胡亞元

（浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州 310058）

自然界中，許多巖土材料具有兩種不同尺度的孔隙，如裂隙黏土和巖體等.一種孔隙尺度比較小，通常仍稱為孔隙，另一種孔隙尺度比較大，通常呈裂縫或扁平狀，被稱為裂隙.當(dāng)孔隙和裂隙同時(shí)被一種流體占有時(shí)，就形成飽和孔隙-裂隙介質(zhì).近年來，隨著水利水電、海底隧道、核廢料儲(chǔ)存以及海洋能源開發(fā)等工程大量建設(shè)，為了分析滲流和變形的流固耦合特性，飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的本構(gòu)模型研究愈來愈受到工程力學(xué)界重視.Barenblatt 等[1]首先研究飽和孔隙-裂隙雙重孔隙介質(zhì)的本構(gòu)特性.Khalili 等[2]、劉耀儒等[3]建立了各向同性飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的線彈性模型.蔡國慶等[4]和Zhao 等[5]建立了各向異性飽和孔隙-裂隙黏土的本構(gòu)理論.張玉軍等[6]創(chuàng)建了考慮裂隙產(chǎn)狀等幾何特性的孔隙-裂隙巖體的彈塑性模型.這些開創(chuàng)性成果有力地促進(jìn)了飽和孔隙-裂隙介質(zhì)力學(xué)本構(gòu)理論的發(fā)展和應(yīng)用.

在當(dāng)前飽和孔隙-裂隙介質(zhì)本構(gòu)建模的研究文獻(xiàn)中，針對(duì)同一個(gè)工程問題往往會(huì)創(chuàng)建出多種差異懸殊的本構(gòu)模型.如何在各種模型中選擇適合的飽和孔隙-裂隙介質(zhì)本構(gòu)模型成為工程師和學(xué)者首先遇到的難題.混合物理論從普適性的力學(xué)守恒定理出發(fā)研究孔隙-裂隙本構(gòu)理論的普遍規(guī)律，具有嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)和明確的物理內(nèi)涵，許多學(xué)者建議把混合物理論作為判定其他本構(gòu)模型合理性的理論依據(jù)之一[7-11].Borja 等[7]和Zhang 等[8]根據(jù)混合物理論推導(dǎo)了飽和及非飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的能量平衡方程，并建立了飽和孔隙-裂隙介質(zhì)線彈性本構(gòu)模型，但該模型無法考慮裂隙與孔隙流相壓力之差所導(dǎo)致的固相體積變化.Li 等[9-10]基于混合物理論推導(dǎo)了非飽和雙孔隙膨脹土的外力功表達(dá)式，建立了非飽和雙孔隙膨脹土的彈塑性本構(gòu)模型；Guo 等[11]采用混合物理論建立了飽和及非飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的雙有效應(yīng)力彈塑性模型.然而，這些模型沒有考慮固相和流相的材料變形，只適用于土體松散介質(zhì)，無法適用于巖石和混凝土等非松散孔隙-裂隙介質(zhì)[12-16].為了彌補(bǔ)上述缺陷，深刻揭示孔隙骨架應(yīng)變和裂隙骨架應(yīng)變?cè)诙嗫捉橘|(zhì)流固耦合機(jī)制中的關(guān)鍵作用，便于利用均勻化響應(yīng)原理相來建立相對(duì)簡單實(shí)用的本構(gòu)模型[14]，有必要對(duì)飽和孔隙-裂隙介質(zhì)混合物理論作進(jìn)一步深入研究.

鑒于此，筆者發(fā)現(xiàn)孔隙-裂隙介質(zhì)可視為兩個(gè)單重孔隙介質(zhì)的嵌套疊加，即孔隙-裂隙介質(zhì)可視為在單重裂隙介質(zhì)的固相基質(zhì)中嵌套了一個(gè)單重孔隙介質(zhì).本文從這一嵌套思路出發(fā)來研究飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的能量守恒方程和一般本構(gòu)模型理論框架，從一般本構(gòu)模型理論出發(fā)可推導(dǎo)飽和雙重孔隙介質(zhì)的線彈性方程，指導(dǎo)和校正當(dāng)前飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的本構(gòu)建模工作.

1 體積分?jǐn)?shù)和密度

1.1 飽和孔隙-裂隙介質(zhì)各組分體積分?jǐn)?shù)和密度

飽和孔隙-裂隙介質(zhì)是由固相、裂隙流相與孔隙流相組成的混合物.固相由S 表示，裂隙流相由F 表示，孔隙流相由P 表示.令α∈{S，F(xiàn)，P}為組分指征變量.φα為第α 組分的體積分?jǐn)?shù)，ρα為第α 組分的平均密度，ρα為第α 組分的真實(shí)密度（或稱材料密度），滿足ρα=φαρα，則飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的總密度為ρ=ρS+ρF+ρP.根據(jù)體積分?jǐn)?shù)的定義有：

1.2 基于嵌套思路的各組分體積分?jǐn)?shù)和密度

本文把固相材料與孔隙流相組成的飽和單重孔隙介質(zhì)稱為飽和孔隙介質(zhì).當(dāng)把飽和孔隙-裂隙介質(zhì)中的固相材料和孔隙流相所構(gòu)成的飽和孔隙介質(zhì)視為一個(gè)整體時(shí)，此時(shí)只有裂隙被視為孔隙，本文把這種視角下的廣義飽和單重孔隙介質(zhì)稱為飽和裂隙介質(zhì).這樣，飽和孔隙-裂隙介質(zhì)可看作在飽和裂隙介質(zhì)的基質(zhì)中嵌入飽和孔隙介質(zhì)而成，而飽和孔隙-裂隙介質(zhì)可視為兩個(gè)單重孔隙介質(zhì)的嵌套疊加.

根據(jù)上述嵌套思路，首先考慮飽和裂隙介質(zhì).飽和孔隙介質(zhì)作為飽和裂隙介質(zhì)的一個(gè)組分用SP 表示，它的體積分?jǐn)?shù)為固相和孔隙流相體積分?jǐn)?shù)之和φSP=φS+φP.根據(jù)式（1），在飽和裂隙介質(zhì)中有：

然后考慮飽和孔隙介質(zhì).令β∈{S，P} 為飽和孔隙介質(zhì)的組分指征變量，當(dāng)飽和孔隙介質(zhì)視為一個(gè)獨(dú)立混合物時(shí)，則第β 組分在飽和孔隙介質(zhì)中的體積分?jǐn)?shù)為為飽和孔隙介質(zhì)中固相的平均密度，則在飽和孔隙介質(zhì)中有：

2 質(zhì)量與動(dòng)量守恒

2.1 質(zhì)量守恒

令第α 組分的初始位置為Xα，t 時(shí)刻的空間位置為x，則每一組分的運(yùn)動(dòng)方程為x=xα（Xα，t），每一組分的速度和加速度可表示為：

對(duì)于定義在x 和t 上的標(biāo)量場或矢量場Γα，基于α 組分的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義為：

由于固相與裂隙中的流相、固相與孔隙中的流相均不存在質(zhì)量交換，而裂隙中的流相和孔隙中的流相之間存在質(zhì)量交換，則固相、裂隙流相與孔隙流相的質(zhì)量守恒方程為：

式中：cF和cP分別表示裂隙流相與孔隙流相之間的質(zhì)量交換率，滿足cF+cP=0.

把固相作為飽和孔隙-裂隙介質(zhì)混合物的參考構(gòu)形，令裂隙流相和孔隙流相相對(duì)固相的擴(kuò)散速度分別為WF=vF-vS和WP=vP-vS.把WF、WP、式（5）和ρα=φαρα代入式（6）～（8）得：

令div vr為飽和孔隙介質(zhì)整體的體積變形率，與式（6）相類似，根據(jù)飽和孔隙介質(zhì)中的質(zhì)量守恒定律，有

將式（13）代入式（12）得：

2.2 動(dòng)量和動(dòng)量矩守恒

2.2.1 飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的Cauchy 應(yīng)力張量

在飽和孔隙-裂隙介質(zhì)混合物中，令σ 為混合物總Cauchy 應(yīng)力張量，σα（α∈{S，F(xiàn)，P}）為第α 組分的Cauchy 應(yīng)力張量，根據(jù)混合物理論有[7，16]

令總壓力PT=-σ ∶I/3.固相材料真實(shí)壓力PS與σS之間滿足φSPS=-σS∶I/3，裂隙壓力PF和孔隙孔壓PP與其應(yīng)力的關(guān)系滿足φFPFI=-σF和φPPPI=-σP，利用上述關(guān)系和式（15）得：

根據(jù)嵌套思路，先考慮飽和裂隙介質(zhì).飽和孔隙介質(zhì)作為飽和裂隙介質(zhì)的組分，它的Cauchy 應(yīng)力張量等于σSP=σS+σP.飽和裂隙介質(zhì)總應(yīng)力和各組分應(yīng)力之間的關(guān)系由式（15）得：

令PSP=-σSP∶I（/3φSP）為飽和孔隙介質(zhì)所受的真實(shí)壓力，飽和裂隙介質(zhì)總壓力和各組分壓力之間的關(guān)系由式（17）得：

再考慮飽和孔隙介質(zhì).如圖1（c）和（d）所示，把飽和孔隙介質(zhì)取為單元體，則固相和孔隙流相組分的Cauchy 應(yīng)力張量分別為σrS=σS/φSP和σrP=σP/φSP，飽和孔隙介質(zhì)混合物總應(yīng)力張量為σr=σrS+σrP=σSP/φSP.故飽和孔隙介質(zhì)在單元體上的總應(yīng)力等于它在飽和裂隙介質(zhì)中的真實(shí)應(yīng)力，因而PSP=-σr∶I/3.飽和孔隙介質(zhì)總壓力和各組分壓力之間的關(guān)系為：

圖1 給出了飽和孔隙-裂隙介質(zhì)總壓力與各組分壓力關(guān)系式.

圖1 飽和孔隙-裂隙介質(zhì)特征單元體示意圖Fig.1 Schematic diagram for the representative volume element of saturated pore-fracture media

從圖1 可以看出，圖1（a）表示總壓力PT作用在飽和孔隙-裂隙介質(zhì)單元體上，圖1（b）表示了式（16）和式（18）反映的飽和孔隙-裂隙介質(zhì)和飽和裂隙介質(zhì)的壓力關(guān)系式，圖1（c）表示PSP作用在飽和孔隙介質(zhì)單元體上，圖1（d）表示了式（19）反映的飽和孔隙介質(zhì)的壓力關(guān)系式.

2.2.2 飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的動(dòng)量和動(dòng)量矩守恒

工程界為便于應(yīng)用，通常不考慮飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的微極介質(zhì)特性，故第α 組分的動(dòng)量矩供應(yīng)量為0，利用固相、裂隙流相和孔隙流相的動(dòng)量矩守恒方程可得應(yīng)力張量σα（α∈{S，F(xiàn)，P}）是對(duì)稱張量.

3 能量平衡方程

3.1 能量平衡方程

令qα、rα和分別為第α 組分的熱流向量、外熱供給量和能量供給量，ξα為第α 組分的內(nèi)能密度，則固相、裂隙流相和孔隙流相的能量平衡方程為：

式中：DS=[grad vS+（grad vS）T]/2 為固相變形率；DF=[grad vF+（grad vF）T]/2 為裂隙流相變形率；DP=[grad vP+（grad vP）T]/2 為孔隙流相變形率.把式（23）～（25）相加可得：

從式（26）可知，等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)的物理含義為各組分應(yīng)變能變化率之和，利用σF=-φFPFI、σP=-φPPPI、WF和WP，各組分應(yīng)變能變化率之和可得：

根據(jù)嵌套思路，先考慮飽和裂隙介質(zhì).令飽和裂隙介質(zhì)Terzaghi 有效應(yīng)力為=σ+PFI，利用式（2）、式（10）、式（13）和div vS=I ∶DS，把式（27）等式右邊的前兩項(xiàng)替換后可得：

式（32）表明DH的球應(yīng)變速率與孔隙介質(zhì)在裂隙介質(zhì)中的體積分?jǐn)?shù)相關(guān).孔隙介質(zhì)是裂隙介質(zhì)的基質(zhì)，在裂隙介質(zhì)中起到骨架作用，因此本文把DH稱為裂隙骨架變形率.式（34）表明DH的球應(yīng)變速率與裂隙比改變率亦直接相關(guān)，即DH也可以采用裂隙介質(zhì)的裂隙比來定義.同理，根據(jù)式（33）和式（35），DD可稱為孔隙骨架變形率.把DD=Dr+（dS?S/dt）I/3 和DH=DS-Dr代入式（31）后再把它代入到式（26）得：

在式（36）中，固相變形率DS被分為三部分：裂隙骨架變形率DH，孔隙骨架變形率DD和固相材料體應(yīng)變率dS?S/dt.在式（36）中，DH、DD、dS?S/dt、dF?F/dt 和dP?P/dt 分別與和PP/ρF形成功共軛對(duì).由熱力學(xué)理論可知，在一般情況下，應(yīng)選取裂隙骨架應(yīng)變、孔隙骨架應(yīng)變、固相材料體應(yīng)變、裂隙流相材料體應(yīng)變和孔隙流相材料體應(yīng)變作為飽和孔隙-裂隙介質(zhì)本構(gòu)模型的應(yīng)變狀態(tài)變量；選取單位密度上的裂隙介質(zhì)有效應(yīng)力、孔隙介質(zhì)有效應(yīng)力、固相材料真實(shí)壓力、裂隙孔壓和孔隙孔壓作為應(yīng)力狀態(tài)變量.

3.2 混合物均勻化響應(yīng)原理

為了適應(yīng)工程應(yīng)用，工程界常常利用混合物均勻化響應(yīng)原理來簡化混合物的本構(gòu)關(guān)系.混合物均勻化響應(yīng)原理的內(nèi)容為[14]：當(dāng)混合物單元體承受外荷載時(shí)，若混合物單元體中每一點(diǎn)的真實(shí)應(yīng)變?cè)隽浚ɑ蛩俾剩┫嗟龋瑒t該混合物單元體等效于單相均勻單元體，即單元體內(nèi)每一點(diǎn)處的真實(shí)應(yīng)力增量（或加荷速率）也相等；反之也然.在Khalili 等[2]、陳正漢[17]、陳勉和陳至達(dá)[18]推導(dǎo)各種飽和和非飽和混合物本構(gòu)關(guān)系時(shí)，混合物均勻化響應(yīng)原理曾發(fā)揮了至關(guān)重要的作用.

現(xiàn)在應(yīng)用混合物均勻化原理對(duì)能量平衡方程的合理形式作分析.根據(jù)嵌套思路，先應(yīng)用混合物均勻化原理分析飽和裂隙介質(zhì).令裂隙介質(zhì)有效壓力為∶I/3.在保持總壓力PT與裂隙孔壓PF增速相等的情況下，飽和裂隙介質(zhì)每一點(diǎn)的真實(shí)應(yīng)力增速相等，此時(shí)裂隙介質(zhì)有效壓力增速為零，但在飽和孔隙介質(zhì)變形不可忽略的情況下，飽和孔隙介質(zhì)將產(chǎn)生大小為Dr∶I≠0 的體應(yīng)變速率.根據(jù)混合物均勻化響應(yīng)原理，飽和裂隙介質(zhì)每一點(diǎn)應(yīng)力加荷速率相等時(shí)，其應(yīng)變速率也相等，則飽和裂隙介質(zhì)的體應(yīng)變速率為DS∶I=Dr∶I ≠0，故當(dāng)時(shí)DS≠0，這意味著DS不僅與有關(guān)還與飽和裂隙介質(zhì)的其他應(yīng)力有關(guān)，故選取DS作為的功共軛變量不利于飽和裂隙介質(zhì)的本構(gòu)建模工作.因?yàn)椋?dāng)dt=0 時(shí)，DH=DS－Dr=0，所以本文選取DH作為的功共軛變量，這樣當(dāng)混合物均勻化原理成立時(shí)，DH只與有關(guān)而與飽和裂隙介質(zhì)的其他應(yīng)力無關(guān)，從而根據(jù)彈性互易定理可以推斷出DH與其他應(yīng)變相互解耦的結(jié)論.

再應(yīng)用混合物均勻化響應(yīng)原理分析飽和孔隙介質(zhì).與飽和裂隙介質(zhì)的分析相類似，當(dāng)混合物均勻化響應(yīng)原理成立時(shí)，Dr不僅與有關(guān)還與飽和孔隙介質(zhì)的其他應(yīng)力有關(guān)，故選取Dr作為的功共軛變量同樣不利于本構(gòu)建模工作.由于當(dāng)時(shí)，DD=Dr+（dS?S/dt）I/3=0，故選取DD作為的共軛變量.當(dāng)均勻化響應(yīng)原理成立時(shí)，同理可以得出Dr與其他應(yīng)變相互解耦的結(jié)論，這也是本文要把應(yīng)變能寫為式（31）和能量平衡方程寫為式（36）的原因.

3.3 能量平衡方程的退化

式（38）與飽和多孔介質(zhì)的能量守恒方程完全一致[14].

4 一般勢(shì)函數(shù)本構(gòu)方程

4.1 有限應(yīng)變情況下的一般本構(gòu)方程

在有限應(yīng)變情況下，利用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)[19]中變形梯度的分解方法，先將裂隙介質(zhì)變形梯度分解為孔隙介質(zhì)變形梯度與裂隙骨架變形梯度的乘積；后將孔隙介質(zhì)變形梯度分解為固相材料變形梯度與孔隙骨架變形梯度的乘積，如圖2 所示，圖中F 表示變形梯度.

圖2 孔隙-裂隙介質(zhì)變形梯度示意圖Fig.2 Schematic diagram for the deformation gradient of pore-fracture media

為了工程應(yīng)用，通常做如下簡化：孔隙-裂隙介質(zhì)的固相內(nèi)能、裂隙流相材料內(nèi)能和孔隙流相材料內(nèi)能之間相互獨(dú)立，即ξS=ξS（UH，ED，?S，ηS），ξF=ξF（?F，ηF）和ξP=ξP（?P，ηP），ηα為各組分熵密度，并假定固相材料、裂隙流相材料和孔隙流相材料具有相同溫度θ.則根據(jù)熱力學(xué)局部平衡條件以及UH、ED、?S、?F、和?P相互獨(dú)立的性質(zhì)，有

式（40）和式（41）便是有限應(yīng)變情況下飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的內(nèi)能勢(shì)函數(shù)一般本構(gòu)方程.由于內(nèi)能是一種自由能，反映的是彈性性質(zhì)，故式（40）和式（41）為飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的一般彈性本構(gòu)方程.把式（40）和（41）代入式（39）得：

將式（42）與非平衡態(tài)熱力學(xué)相結(jié)合，按照文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)過程可進(jìn)一步獲得飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的塑性本構(gòu)方程，受篇幅限制本文不再贅述.

4.2 小應(yīng)變情況下的一般本構(gòu)方程

4.2.1 小應(yīng)變情況下各組分應(yīng)變計(jì)算公式

在小應(yīng)變情況下可略去高次項(xiàng)，令εS為固相應(yīng)變張量ES的近似值，εH為裂隙骨架應(yīng)變張量UH的近似值[19]，εr為孔隙介質(zhì)應(yīng)變張量Er的近似值，εD為孔隙骨架應(yīng)變張量ED的近似值，此時(shí)得[19]：

式中：uH=xS-xr，ur=xr-XS，uD=xr-xM，xM是材料變形后的位置.注意到?S以壓為正，ε 以拉為正.對(duì)比式（43）～式（47）可得：

由式（48）可知，在小應(yīng)變情況下，飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的固相應(yīng)變?chǔ)臩可以分解為裂隙骨架應(yīng)變?chǔ)臜、孔隙骨架應(yīng)變?chǔ)臘與固相材料體應(yīng)變?S之和.

在小應(yīng)變情況下，令εSV、εHV和εDV分別為固相、裂隙骨架和孔隙骨架體應(yīng)變，對(duì)式（48）取跡得：

根據(jù)式（34）和式（35），可得εHV和εDV的表達(dá)式分別為：

式中：φSP0為飽和孔隙介質(zhì)整體的初始體積分?jǐn)?shù)：為飽和孔隙介質(zhì)中固相組分初始體積分?jǐn)?shù).

接下來推導(dǎo)流相體應(yīng)變計(jì)算式.首先，在小應(yīng)變情況下，?F和?P可近似地簡化為：

式（58）和（59）便是小應(yīng)變情況下裂隙流相體應(yīng)變和孔隙流相體應(yīng)變的計(jì)算式.從式（49）、式（58）和（59）可以明顯地看出，裂隙骨架體應(yīng)變同時(shí)影響固相體應(yīng)變、裂隙流相體應(yīng)變和孔隙流相體應(yīng)變，孔隙骨架體應(yīng)變同時(shí)影響固相體應(yīng)變和孔隙流相體應(yīng)變.故固相、孔隙流相和裂隙流相之間必然存在受力變形耦合，它們是通過裂隙骨架和孔隙骨架應(yīng)變進(jìn)行傳遞和協(xié)同的.

4.2.2 一般本構(gòu)方程

令ξ*=ρS0ξS+ρF0ξF+ρP0ξP，式中：ρS0為固相初始平均密度；ρF0為裂隙流相初始平均密度；ρP0為孔隙流相初始平均密度.小應(yīng)變條件下可略去高次項(xiàng)，有

根據(jù)熱力學(xué)局部平衡假定，式（61）中的內(nèi)能可表示為ξ*=ξ*（η，εH，εD，?α），對(duì)它求全微分得：

根據(jù)熱力學(xué)局部平衡假定，對(duì)比式（61）和式（62）得：

式（63）便是飽和孔隙-裂隙介質(zhì)在小應(yīng)變情況下的一般彈性本構(gòu)方程.將式（64）與非平衡態(tài)熱力學(xué)相結(jié)合，按照文獻(xiàn)[14]的推導(dǎo)過程可獲得飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的塑性本構(gòu)方程，受篇幅限制，本文不再贅述.

4.3 一般本構(gòu)方程的退化和驗(yàn)證

4.3.1 小應(yīng)變各向同性線彈性本構(gòu)方程

引入Helmhotlz 自由能ψ*（θ，εH，εD，?α），它等于ψ*（θ，εH，εD，?α）=ξ*（η，εH，εD，?α）-θη，對(duì)它求全微分后把式（63）代入得：

令飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的初始平衡狀態(tài)為（θ，εH，εD，?α）=（θ0，0，0，0），在受到微小擾動(dòng)后，到達(dá)一個(gè)新的平衡狀態(tài)（θ0+θΔ，εH，εD，?α），θΔ為溫度增量.根據(jù)勢(shì)函數(shù)本構(gòu)方程的一般性質(zhì)可知，若自由能函數(shù)取為狀態(tài)變量的二次多項(xiàng)式函數(shù)，可獲得線彈性本構(gòu)關(guān)系.故Helmhotlz 自由能取為：

式 中：KHH、KDD、Kαχ、Kθθ、KHD、KHα、KDα、KHθ、KDθ、Kθα為模型的彈性系數(shù)；Kαχ=Kχα，α∈{S，F(xiàn)，P}，χ∈{S，F(xiàn)，P}.把式（66）代入式（65）得：

式中：KDH為KHD的轉(zhuǎn)置.

在當(dāng)前飽和孔隙-裂隙介質(zhì)研究中，絕大多數(shù)研究均假定：1）溫度不變，即θΔ=0；2）裂隙與孔隙中流相材料的本構(gòu)關(guān)系與其單獨(dú)存在時(shí)的本構(gòu)關(guān)系相同；3）孔隙骨架和裂隙骨架存在變形耦合；4）固相介質(zhì)為各向同性材料.由假定2）可知固相變形與流相材料變形相互解耦.根據(jù)假定4），KHH和KDD為各向同性張量.根據(jù)上述4 個(gè)假定，式（67）～式（69）可分別表示為：

式中：I 為二階單位張量；I4為四階單位張量；νHH為裂隙骨架自身的泊松比；EHH為裂隙骨架自身的彈性模量；νHD為孔隙和裂隙骨架的耦合泊松比；EHD為孔隙和裂隙骨架的耦合彈性模量；νDD為裂隙骨架的泊松比；EDD為孔隙骨架的彈性模量；KRα、α∈{S，F(xiàn)，P}分別為固相材料和流相材料的體積模量.AV和AS分別為：

對(duì)式（71）和（72）求逆后得：

式（84）即為固相線彈性本構(gòu)方程.對(duì)式（84）求跡并利用PT=-σ ∶I/3得固相體應(yīng)變?yōu)椋?/p>

在實(shí)際工程中，比較關(guān)心的是流體流出或流入孔隙-裂隙介質(zhì)的流量，定義裂隙流相滲入量為ζF=φF0（εSV-εFV），孔隙流相滲入量為ζP=φP0（εSV-εPV）[20]，利用式（49）、式（58）和（59），ζF和ζP的表達(dá)式分別為：

式（88）和（89）分別為本文獲得的裂隙流相和孔隙流相滲入量本構(gòu)方程.

4.3.2 與Khalili 方程的對(duì)比與驗(yàn)證

Khalili 等[2]假定1/KHD=0，獲得的固相本構(gòu)方程、裂隙流相滲流方程和孔隙流相滲流方程分別為：

式中：kF和kP分別為裂隙骨架與孔隙骨架的各向同性滲透系數(shù)；μ為流相材料的黏滯系數(shù)：為拉普拉斯算子.對(duì)式（90）求εS關(guān)于σ 的反函數(shù)可得：

注意到Khalili 等[2]推導(dǎo)式（91）和（92）時(shí)假定裂隙和孔隙流相滲流滿足達(dá)西定理.根據(jù)達(dá)西定理可得：

把式（94）和（95）代入式（91）和（92）后求時(shí)間積分得：

顯然，當(dāng)1/KHD=0 時(shí)，式（84）、式（88）和（89）與式（93）、式（96）和（97）完全一致，說明從本文的自由能勢(shì)函數(shù)一般本構(gòu)方程出發(fā)可以獲得與Khalili 等相同的線彈性本構(gòu)模型.Khalili 等把他們的線彈性本構(gòu)模型用于裂隙黏土的固結(jié)分析，獲得了與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相一致的理論分析結(jié)果[2，15].這說明從本文的一般本構(gòu)方程出發(fā)可獲得經(jīng)過試驗(yàn)驗(yàn)證的本構(gòu)模型.

5 結(jié)論

1）在考慮固相和流相材料變形的條件下，以嵌套思路推導(dǎo)了飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的能量平衡方程.確定了飽和孔隙-裂隙介質(zhì)本構(gòu)方程的應(yīng)變狀態(tài)變量是裂隙骨架應(yīng)變、孔隙骨架應(yīng)變、固相材料體應(yīng)變、裂隙流相材料體應(yīng)變和孔隙流相材料體應(yīng)變；應(yīng)力狀態(tài)變量是單位密度上的裂隙介質(zhì)有效應(yīng)力、孔隙介質(zhì)有效應(yīng)力、固相材料真實(shí)壓力、裂隙孔壓和孔隙孔壓.

2）在小應(yīng)變情況下，固相應(yīng)變可分解為裂隙骨架應(yīng)變、孔隙骨架應(yīng)變和固相材料體應(yīng)變之和.獲得有限應(yīng)變和小應(yīng)變條件下的飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的自由能勢(shì)函數(shù)一般本構(gòu)方程.

3）當(dāng)混合物均勻化響應(yīng)原理成立時(shí)，裂隙骨架、孔隙骨架和固相材料的本構(gòu)模型相互解耦；當(dāng)裂隙與孔隙中流相材料的本構(gòu)關(guān)系與純流相本構(gòu)關(guān)系相同時(shí)，固相與流相材料變形相互解耦.當(dāng)上述兩個(gè)性質(zhì)均成立時(shí)，裂隙骨架應(yīng)變唯一決定裂隙介質(zhì)有效應(yīng)力、孔隙骨架應(yīng)變唯一決定孔隙介質(zhì)有效應(yīng)力、固相材料體應(yīng)變唯一決定固相材料真實(shí)壓力、裂隙流相材料體應(yīng)變唯一決定裂隙孔壓和孔隙流相材料體應(yīng)變唯一決定孔隙孔壓.運(yùn)用這些本構(gòu)性質(zhì)可以簡化本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜程度，有利于工程應(yīng)用.

4）當(dāng)自由能勢(shì)函數(shù)取為狀態(tài)變量的二次多項(xiàng)式時(shí)，獲得孔隙骨架和裂隙骨架相互耦合的各相同性線彈性本構(gòu)方程，當(dāng)孔隙骨架和裂隙骨架變形解耦時(shí)，該線彈性方程退化為飽和孔隙-裂隙介質(zhì)Khalili線彈性方程.Khalili 等利用他們提出的線彈性本構(gòu)方程獲得與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相一致的理論分析結(jié)果[2，15]，這說明本文基于一般勢(shì)函數(shù)的本構(gòu)方程理論框架可以指導(dǎo)飽和孔隙-裂隙介質(zhì)的具體本構(gòu)建模工作.