楊明輝，黃虎，鄧波，黃明華

（湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082）

條形錨板基礎因可提供抗拔承載力且施工方便、經(jīng)濟等優(yōu)點而在巖土工程領域運用廣泛[1-3].與平地環(huán)境下的基礎相比，不少抗拔錨板設置于臨坡環(huán)境，如邊坡支擋結構、山區(qū)信號塔工程及海洋臨坡碼頭等，此時，其邊坡一側土體的缺失導致其承載能力及土體破壞模式與平地環(huán)境截然不同，對稱模式下的常規(guī)抗拔機理分析不再適用.可見，開展適合臨坡段錨板抗拔承載力的研究，具有重要的工程意義和理論價值.

眾所周知，錨板上拔過程中的抗拔承載力由土體破裂面內(nèi)土體的重量和破裂面上的摩擦阻力組成，因此破裂面形態(tài)直接決定了錨板極限承載力.對于平地情形的條形錨板，其兩側破裂面是對稱的，不少學者基于試驗結果及理論分析，提出了不少土體破裂面的分布方程，基本可分為直線型與曲線型兩類.直線型破裂面大都認為直線與水平面夾角成45°-φ/2 或45°+φ/2（φ 為土體內(nèi)摩擦角）[1-3]，曲線型則包括圓弧形破裂面[4]、對數(shù)螺旋型破裂面[5-6]、破裂面與豎直方向的夾角為砂土剪脹角的曲面等.而對于靠近邊坡的條形錨板，目前破裂面的研究較少且缺乏試驗的直接觀測.Ganesh 等[3]假定錨板兩側土體破裂面為非對稱的直線破裂面，二者與水平面夾角相等，但臨坡一側破裂面延伸至邊坡；而Choudhury 等[6]則假定破裂面為對數(shù)螺旋線，并獲得了地震作用下的抗拔承載力的影響因素，但該類錨板直接埋置于傾斜地面處，而非靠近邊坡.

此外，由于土體破裂面位于土體內(nèi)部，試驗觀測具有一定難度，不少學者繞開破裂面的求解，采用數(shù)值分析方法對臨坡處的條形錨板的承載能力及影響因素進行分析.如Bildik 等人[7]采用PLAXIS 有限元軟件分析了臨近砂土邊坡錨板的抗拔承載力，研究了錨板的埋深比λ（錨板埋置深度H/錨板寬度2b，下同）、邊坡角度α（下同）、臨坡比ε（錨板邊緣到坡頂水平距離d/錨板寬度2b，下同）和不同砂土密實度（下同）對于錨板抗拔承載力的影響；Bhattacharya[8]和Khuntia 等[9]運用有限元分析方法，分析了臨近黏性土邊坡錨板的抗拔承載力.然而，數(shù)值分析方法由于未形成具體公式，難以在工程實際中得到推廣.

鑒于此，本文采用極限分析上限法[10-11]，并考慮土體非線性強度準則和相關聯(lián)流動準則，依據(jù)變分極值原理推導臨坡錨板上方土體破裂面表達式及抗拔承載力的上限解.而后，開展臨坡段條形錨板的抗拔承載對比試驗，對理論計算方法進行對比分析，以驗證該上限解答的有效性.最后，對影響臨界臨坡比的影響因素進行了探討，以期為臨坡錨板設計提供一定參考.

1 錨板極限抗拔承載力上限分析

基于運動學定理的極限分析上限法，由于其無須知道土體內(nèi)部應力和應變隨外荷載的變化狀態(tài)，只需要求出土體最終破壞狀態(tài)及對應的破壞荷載，從而大大簡化求解過程，因此在邊坡穩(wěn)定性分析及結構物承載力計算中得到了廣泛應用[12-14].在錨板承載力分析中，亦有不少研究，如王洪濤等[12]、黃明華等[13]和Zhao 等人[14]基于非線性強度準則和相關聯(lián)流動準則，采用極限分析上限法及變分原理獲得了水平淺埋條形錨板的抗拔承載力和破壞機制，本文將其進一步應用至臨坡段條形錨板的分析中.

1.1 材料非線性模擬

為描述土體材料強度特性，采用形式簡單、應用較廣泛的非線性Mohr-Coulomb 強度準則來模擬臨坡錨板在上拔過程中達到破壞時的剪應力和正應力關系[12-14]，如圖1 所示，其表達關系式如下：

式中：c0、σt分別為土體初始黏聚力和單軸抗拉強度，可通過試驗確定；m 為無量綱非線性系數(shù)，其描述土體強度包絡線的彎曲程度，m≥1.而當m=1 時，式（1）即退化為線性Mohr-Coulomb 強度準則，內(nèi)摩擦角可表示為tan φ=c0/σt.

圖1 非線性強度準則Fig.1 Tangential line for a nonlinear failure criterion

根據(jù)非線性強度準則和相關聯(lián)流動準則，可確定屈服函數(shù)F 和塑性勢函數(shù)δ 為：

1.2 臨坡條形錨板計算模型

如圖2 所示，假設條形錨板為剛性體，將臨坡抗拔錨板模型視為平面應變問題，取單位長度錨板進行研究.具體參數(shù)如下：邊坡傾角為α，土體重度為γ，錨板寬度為2b，埋深為H，極限抗拔承載力為Pu.以錨板所在位置中心為坐標原點，水平線向臨坡的另一側為x 軸正方向，豎直線向上為z 軸正方向，建立速度大小為，方向為沿z 軸正向的機動許可速度場，假定如下：

1）錨板兩側土體破裂面為非對稱分布[12]：臨坡側破裂面起始于錨板臨坡側底面，曲線向上延伸至坡面，未臨坡側破裂面與水平地面處情形一致.

2）綜合眾多試驗現(xiàn)象[15-17]，假設錨板上方左右兩側土體破裂面為曲線破裂面；曲線方程假定為fL（x）和fR（x），其在坡面和地面處的水平向破裂寬度分別為xL和xR，g（x）和g（-x）為坡面方程.

3）隨著臨坡比ε 增大，臨坡一側破裂面與坡面的交點不斷上移.而當ε 等于某一臨界值時，臨坡段抗拔錨板與水平地面處抗拔錨板破壞機制完全一致，即兩側破裂面完全一致.

圖2 臨坡段抗拔錨板幾何示意圖Fig.2 Failure mechanism of strip anchor near a slope

1.3 破壞機制的內(nèi)能耗散率

將錨板左右兩側破裂面視為有一定厚度w 的薄變形層，在薄變形層上的剪應力τ 和正應力σ 在破壞時均滿足式（1）非線性強度準則.可得到破裂面處薄層的塑性應變率：

為滿足變形相容協(xié)調(diào)條件，式（3）和式（5）中的塑性應變率分量應相等，結合兩式可導得兩側破裂面處的正應力σn：

在此只考慮發(fā)生在錨板兩側土體破裂面處的內(nèi)部能量耗散，薄變形層處單位體積的內(nèi)部能量耗散率，即

將式（7）分別沿著錨板左側破裂面fL（x）和右側破裂面fR（x）進行積分，即可得到錨板兩側破裂面的能量耗散率表達式：

1.4 外力做功功率

1.5 錨板抗拔承載力上限分析

根據(jù)虛功原理，研究對象內(nèi)部能量耗散功率與外力做功功率相等，即：

將式（10）～式（12）代入式（13）中，整理可得臨坡條形錨板極限抗拔承載力的表達式為：

式中：ΛL、ΛR為兩個泛函數(shù).

根據(jù)極限分析上限定理可知，對于假定的任何機動許可速度場，由式（14）確定的極限抗拔承載力應大于等于真實錨板極限抗拔承載力，所以需要在所有上限解中尋找最小值作為理論解.而Pu大小是由兩個泛函決定，故問題可轉換為求解兩個積分泛函在所對應區(qū)間內(nèi)的最小值，由變分極值條件可得：

分別將式（15）和（16）代入式（17），得

式（18）為二階常系數(shù)線性微分方程，將兩式兩邊分別對x 進行積分，整理后可得：

式中：A1、A2、A3、A4均為常數(shù)，可由以下邊界條件確定.

由于在坡面和地面處沒有切向力作用，故在坡面和地面處取微單元體，根據(jù)體力平衡，該微單元體的τ=0.此外，式（19）和式（20）還應滿足下列幾何邊界條件：

整合式（19）～（22）可求得4 個積分常數(shù)表達式，整理后可以得到破裂面的方程表達式，即

若土體參數(shù)及非線性參數(shù)已知，xL、xR可由下列方程組求得：

將式（23）（24）代入式（14），可得：

當α=0°時，式（26）簡化為：

式（26）即為臨近邊坡時條形錨板極限抗拔承載力的表達式，對比式（27）可知，該Pu值與文獻[12]中極限承載力計算理論公式一致，可見，文獻[12]為本文推導公式在邊坡角度為零（即平地）時的特例.

2 試驗驗證

基于極限上限理論推導的曲線破裂面及承載力計算公式需實測數(shù)據(jù)予以驗證.本文開展了不同坡角及不同臨坡距離的抗拔條形錨板承載對比試驗，并使用平地情形下的條形錨板作為坡角等于零的特例，進行了抗拔對比試驗.

2.1 試驗裝置與設備

臨坡條形錨板抗拔承載力模型試驗設備主要由試驗模型箱、錨板、加載反力架、整合位移與力傳感器的伺服液壓動作器、液壓加載控制系統(tǒng)及DIC（Digital Image Correlation）設備組成，如圖3 所示.模型箱由三面鋼板與兩面透明鋼化玻璃通過螺栓固定而成（DIC 高清相機通過透明玻璃可觀測到土體側面變形），模型箱的內(nèi)部尺寸為2 100 mm×800 mm×500 mm；錨板則由厚度為10 mm 的鋼板制成，尺寸為498 mm×100 mm，其長寬比L/B 為4.98，可看作為條形錨板；錨板通過圓環(huán)與伺服動作器上的圓弧型掛鉤連接，以給錨板施加豎直向上的上拔力荷載.除此之外，采用DIC 設備包括高清相機對錨板及周邊的砂土變形進行跟蹤拍攝.

DIC 圖像關聯(lián)技術是計算機技術、光電技術、圖像處理與識別技術相結合的產(chǎn)物，是一種非接觸的、用于全場形狀、變形、運動測量的方法[17].其基本原理是將所觀測物體表面隨機分布的人工散斑作為變形的信息載體，該載體以像素點為坐標，但各像素灰度均不同.在算法進行處理之前，先選取一個正方形區(qū)域圖像字塊，以子塊中心為跟蹤的像素點，當材料發(fā)生變形時，通過跟蹤一系列像素點變形后的位置得到相應的位移矢量.再經(jīng)過分析多個子塊的位移，從而得到整個觀測區(qū)域的位移場.DIC 圖像之間的匹配通過建立交叉關聯(lián)函數(shù)進行，交叉關聯(lián)函數(shù)為：

式中：Ru（Δx，Δy）為相關聯(lián)函數(shù)；M、N 為圖像塊的尺寸；I 和I′分別為t1和t2時刻在坐標（i，j）和（i+Δx，j+Δy）處的圖像灰度分布函數(shù)值；（Δx，Δy）為位移的增量.

圖3 試驗設備示意圖Fig.3 The test equipment

2.2 試樣制備與加載

試驗中采用的試樣為砂土，砂土的土體參數(shù)是通過開展了砂土大型直剪試驗測得，其物理性質指標如表1 所示.

試驗過程中采用分層壓實法構筑試驗邊坡，每層填筑的砂土厚度為70 mm，其用量根據(jù)邊坡角度的不同通過計算得到，當砂土堆填到200 mm 高度時，將錨板放置在預先標定位置，然后繼續(xù)采用相同的方法將砂土堆填至700 mm 高，保證每一組試驗錨板埋深比λ=5.

表1 土體基本參數(shù)Tab.1 The parameters of soil

錨板的上拔速度控制為2.4 mm/min，參考Ghaly[5]、Ilamparuthi[15]、張昕[17]等人試驗，其中埋深比設置為2～16，錨板上拔最大位移為20～40 mm，為保證錨板充分上拔，在本文試驗中當錨板上拔位移達到60 mm 時停止試驗.錨板上拔過程中，DIC 相機每隔2.5 s 拍攝一張圖像，同時，利用DIC 圖像處理程序對采集到的圖像進行處理，得到位移路徑，直至錨板上拔完成后停止拍攝.

3 試驗結果驗證與分析

3.1 土體破裂面對比

在錨板上拔的過程中，DIC 相機可清晰地記錄錨板周圍砂顆粒的移動軌跡，在圖像處理軟件中沿豎直方向設置一系列等間隔的水平線，在每一條水平線上，砂顆粒的垂直位移從條形錨板中心向左右兩側逐漸減小，如圖4 所示.與Ilamparuthi 等[15]所提出的方法類似，將每條水平線上豎向位移為零的點視為不動點，再連接一系列不動點以形成曲線，該曲線連接線即可視為錨板周圍土體的破裂面SL和SR.

圖4 土體破裂面確定方法Fig.4 Method to determine the soil failure surfaces

圖5～圖7 為基于本文理論上限解確定的土體破裂面與試驗結果的對比.圖5 為平地錨板兩側土體理論破裂面與試驗破裂面的對比圖，其中FL與FR為理論破裂面，由圖可知兩組破裂面均呈對稱分布.圖6 和圖7 分別為不同邊坡角度情況下的理論與試驗的破裂面比較圖，其中SL和SR為試驗得到的破裂面.邊坡角分別為15°和30°臨坡錨板的土體破裂面趨勢大致類似，隨著臨坡比增大，錨板兩側破裂面由非對稱趨于對稱.其中臨坡側破裂面起始于錨板臨坡一側曲線向上延伸至坡面，錨板臨坡另一側破裂面曲線向上延伸至水平地面.該現(xiàn)象與本文的假定條件2 吻合；而臨坡比增大，臨坡側破裂面與坡面交點不斷上移，錨板兩側土體破裂面趨于對稱，直至臨坡比增大到某一臨界值，此時錨板兩側土體破壞機制與平地一致，可忽略邊坡對錨板的效應，該現(xiàn)象則與本文假定條件3 吻合，如圖5 與圖7（d）所示.

可見，本文理論計算得出的破裂面形態(tài)與實測曲線具有良好的吻合度.相比較而言，臨坡錨板左側破裂面理論結果與試驗結果吻合程度更好；但隨著臨坡比的增大，右側破裂面理論與試驗結果逐漸逼近.

圖5 平地錨板的土體破裂面Fig.5 Comparison of soil failure surfaces in horizontal ground

圖6 坡角為15°時臨坡錨板的土體破裂面Fig.6 Comparison of soil failure surfaces when α=15°

圖7 坡角為30°時臨坡錨板的土體破裂面Fig.7 Comparison of soil failure surfaces when α=30°

3.2 錨板極限抗拔承載力

選取荷載位移曲線圖中的峰值點作為條形錨板的極限抗拔荷載，如圖8～圖10 所示.為便于比較，參照文獻[7]，設定抗拔承載力系數(shù)Nr為：

式中：γ 為土體的重度；A 為錨板的面積；H 為錨板的埋置深度.

圖8 當α=30°，不同ε 時錨板的荷載位移曲線圖Fig.8 Load displacement curves with different ε when α=30°

圖9 當α=15°，不同ε 時錨板的荷載位移曲線圖Fig.9 Load displacement curves with different ε when α=15°

圖10 埋置于平地時錨板的荷載位移曲線圖Fig.10 Load displacement curves of anchor buried in horizontal ground

由圖8～圖10 可知，錨板上拔極限荷載所對應的錨板向上位移約為10 mm，但需要指出的是，在達到上拔極限荷載后，錨板繼續(xù)上移所帶動的土體僅為滑動面以內(nèi)的土體，因此，錨板的滑動面形態(tài)保持不變.這與Ghaly[5]和Ilamparuthi[15]等人的試驗結果一致.

表2 為Nr的理論值與試驗值的對比.可知，兩者結果對比最大誤差在13%以內(nèi)，最小誤差僅為1.6%.仔細比較可知，理論值略大于試驗結果，但隨著臨坡比的增大，二者誤差逐漸減小.其原因在于錨板右側破裂面在臨坡比較小時并未完全等同于平地條件下的對稱破裂面，隨著臨坡比增大，臨坡條形錨板右側破裂面逐漸逼近平地條形錨板破裂面，故理論解隨著臨坡比增大而更接近試驗結果.

通過以上對比結果表明，臨坡條形錨板的抗拔承載力與本文理論解計算結果誤差均在13%以內(nèi)，而土體破裂面模式也基本吻合，驗證了理論解的合理性.

表2 Nr 的理論公式解與試驗結果對比Tab.2 Comparison between calculation of Nr and test value

為了進一步驗證該理論模型的合理性，本文結合文獻[1]的錨板抗拔試驗結果及其理論解析進行對比分析，文獻[1]在試驗中分別選取了3 組土體，即細砂、中砂和密砂.圖11 為本文理論解與文獻[1]試驗結果及極限平衡法的對比情況.由圖11 可知，本文理論解與文獻[1]試驗結果吻合較好，趨勢基本一致，錨板的抗拔承載力系數(shù)隨著埋深比增加呈線性增加，且相比極限平衡分析法，本文理論解更接近于試驗值.

圖11 本文理論解與文獻[1]試驗結果的對比Fig.11 Comparison of theoretical solution and experimental results in reference[1]

4 關于臨坡抗拔條形錨板臨界臨坡比的討論

對于臨坡處的條形錨板，可以預見的是，當臨坡比達到某一臨界值εcr時，邊坡對于錨板承載力和土體破壞機制已幾乎沒有影響，此時，可完全按照平地處的條形錨板進行設計計算，無須考慮邊坡的影響，因此確定臨界臨坡比的值具有重要的意義.

由圖12 可知，錨板左側破裂面隨著邊坡角度的減小，其破裂面逐漸擴大，直至邊坡角度為零（平面狀態(tài)），此時左側破裂面擴大至最大，即邊緣點至錨板中線距離xL達到最大值，與右側破裂面呈完全對稱形態(tài)，此時其極限承載力計算即可完全按照平地公式進行計算，因此，可以將此時的臨坡比作為臨界臨坡比.

圖12 不同邊坡角度的土體破裂面Fig.12 Shape of soil failure surfaces with different slope

可見，在邊坡角度大于零度，即存在邊坡效應時，總有xL

由式（25）可以求得xL和xR，其中取xL=xR時的臨坡比為臨界臨坡比偏大偏安全，如邊坡角度較小且臨坡比也較小時，錨板臨坡側破裂面還未完全對稱于另一側的破裂面，但此時錨板的抗拔承載力已經(jīng)接近同等情況下平地錨板抗拔承載力.通過代入土體非線性參數(shù)計算，可以得到臨界臨坡比的表達式，如當m=1.0，有

當m=2.0 時，有

由式（30）（31）可知，臨坡條形錨板的臨界臨坡比隨埋置深度和初始黏聚力的增大而增大，但隨著單軸抗拉強度增大而減小.

5 結論

本文引進極限分析理論，對位于靠近邊坡的條形錨板的破壞模式及極限承載力進行了深入分析，并開展了相應的室內(nèi)模型試驗，對所提出的理論方法進行了對比驗證.最后對臨界臨坡比的影響因素等問題進行了探討.主要結論如下：

1）基于變形破壞機理和極限分析上限定理，考慮土體非線性特性及相關聯(lián)流動準則，構造臨坡錨板達到極限破壞狀態(tài)的運動許可速度場，導得了臨坡錨板極限破壞狀態(tài)下土體破裂面曲線方程及極限抗拔承載力計算公式.

2）通過一系列改變邊坡角度和臨坡比的臨坡條形錨板抗拔室內(nèi)模型試驗，得到了錨板極限抗拔承載力與位移的關系曲線圖以及臨坡錨板兩側土體的位移變化及破裂面.試驗結果與理論計算結果對比驗證了理論方法的有效性，可為臨坡錨板抗拔基礎設計提供一定參考.

3）導得了臨界臨坡比的通用公式，結果表明臨坡錨板的臨界臨坡比與錨板埋置深度及土體參數(shù)有關，其隨埋置深度和初始黏聚力的增大而增大，隨著單軸抗拉強度的增大而減小.