趙明華，張承富，劉長捷

（湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082）

樁承式路堤是一種強化軟土地基的工程技術(shù)，已證明其能有效地提高地基承載力、減少路基沉降[1-2].為了提高樁承式路堤中樁承擔(dān)的荷載，通?？稍跇俄斣O(shè)置樁帽或土工材料[3-5].由于樁的壓縮模量遠(yuǎn)大于樁間土的壓縮模量，因此在荷載作用下（填土荷載、交通荷載），路堤填土以及樁底下臥層土體都會產(chǎn)生不均勻沉降.位于樁間土上方的填土有相對于樁頂上方填土向下的位移；位于樁底正下方的下臥層土有相對于樁間土下方土體向下的位移.這樣的相對位移使填土、下臥層土體內(nèi)的應(yīng)力重新分布，即土拱效應(yīng)[6].

1943 年Terzagh[6]通過“活動門”試驗對土拱效應(yīng)的實質(zhì)進行了描述，分析了平面土拱效應(yīng)；Hewlett和Randolph[7]基于室內(nèi)模型試驗提出了半球形土拱模型，同時應(yīng)用彈塑性理論分析了三維土拱模型；Kempfert 等[8]提出了多層拱形理論；Van Eekelen 等[9]通過模型試驗提出了一種基于極限平衡理論的同心拱模型.這些研究主要集中于路堤填土中土拱效應(yīng)的研究，忽略了樁-土相互作用以及其對土拱效應(yīng)的影響[10].

針對樁承式路堤工作性狀，有學(xué)者建立了能考慮樁-土-路堤變形和應(yīng)力協(xié)調(diào)的平衡方程，分析了三者協(xié)調(diào)工作的荷載傳遞特性.Deb 等[11]引入Alamgir 等[12]提出的樁間土不均勻沉降函數(shù)，分析了碎石樁-樁承式路堤的應(yīng)力和變形問題，其中土拱效應(yīng)的計算方法采用Low 等[13]提出的方法.然而，Low提出的土拱計算理論是基于土拱效應(yīng)與樁-土差異沉降無關(guān)的假設(shè).因此，Deb 等[11]引入了一個乘數(shù)因子來考慮樁土模量比對土拱效應(yīng)的影響.俞縉等[14]通過改進的路堤荷載傳遞模型和假定的柔性樁側(cè)摩阻力分布模式，推導(dǎo)了能考慮土拱效應(yīng)、膜效應(yīng)和樁-土相互作用三者耦合作用的理論公式.趙明華等[15]在土柱模型的基礎(chǔ)上，考慮了差異壓縮量對界面摩阻力發(fā)揮的影響，推導(dǎo)了路堤底部荷載分配與差異沉降的關(guān)系，從而考慮了樁土相互作用對土拱效應(yīng)的影響.基于Alamgir 等[12]的研究，Zhao 等[16]引入土柱模型來分析樁-土相互作用對土拱效應(yīng)的影響.陳仁朋等[17]通過假定樁側(cè)摩擦力的分布方程來分析樁-土相互作用，并根據(jù)應(yīng)力和位移連續(xù)條件考慮了樁-土相對位移對土拱效應(yīng)的影響，但關(guān)于樁底下臥層的計算，作者采用Boussinesq 方程和Geddes 方程對樁底以下土層的附加應(yīng)力進行近似求解并采用分層總和法求得其沉降.上述分析中，學(xué)者們對樁-土相互作用及其對路堤中土拱效應(yīng)的影響進行了研究.然而，對樁底下臥層的荷載傳遞機理的研究卻很少見.

綜上所述，根據(jù)樁承式路堤中路堤部分的荷載傳遞機制、加固區(qū)樁-土相互作用以及下臥層的變形特性.本文提出了雙等沉面理論計算方法，既建立了下臥層的力學(xué)傳遞模型，又能夠考慮樁承式路堤各組成部分之間的相互作用，并對現(xiàn)有的土柱模型的不足進行了改進.

1 柔性樁承式路堤的雙等沉面模型

如圖1 所示，加筋式樁承式路堤主要由路堤、加筋墊層、樁、軟土組成，取路堤中心處的樁及其影響范圍內(nèi)的土體為研究對象.圖2 給出了雙等沉面模型分析單元：過任意直徑的豎向剖面圖.中性點以下，土體相對于樁有向上的位移直到下等沉面處，在樁底平面處，樁底位移大于樁間土位移，則樁底平面處樁間土正下方的下臥層土（外土柱）有相對于樁底正下方下臥層土（內(nèi)土柱）向上的位移.由Wu 等[18]和Li 等[19]的研究結(jié)果可得到：樁底下部一定深度的土體變形模型與路堤中倒置的土拱模型相似.

圖1 樁的平面布置圖和計算單元Fig.1 Pile layout and calculation unit

圖2 柔性樁承式加筋路堤雙等沉面模型Fig.2 Double equal settlement plane model of flexible pile supported reinforced embankment

根據(jù)幾何條件與應(yīng)力條件可將路堤分為三部分：上等沉面到路面部分、介于兩個等沉面之間的部分、下等沉面以下的部分.上等沉面到路面部分通常不考慮其對路面沉降的貢獻；下等沉面以下部分只對路堤的總沉降產(chǎn)生影響，采用分層總和法進行計算；介于等沉面之間的部分可進一步分為三部分：上等沉面到樁頂部分，樁頂?shù)綐兜撞糠?，樁底到下等沉面部?在樁頂以及樁底平面處引入應(yīng)力、位移連續(xù)條件將介于兩個等沉面之間的各部分聯(lián)系起來，根據(jù)應(yīng)力平衡來計算任意深度處的樁間土和樁的應(yīng)力.

1.1 考慮位移修正的土壓力系數(shù)

文獻[20]中基于現(xiàn)場實測的土壓力數(shù)據(jù)和離心試驗數(shù)據(jù)，擬合了土壓力與變形之間關(guān)系，并基于朗肯土壓力理論，提出了考慮變形的朗肯土壓力模型[20-21].其中修正后的土壓力系數(shù)為：

1.2 土拱效應(yīng)

在實際工程中，為了避免路面出現(xiàn)不均勻沉降，路堤高度（h）基本上都大于路堤中等沉面高度（he），因此本文不考慮h≤he的情況.在土柱模型中[16，22]，等沉面處內(nèi)、外土柱相對位移為零，樁頂處相對位移最大.則在等沉面處、內(nèi)外土柱之間的摩擦力為零，樁頂處摩擦力最大.便于計算，內(nèi)、外土柱只產(chǎn)生豎向壓縮[17，22]，并建立如圖2 所示的局部坐標(biāo)系：路堤表面為z 軸的零點，向下為正.

內(nèi)、外土柱間摩擦力發(fā)揮程度系數(shù)β，從上等沉面到樁頂由0 線性變化到1，則路堤中，內(nèi)、外土柱之間的摩擦因數(shù)k 可表示為：

式中：he為上等沉面距樁頂距離；h 為路堤填土高度.

在任意截面z 處，取內(nèi)土柱單元進行受力分析（如圖2 所示），其豎向受力平衡方程為：

式中：Si為內(nèi)土柱的截面面積，有樁帽時等于樁帽面積，無樁帽時為樁的截面面積；σi（z）為內(nèi)土柱的應(yīng)力；γ 是填土重度；dc為內(nèi)土柱直徑，有樁帽時為樁帽等效直徑，無樁帽時為樁徑；L 為內(nèi)、外土柱摩擦力.

將式（1）（2）（4）代入式（3），采用一階線性微分方程求解，并引入邊界條件：當(dāng)z=h-he時，σi（z）=γ（h-he），可求得任意截面處的內(nèi)土柱豎向應(yīng)力：

式中：T、H 均為中間變量.

在圖2 的計算模型中，由z 平面處的路堤填料的豎向應(yīng)力平衡得：

式中：σs（z）為外土柱的應(yīng)力；m 為面積置換率,，de是單樁的有效影響半徑.根據(jù)布樁形式，三角形布樁取de=1.05Sa；正方向布樁取de=1.128Sa.

路堤中外土柱應(yīng)力為：

因此，將z=h 代入式（5）（7），可得樁頂平面處的樁土應(yīng)力分別為：

內(nèi)、外土柱由于相對位移在界面上產(chǎn)生摩擦力，外土柱受到內(nèi)土柱向上的摩擦力，使外土柱卸荷回彈；內(nèi)土柱受到外土柱的向下的摩擦力，使內(nèi)土柱壓縮變形.分析可知，樁頂平面處，內(nèi)、外土柱的沉降差等于內(nèi)土柱的壓縮變形與外土柱的拉伸變形之和.

式中：Δs 為樁頂處樁間土與樁頂?shù)牟町惓两?；Ec為路堤填料的壓縮模量；Ee為路堤填料的回彈模量.通常情況下Ec＞Ee，為方便計算取E=Ec=Ee，可得：

1.3 筋材-拉膜效應(yīng)

加筋材料在荷載作用下，由于樁、土的差異沉降，使筋材產(chǎn)生向下的彎曲變形，變形后的形狀可以看作是懸鏈線[23]或拋物線[24].本文中假設(shè)筋材的變形符合拋物線方程，并以筋材變形最低點為坐標(biāo)原點建立如圖3 所示的局部坐標(biāo)系.

式中：e 為待定系數(shù).

圖3 筋材變形示意圖Fig.3 Deformation curves of reinforced materials

由圖3 可知，拋物線過點（（de-dc）/2，Δs），將其代入式（12），可得拋物方程為：

根據(jù)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)系以及斜率公式，得到樁頂處筋材與水平面夾角的正弦值：

因此，在點（（de-dc）/2，Δs）處筋材的應(yīng)變、應(yīng)力分別為：

式中：Eg為加筋材料的抗拉剛度，kN/m；G 為筋材的拉應(yīng)力.

如圖3 所示，在筋材下側(cè)樁頂平面處進行受力分析，可得筋材下側(cè)的樁頂應(yīng)力：

根據(jù)樁頂平面處豎向應(yīng)力平衡可求得筋材下側(cè)樁間土應(yīng)力：

式中：σs0、σp0分別為樁頂平面處樁間土應(yīng)力、樁頂應(yīng)力.則加筋材料上側(cè)的樁土應(yīng)力比nt、樁頂處樁土應(yīng)力比n 分別為：

1.4 樁-土相互作用分析

樁-土相互作用的樁側(cè)摩阻力，根據(jù)文獻[25]的試驗結(jié)果可知，樁側(cè)摩阻力沿深度變化的示意圖如圖4 所示，文獻[26]也得到了類似的結(jié)果.為方便計算將其簡化為圖5 所示.

根據(jù)圖5 樁土相互作用假設(shè)：

1）樁側(cè)負(fù)摩阻力在樁頂處最大，向下逐漸減小，到中性點處為零.

2）樁側(cè)正摩阻力由中性點向下線性增大到最大值，然后線性減小到有效樁長處為零，再往下，樁側(cè)摩阻力為零.

圖4 樁側(cè)摩阻力沿深度變化的示意圖Fig.4 The stress distribution chart of pile body

圖5 樁側(cè)摩擦力簡化示意圖Fig.5 Simplified diagram of pile side friction

3）樁間土的應(yīng)力在同一平面處應(yīng)力為均勻分布.

根據(jù)圖5 和假設(shè)1）、假設(shè)2），建立以樁頂為坐標(biāo)原點，向下為z1軸正方向的局部坐標(biāo)系，得出剪切應(yīng)力沿樁身的分布函數(shù)：

式中：τ0、τm分別為樁身處最大負(fù)、正摩擦力；l1為最大正摩擦力處距樁頂?shù)木嚯x；lc為有效樁長.

取距樁頂z1處的樁單元體進行豎向的受力分析，如圖6 所示.

式中：σpz1（z1）為樁身應(yīng)力；Sp為樁的橫截面面積.

對式（24）進行積分運算，并引入邊界條件（當(dāng)z1=0 時，σpz1（z1）=σp0），得

圖6 樁體與樁間土微元受力圖Fig.6 Soil microelement of pile and soil

如圖6 所示，根據(jù)樁的受力，同理可推出樁間土的應(yīng)力微分方程：

式中：σsz1（z1）為樁間土應(yīng)力；m1為樁底面處的面積置換率，.

1.5 樁底到下等沉面的分析

1.5.1 樁長大于等于有效樁長

當(dāng)樁長大于等于有效樁長時，在有效樁長處，樁土相對位移為零，樁土之間沒有摩擦力，此處即為下等沉面.試驗數(shù)據(jù)顯示[25]：在下等沉面以下的樁體應(yīng)力很小，故忽略下等沉面以下樁土應(yīng)力差異，因此下等沉面處樁身應(yīng)力等于樁間土應(yīng)力.

將z1=lc代入式（25b）（26b）且兩式相等：

假設(shè)樁的重度等于土的重度：

下等沉面到樁頂之間的樁土相對位移即為路堤底面處的樁土沉降差Δs.

式中：Ep為樁的壓縮模量；Es為土的壓縮模量.

將式（19b）（20）代入式（29），得

有效樁長的計算公式如下[27]：

公式（11）代表路堤底部平面處內(nèi)、外土柱間的相對位移，公式（30）代表樁頂平面（路堤底部）處樁土相對位移.同時，公式（11）等于公式（12），且兩者均是關(guān)于he的函數(shù).因為公式（11）和公式（30）均為高度非線性方程，所以采用Mathematica 編程求解，先給定一個初始值he，迭代求解直到兩公式的值相等，將迭代得到的he代入相應(yīng)的公式，則可求得其他參數(shù).

1.5.2 樁長小于有效樁長

式中：σp（z2）為樁底下側(cè)內(nèi)土柱應(yīng)力；k0=1 -sin φ，f=tan φ.

圖7 下臥層受力分析圖Fig.7 Stress analysis diagram of the substratum

取微元體分析，在豎直方向的平衡方程：

式中：Sp為樁的截面積.

將式（32）代入式（33），采用一元線性微分方程求解，并引入邊界條件：當(dāng)z2=0 時，σp（z2=0）=

根據(jù)豎向荷載平衡可得下臥層內(nèi)土柱應(yīng)力：

在下等沉面處內(nèi)、外土柱應(yīng)力相等，可求出下等層面距樁底的距離t.

式中：product log 為乘積對數(shù)函數(shù)，是x·exp[x]在區(qū)間（-1/e，+∞）上的反函數(shù)，又稱為Lambert W 函數(shù).

式（37）是短樁樁頂處樁土差異沉降Δs.

公式（11）代表路堤底部平面處內(nèi)、外土柱間的相對位移，公式（37）代表樁頂平面（路堤底部）處樁土相對位移，且公式（11）（37）均是關(guān)于he的函數(shù).考慮到位移連續(xù)性條件，公式（11）與（37）位移相等，采用Mathematica 編程求解，先給定一個初始值he，迭代求解直到兩者相等，將迭代得到的he代入相應(yīng)的公式可求得其他參數(shù).

2 柔性樁-樁承式路堤的沉降計算

路堤的總沉降等于上、下等沉面之間的土體壓縮變形和下等沉面下的土體的壓縮變形之和.介于兩等沉面之間的土體的壓縮變形分為長樁、短樁2種計算模式.

短樁：樁長小于有效樁長，樁長記為ls.變形分為4 部分：第1 部分S1，上等沉面到樁頂；第2 部分S2，樁頂?shù)綐兜?；? 部分S3，樁底到下等沉面；第4 部分S0，下等沉面以下土體壓縮量.

長樁：樁長大于有效樁長，樁長記為l1.壓縮變形分為3 部分：第1 部分S1，上等沉面到樁頂；第2 部分S2，樁頂?shù)较碌瘸撩妫坏? 部分S0，下等沉面以下土體壓縮量.

其中下等沉面以下的土體壓縮變形S0，采用分層總和法計算[28].

式中：Ei為計算土層壓縮模量；Hi為分層計算厚度；σs（z2）為對應(yīng)分層處平均附加應(yīng)力.

式（40）（41）分別為長樁、短樁第2 部分位移.

3 實例驗證

某繞城高速公路，存在大量的軟土地基（K8+617.57 至K26+000 路段），厚度為20～30 m.選取實驗斷面K28+830 的路堤沉降，樁頂處樁、土應(yīng)力的實測值與本文提出的雙等沉面計算模型的計算值對比.主要地質(zhì)條件如下：粉質(zhì)黏土厚度1.4～1.6 m、淤泥厚度5～7 m、淤泥質(zhì)粉質(zhì)黏土厚度5.1～6.4 m.采用粉噴樁加固路基，樁徑500 mm，三角形布樁，間距1.3 m，樁長為10 m，樁頂設(shè)置土工格柵墊層.根據(jù)室內(nèi)、外實驗：路堤填料內(nèi)摩擦角φ=30°，壓縮模量15 MPa、格柵抗拉強度Eg=500 kN/m、樁的彈性模量Ep=50 MPa，路堤填土高度h=5.18 m、重度γ=20 kN/m3，其他參數(shù)見文獻[29].

表1 給出了文獻[29]現(xiàn)場實測沉降的穩(wěn)定值（從2000 年8 月29 日到2001 年3 月）、復(fù)合模量法計算值和雙等沉面理論方法（本文方法）的計算值.結(jié)果表明：現(xiàn)場實測路堤中心沉降穩(wěn)定值為12.9 cm、路肩沉降穩(wěn)定值12.1 cm，路堤中心的沉降量比路肩的沉降值略大；復(fù)合模量法計算值為15.4 cm，雙等沉面方法計算沉降值為14.14 cm.復(fù)合模量法的計算值相對路堤中心、路肩的實測值誤差分別為19.4%、27.3%；雙等沉面方法的計算值相對路堤中心、路肩的實測值誤差分別為9.6%、16.9%.復(fù)合模量法計算的加固區(qū)壓縮量為6.4 cm，占總沉降的41.6%，下臥層沉降為7.1 cm，占總沉降的46.1%；雙等沉面模型計算的加固區(qū)壓縮值為7.12 cm，占總沉降的50.4%，下臥層沉降為6.16 cm，占總沉降的43.6%，與實際相符.雙等沉面模型和復(fù)合模量法的計算值都略大于實測值，但是本文的計算值更加接近實測值.

表1 沉降實測值與計算值結(jié)果Tab.1 Test and calculated results of settlement

表2 給出了樁土應(yīng)力比的計算值與實測值.路堤中部7.8 m 處（行車道中心處）的實測樁頂處樁土應(yīng)力比最大值為5.1，穩(wěn)定值為4.7；本文計算土工格柵上樁土應(yīng)力比為4.234，土工格柵下樁土應(yīng)力比為4.451.土工格珊上側(cè)計算值與實測最大值、穩(wěn)定值相比，相對誤差分別為16.98%、9.91%；土工格柵下側(cè)計算值與實測最大值、穩(wěn)定值相比，相對誤差分別為12.73%、5.30%.雙等沉面模型計算的樁土應(yīng)力比、沉降都與實測值接近，且各組成部分的沉降計算值占總沉降的百分比與復(fù)合模量計算的相近，證明了本文方法的合理性.

表2 樁土應(yīng)力比實測值與計算值結(jié)果Tab.2 Test and calculated results of stress ratio

4 結(jié)論

本文針對柔性樁加固的加筋樁承式路堤的荷載傳遞機理與樁土相互作用的變形特性，以路堤中心處單樁影響范圍內(nèi)的復(fù)合地基和路堤為研究對象，建立了基于路堤-樁-土共同作用的雙等沉面模型，獲得了該類樁承式路堤的樁土應(yīng)力比以及沉降的計算方法.該方法能考慮樁承式路堤中所有的荷載傳遞機理之間的相互作用.同時，該方法還對現(xiàn)有土拱計算方法在路堤中等沉面處內(nèi)、外土柱摩擦力不為零的缺陷進行了改進，并根據(jù)下臥層的變形特性，引入了下等沉面的概念及其計算模型，使計算更加合理.通過實例分析，得出以下幾個結(jié)論：

1）樁承式路堤的總沉降主要由加固區(qū)的壓縮量和下臥層的壓縮量組成.對于摩擦樁，下臥層的變形量約占總沉降的45%.

2）對于下臥層土體不是硬土層的樁承式路堤，由于樁土的相互協(xié)調(diào)變形，樁-土的相對位移較小，則土工格柵的作用不能充分發(fā)揮.

3）對于未打穿軟土的柔性樁承式路堤，當(dāng)樁長超過有效樁長后，通過增加樁長來控制沉降不是很有效的方法.