此會在約束方程連接的節(jié)點處產(chǎn)生應(yīng)力集中的現(xiàn)象。

3.2 自振特性

為研究四種多尺度模震動特性的精確度，本文對四種多尺度模型與精細(xì)模型進(jìn)行模態(tài)分析， 并提取前10階模態(tài)階數(shù)進(jìn)行對比，各模型的自振頻率如圖12所示。

圖12 前10階自振頻率對比(單位：Hz)

為了更直觀的觀察各階頻率的差異，對各階頻率數(shù)值列表顯示，見表6。

表6 五種模型前10階自振頻率對照表 Hz

從圖12可以看出，對于前四階自振頻率MPC法、RBE3法和CERIG法的結(jié)果相差很?。凰碾A以后，CERIG法自振頻率與實體模型幾乎一致，MPC法和RBE3法的自振頻率略小于實體模型，有較小的誤差。手動建立約束方程法的自振頻率與實體模型相差較大，對自振頻率的模擬效果不夠理想。

綜合考慮，CERIG法的自震頻率與實體模型相比幾乎一致，模擬效果也最為合理；其次是MPC法和RBE3法，約束方程法的誤差最大。

4 結(jié)論

應(yīng)用有限元軟件ANSYS建立實體模型與多尺度模型，分別利用MPC法、RBE3法、CERIG法、建立約束方程法連接多尺度模型，對四種多尺度種模型和實體模型進(jìn)行靜力分析和模態(tài)分析，提取計算結(jié)果進(jìn)行對比，得出以下結(jié)論。

(1)MPC法是由系統(tǒng)內(nèi)部創(chuàng)建約束方程，可以很好地實現(xiàn)不同單元之間的位移變形協(xié)調(diào)，對結(jié)構(gòu)整體位移的影響很小，能夠合理的模擬震動特性，且適用于非線性分析，是分析多尺度橋梁最適用的方法。

(2)CERIG法通過剛性單元連接多尺度模型，可以較好的處理不同單元之間的位移變形協(xié)調(diào)和應(yīng)力協(xié)調(diào)，很好地模擬震動特性，但是只適用于線性分析。

(3)RBE3法在應(yīng)用時需要合理的分配權(quán)重系數(shù)，由于權(quán)重系數(shù)分配不夠合理，不同單元之間的位移變形協(xié)和應(yīng)力協(xié)調(diào)均有較大的誤差。

(4)約束方程法需要提取相應(yīng)節(jié)點號手動建立約束方程，過程復(fù)雜，并且節(jié)點連接處出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，模擬效果最差，不便于工程中的使用。