張雪嬌, 劉官廳

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

繞流運(yùn)動(dòng)廣泛存在于生活中,在水利、建筑和環(huán)境等實(shí)際工程中有很多應(yīng)用,如風(fēng)繞過飛機(jī)、火車和建筑物,水繞過船只、潛艇等。當(dāng)流體繞過物體時(shí),流體會(huì)對物體產(chǎn)生一定的力的作用,因此研究繞流運(yùn)動(dòng)具有很重要的實(shí)際意義[1-2]。文獻(xiàn) [3]對高層建筑周圍的空氣繞流運(yùn)動(dòng)做了數(shù)值模擬,文獻(xiàn) [4]分析了帶阻流板海底管道管跨繞流流場,文獻(xiàn) [5]對有限平板繞流做了數(shù)值模擬。在目前繞流問題相關(guān)研究中,關(guān)于圓柱繞流的研究較多[6-10],文獻(xiàn) [11]總結(jié)了圓柱繞流的研究進(jìn)展及展望,建議研究海洋工程中樁體、管線、立管的圓柱繞流問題。文獻(xiàn) [12]對圓柱繞流做了離散渦數(shù)值模擬,得到了多個(gè)圓柱不同情境下的流線圖,文獻(xiàn) [13]研究圓柱繞流的大渦模擬。目前圓柱繞流的相關(guān)問題也已經(jīng)具有相當(dāng)成熟的結(jié)果,同時(shí)圓柱繞流也對許多其他繞流問題具有一定的指導(dǎo)意義和奠基作用。本文對橢圓柱繞流問題的研究就是以圓柱繞流問題為基礎(chǔ)的,橢圓柱由于自身形狀的優(yōu)勢,在對抗流體作用時(shí)有更大的優(yōu)勢,因此對橢圓柱繞流的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

無粘性不可壓縮流體的無旋運(yùn)動(dòng)是流體力學(xué)中的一種理想化模型,它是真實(shí)流體流動(dòng)在一定條件下的簡化,簡化后許多問題可以得到很好地解決,故對它的研究意義重大。本文研究無粘性不可壓縮流體的橢圓柱繞流運(yùn)動(dòng),根據(jù)該流動(dòng)的特點(diǎn),利用復(fù)變方法求得復(fù)勢函數(shù),并且進(jìn)一步求得勢函數(shù)和流函數(shù),畫出流線圖和等勢線圖。經(jīng)過分析,與實(shí)際流動(dòng)情況吻合較好。

1 問題陳述

圖1 物理平面z

設(shè)長軸為2a,短軸為2b的無限長橢圓柱放置在無粘性不可壓縮流體中,在無窮遠(yuǎn)處速度為V∞的均勻來流平行繞過該橢圓柱,沖角為α,流體做平面無旋運(yùn)動(dòng)。流動(dòng)形式如圖1所示。本文研究橢圓柱附近的流體流動(dòng)情況以及橢圓柱體表面的壓強(qiáng)分布情況。

2 基本方程

2.1 無粘性不可壓縮流體無旋運(yùn)動(dòng)的速度勢函數(shù)

無粘性不可壓縮流體的無旋運(yùn)動(dòng)是流體力學(xué)中一種理想化的簡單模型。無粘性不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足連續(xù)性方程

divv=0

(1)

和運(yùn)動(dòng)方程[14]

(2)

其中v是流體速度,Fb是質(zhì)量力,ρ是流體密度,p是流體壓強(qiáng)。此外,對于不同的邊界還應(yīng)滿足不同的邊界條件。這組方程是非線性的而且速度和壓強(qiáng)耦合在一起,求解比較困難。

如果在所討論的流場區(qū)域中,流體運(yùn)動(dòng)是無旋的,即rotv=0,則一定存在一個(gè)勢函數(shù)φ(x,y,z;t)使得v=φ。函數(shù)φ(x,y,z;t)稱為速度勢函數(shù),將v=φ代入(1)式,則連續(xù)性方程變?yōu)?/p>

(3)

這是一個(gè)拉普拉斯方程,在給定的邊界條件下可以求出它的解。對于正壓流體和體力有勢的情況,當(dāng)流動(dòng)無旋時(shí),有拉格朗日積分

(4)

這樣,無粘性不可壓縮流體無旋運(yùn)動(dòng)的基本方程組變?yōu)?/p>

(5)

(6)

邊界條件視具體邊界而定。方程(5)是拉普拉斯方程,在數(shù)學(xué)上已有許多方法可求其通解。所以只需要求得φ,問題便迎刃而解。然而在邊界比較復(fù)雜時(shí),上述問題的求解仍有一定難度。

2.2 不可壓縮流體平面運(yùn)動(dòng)的流函數(shù)

如果流體做平面運(yùn)動(dòng),取此平面為x-y平面,則連續(xù)性方程[14]寫為

(7)

這里vx,vy分別為流體速度v在x方向和y方向上的分量。引入一個(gè)新的標(biāo)量函數(shù)ψ,使得

此時(shí)方程(7)自動(dòng)滿足。通常將標(biāo)量函數(shù)ψ稱為流函數(shù)。對于平面流動(dòng),流體渦量ω只有z軸方向上的分量,記為ω=ωk。從而有ω=-2ψk,又可以寫為

ω=-2ψ,

(8)

在無旋運(yùn)動(dòng)的情況下,方程(8)化為

(9)

于是,對于本文所討論的無粘性不可壓縮流體的平面無旋運(yùn)動(dòng),流函數(shù)ψ也滿足拉普拉斯方程。只要找到流函數(shù)ψ,問題也可以得到解決。

2.3 平面無旋運(yùn)動(dòng)的復(fù)勢

無粘性不可壓縮流體的平面無旋運(yùn)動(dòng)可以引進(jìn)速度勢φ或流函數(shù)ψ來解決,它們都滿足拉普拉斯方程。根據(jù)定義,在直角坐標(biāo)系中[14]有

(10)

這說明這兩個(gè)調(diào)和函數(shù)滿足柯西-黎曼條件,因此它們可以組成一個(gè)解析函數(shù)

W(z)=φ(x,y)+iψ(x,y),

(11)

2.4 流場中的速度及壓強(qiáng)分布

流場中的任意一點(diǎn)處的流體速度

(12)

對于流場中的任意一點(diǎn)處的壓強(qiáng)p可以由伯努利方程求出

(13)

其中V∞、p∞和ρ∞分別為無窮遠(yuǎn)來流的速度、壓強(qiáng)和密度。定義壓強(qiáng)系數(shù)[14]

(14)

以描述流場中的壓強(qiáng)分布。

3 橢圓柱繞流問題的解析解

3.1 基本思想

若C*為半徑為R的圓周,則在平面ζ上復(fù)勢函數(shù)為[14]

(15)

W*(ζ)=W*(F-1(z))=W(z)。

(16)

圖2 數(shù)學(xué)平面ζ

3.2 保角變換

對于圖1所示的問題,利用儒可夫斯基變換

(17)

其逆變換為

(18)

它將z平面上長軸為2a,短軸為2b的橢圓變換為ζ平面上半徑為c的圓周(c=a+b),將橢圓外部區(qū)域變換為圓周外部區(qū)域,如圖2所示。

3.3 勢函數(shù)和流函數(shù)的計(jì)算

(19)

這與文獻(xiàn)[15]的結(jié)果一致。

分離W(z)的實(shí)部和虛部得

(20)

其中

其中θ是x2-y2-a2+b2+i 2xy?X+iY的輻角且k=0或1。

于是由(20)式可得

(21)

(22)

且當(dāng)θ和k取不同值時(shí),φ(x,y)和ψ(x,y)也不盡相同。對于勢函數(shù)和流函數(shù),由φ(x,y)=const可以畫出等勢線圖。同理,令ψ(x,y)=const可以畫出流線圖,從而可以分析流體的流動(dòng)規(guī)律。

3.4 壓強(qiáng)系數(shù)

求得勢函數(shù)和流函數(shù)后,由(10)式、(12)式、(13)式和(14)式可以得到壓強(qiáng)系數(shù)cp(將在隨后數(shù)值實(shí)例中討論),進(jìn)而可以畫出壓強(qiáng)系數(shù)圖,以此來分析流場的壓強(qiáng)分布。

4 數(shù)值算例

4.1 勢函數(shù)和流函數(shù)

(23)

(24)

其中θ是x2-y2-3+i 2xy?X+iY的輻角,且k=0,1。根據(jù)θ的不同取值可以將z平面(除去橢圓內(nèi)部)劃分為如圖3所示區(qū)域。為了保證兩個(gè)平面的繞流一一對應(yīng),需要對k的取值進(jìn)行討論,在區(qū)域1、區(qū)域2和區(qū)域6處取k=0,在區(qū)域3、區(qū)域4和區(qū)域5處取k=1。

(25)

(26)

同理,可以得到其他幾個(gè)區(qū)域的勢函數(shù)和流函數(shù)。

4.2 流線圖

根據(jù)(25)式,令ψ(x,y)=const,并使const取適當(dāng)?shù)闹?可以畫出橢圓柱附件的流線圖,如圖4所示。

圖3 六個(gè)不同區(qū)域 圖4 區(qū)域1的流線圖

4.3 壓強(qiáng)系數(shù)

根據(jù)在區(qū)域5和區(qū)域6的勢函數(shù),再利用(12)式、(13)式和(14)式可得區(qū)域5和區(qū)域6中橢圓柱表面的壓強(qiáng)系數(shù)為

(27)

圖5 區(qū)域5-6的壓強(qiáng)系數(shù)圖

壓強(qiáng)系數(shù)圖如圖5所示。由圖5可知,在x=-1.5處,壓強(qiáng)系數(shù)達(dá)到最大值1,表明此處壓強(qiáng)也達(dá)到最大值2 000+p∞,且流體速度v=0 m/s。在約x=-0.12處,壓強(qiáng)系數(shù)cp=0,故此處壓強(qiáng)p=p∞,速度v=V∞=2 m/s。

類似地,可以得到其他區(qū)域的橢圓柱表面的壓強(qiáng)系數(shù)圖,進(jìn)而可以分析壓強(qiáng)分布情況,此處不再贅述。

5 幾種重要且特殊的情形

5.1 流動(dòng)沖角為0的情形

當(dāng)α=0時(shí),流動(dòng)復(fù)勢函數(shù)(20)式變?yōu)?/p>

(28)

其中X1和Y1如上所述。仍采用實(shí)例5中的數(shù)值,于是當(dāng)α=0時(shí)區(qū)域1的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為

(29)

(30)

同理,可以得到其他幾個(gè)區(qū)域的勢函數(shù)和流函數(shù)。

利用相同的方法,可以得到α=0時(shí)的流線圖和等勢線圖,如圖6和圖7所示。

圖6 α=0時(shí)的流線圖 圖7 α=0時(shí)的等勢線圖

圖6中在(-2,0)和(2,0)處流線垂直于橢圓柱面,所以此處流體速度為0 m/s,這兩點(diǎn)是駐點(diǎn)。在(0,-1)和(0,1)處流線最密集,故此處流體速度最快。從圖7可以看出橢圓柱體表面的等勢線垂直于柱體表面,遠(yuǎn)離橢圓柱表面的等勢線逐漸變豎直,等勢線與流線互相垂直,這與文獻(xiàn) [16]的結(jié)論一致。

類似地,可以畫出區(qū)域5和區(qū)域6中橢圓柱面的壓強(qiáng)系數(shù)圖和區(qū)域1下半橢圓面的壓強(qiáng)系數(shù)圖,如圖8和圖9所示。

由圖8可知,在x=0處,壓強(qiáng)系數(shù)達(dá)到最小值,故此處壓強(qiáng)最小,流速最快,符合流動(dòng)情況。由圖9可知,在x=2處,壓強(qiáng)系數(shù)達(dá)到最大值1,故此處壓強(qiáng)達(dá)到最大值2 000+p∞,且流體速度最小為v=0 m/s,這均與流線圖所反映的情況一致。

5.2 退化為平板繞流情形

當(dāng)橢圓柱短軸長退化為0時(shí),該橢圓柱退化成長為2a的平板。此時(shí)問題變成平板繞流,保角變換[14](17)式退化為

(31)

其逆變換

(32)

將長為2a的平板變換為半徑為a的圓周。復(fù)勢函數(shù)化為

(33)

這與文獻(xiàn) [14]中的結(jié)果一致。

圖8 區(qū)域5-6橢圓面的壓強(qiáng)系數(shù)圖 圖9 區(qū)域1下半橢圓面的壓強(qiáng)系數(shù)圖 Fig.8 Pressure coefficient diagram for lower half ellipse in area 1 Fig.9 Pressure coefficient diagram for the the ellipse in area 5-6

分離W(z)的實(shí)部和虛部得到平板繞流的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為

(34)

(35)

其中,β是x2-y2-a2+i 2xy的輻角,k=0,1。

圖10 六個(gè)不同區(qū)域

(36)

(37)

類似地,可以得到平板下平面的壓強(qiáng)系數(shù)圖(圖13)。

圖11 平板繞流流線圖 圖12 平板繞流等勢線圖

圖13 平板下平面的壓強(qiáng)系數(shù)圖

6 結(jié)論

本文利用儒可夫斯基變換研究了無粘性不可壓縮流體的橢圓柱繞流問題。結(jié)果表明,流體在流場駐點(diǎn)處的速度為0 m/s,壓強(qiáng)在此處達(dá)到最大。壓強(qiáng)系數(shù)用于描述壓強(qiáng)分布時(shí)比較方便,且壓強(qiáng)系數(shù)圖所得結(jié)果可以很好地與流線圖反映的結(jié)果呼應(yīng)。從流線圖、等勢線圖和壓強(qiáng)系數(shù)圖可以看出,橢圓柱繞流情況與實(shí)際流動(dòng)情況吻合較好。當(dāng)橢圓柱的尺度參數(shù)取特殊值時(shí)退化為經(jīng)典的平板繞流情形。