廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué)(528300) 楊承根

廣東省東莞市麻涌中學(xué)(523000) 駱妃景

廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué)(528303) 潘敬貞

云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院(650500) 唐明超

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,也是歷年高考考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容.就三年的全國卷高考真題來看,三角函數(shù)試題總體穩(wěn)定,形式略有創(chuàng)新,趨于綜合化、試題難度有所提升.既考查學(xué)生對(duì)基本概念、基本公式的理解和應(yīng)用,又考查了化繁為簡的運(yùn)算能力以及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法,試題著眼于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).文章整理和分析了2017-2019 三年全國卷關(guān)于三角函數(shù)的考點(diǎn), 將試題劃分為8 個(gè)常見類型,并對(duì)真題進(jìn)行評(píng)析,便于廣大師生了解高考命題規(guī)律,為高三一輪復(fù)習(xí)提供方向和建議.

1 2017-2019年全國卷高考三角函數(shù)考點(diǎn)及分析

1.1 考點(diǎn)分析

為了更清晰地分析近三年來全國卷中三角函數(shù)這一重要且必考的知識(shí)模塊的命題規(guī)律,筆者整理得以下表格:

試卷題號(hào)分值考查問題題型難度2017年全國I卷文11,15 10解三角形,三角恒等變換.1 道選擇題,1 道填空題.11 題中15 題中理9,17 17三角函數(shù)相關(guān),解三角形.1 道選擇題,1 道解答題.9 題中17 題中2018年全國I卷文8,11,16 15三角函數(shù)周期最值,三角函數(shù)定義應(yīng)用,解三角形面積2 道選擇題,1 道填空題.8 題中11 題中16 題難理16,17 17三角函數(shù)最值導(dǎo)數(shù),解三角形.1 道填空題,1 道解答題.16 題難17 題中2019年全國I卷文7,11,15 15正切函數(shù)值,解三角形,三角函數(shù)最值.2 道選擇題,1 道填空題.7 題易11 題中15 題中理11,17 17三角函數(shù)圖象與性質(zhì),解三角形.1 道選擇題,1 道解答題.11 題中17 題中2017年全國Ⅱ卷文3,13,16 15三角函數(shù)周期,三角函數(shù)最值,解三角形.1 道選擇題,2 道填空題.3 題易13 題易16 題難

理12,14,17 22三角形向量數(shù)量積,三角函數(shù)最值,解三角形.1 道選擇題,1 道填空題,1 道解答題.12 題難14 題中17 題中2018年全國Ⅱ卷文7,10,15 15解三角形,三角函數(shù)單調(diào)性,三角恒等變換.2 道選擇題,1 道填空題.7 題易10 題中15 題中理6,10,15 15解三角形,三角函數(shù)單調(diào)性,三角恒等變換.2 道選擇題,1 道填空題.6 題易10 題中15 題中2019年全國Ⅱ卷文8,11,15 15三角函數(shù)性質(zhì),三角函數(shù)化簡求值,解三角形.2 道選擇題,1 道填空題.8 題易11 題中15 題中理9,10,15 15三角函數(shù)性質(zhì),三角函數(shù)化簡求值,解三角形.2 道選擇題,1 道填空題.9 題中10 題中15 題中2017年全國Ⅲ卷文4,6,15 15三角恒等變換,三角函數(shù)最值,解三角形.2 道選擇題,1 道填空題.4 題易6 題易15 題中理6,16,17 22三角函數(shù)性質(zhì),三角形旋轉(zhuǎn)多選,解三角形.1 道選擇題,1 道填空題,1 道解答題.6 題易16 題難17 題中2018年全國Ⅲ卷文4,6,11 15三角恒等變換,三角函數(shù)周期,解三角形面積.3 道選擇題.4 題易6 題易11 題中理4,9,15 15三角恒等變換,解三角形面積,三角函數(shù)零點(diǎn).2 道選擇題,1 道填空題.4 題易9 題中15 題中2019年全國Ⅲ卷文18 12解三角形.1 道解答題.18 題中理12,18 17三家函數(shù)圖象性質(zhì),解三角形.1 道選擇題,1 道解答題.12 題難18 題中

1.2 題型與分值

總體上看,全國卷對(duì)“三角函數(shù)”的命題風(fēng)格穩(wěn)定與創(chuàng)新共存,試題所占分值大多控制在15-22 分,題型一般為一個(gè)小題和一個(gè)大題、兩個(gè)小題和一個(gè)大題或者三個(gè)小題,但也有個(gè)別年份有所波動(dòng), 比如2017年文科卷I只考查兩個(gè)小題10 分,2019年文科卷III只查了一個(gè)大題12 分,I卷理科考查的很穩(wěn)定,都是一小一大17 分;由上表不難發(fā)現(xiàn),三角函數(shù)試題中選擇題和填空題有易有難,也經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題的位置,解答題的考查一般穩(wěn)定在解答題的第一題的位置,但2019年全國文理Ⅲ卷中解三角形的解答題放在解答題第二題的位置,說明全國卷解答題的考查順序存在一些不穩(wěn)定的因素.

1.3 考查知識(shí)點(diǎn)全面

高考全國卷數(shù)學(xué)試題對(duì)“三角函數(shù)”內(nèi)容考查比較全面,題型多樣,結(jié)構(gòu)靈活,難度適中.重點(diǎn)考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角恒等變換,解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用,兼顧考查數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).①對(duì)圖象與性質(zhì)的考查主要出現(xiàn)在選擇題,包括三角函數(shù)圖象的變換、三角函數(shù)的最值問題、三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等,著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)以及數(shù)形結(jié)合思想.②對(duì)三角恒等變換的考查,選擇、填空、解答題都可能會(huì)出現(xiàn),包括同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角的和、差、倍角公式等基本概念、基本公式的理解與應(yīng)用,在選擇題、填空題中該部分內(nèi)容主要考查化簡求值,著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.③對(duì)解三角形的考查,文科多在選擇、填空題中,主要考查利用三角恒等變換、正弦定理、余弦定理以及三角面積公式解三角形,理科在解答題中多數(shù)與三角恒等變換結(jié)合考查.④對(duì)三角函數(shù)與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用考查,比如2018年全國I卷理科第16 題,三角函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行考查,難度較大,考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想.

1.4 文理差異

由上表可以看出,全國卷文科考查三角函數(shù)試題24 道,題型基本穩(wěn)定在三道小題,考查分值15 分,2019年全國文科Ⅲ卷僅考查了一道解答題,分值12 分,而理科考查23 道,基本穩(wěn)定為一小一大,二小一大,少數(shù)年份三小,比如2018年II卷、2018年III卷、2019年II卷.全國I卷理科都穩(wěn)定在一小一大,分值17 分.文理科的小題都有以壓軸題的形式出現(xiàn),但理科考查的難度相比文科較大,考查內(nèi)容綜合性強(qiáng),常與函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)以及化歸能能力要求比較高.

2 高考動(dòng)向透視

研究歷年高考真題,力求以真題引領(lǐng)教學(xué)方向,通過對(duì)三年高考全國卷“三角函數(shù)”命題規(guī)律分析,三角函數(shù)高考試題主要考查以下幾種類型的問題.

2.1 三角函數(shù)恒等變換

三角函數(shù)恒等變換是歷年來高考的必考點(diǎn),在選擇題、填空題、解答題中都會(huì)出現(xiàn),主要考查三角函數(shù)式的化簡、求值與變形,但近年來對(duì)變形技巧的要求較往年大為降低.因此,在進(jìn)行三角復(fù)習(xí)時(shí),不能盲目地追求偏、難、怪的題目,而應(yīng)利用中、低檔題熟練掌握一些基本的變形技巧.

題型一 化簡求值

化簡求值這類題型主要有三種,分別為給值求值、給角求值、給值求角,但三年都集中考查給值求值,即已知某些角的三角函數(shù)值, 求其他與題設(shè)條件關(guān)聯(lián)的其他三角函數(shù)值.給角求值以及給值求角在三年的全國卷高考三角函數(shù)試題中暫無涉及.

例1(2019 全國Ⅱ文11) 已知2 sin 2α=cos 2α+1,則( )

評(píng)析: 本題主要考查二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí),考查考生的運(yùn)算求解能力與靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力,考查的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

答案: B

2.2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)在高考中出現(xiàn)的頻率較高,題型比較穩(wěn)定,一般都是以選擇題的形式出現(xiàn),其中,三角函數(shù)的性質(zhì)偶爾會(huì)結(jié)合三角恒等變換以填空題形式出現(xiàn).主要考查學(xué)生將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為y=Asin(wx+φ)的形式,解答關(guān)于函數(shù)圖象及性質(zhì)問題的能力.其高考命題形式主要包括以下4 種題型.

題型二 三角函數(shù)圖象變換

例2(2017 全國1 理9) 已知曲線C1:y= cosx,C2:y=則下面結(jié)論正確的是( )

A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2

B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2

C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2

D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2

評(píng)析: 本題考查圖象的變換,但題目出現(xiàn)了兩個(gè)異名的三角函數(shù),處理這類問題的方法比較多,但主要是化異名為同名.破解此類題目關(guān)鍵是明晰圖象變換的規(guī)律,特別要注意的是先相位變換,后周期變換,再振幅變換或者是先周期變換,后相位變換,再振幅變換.

答案: D

題型三 三角函數(shù)的最值問題

三角函數(shù)最值問題對(duì)學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力、綜合應(yīng)用考查比較高, 更加深刻地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).破解此類問題有兩種途徑, 第一, 通過恒等變形再利用輔助角公式化為y=Asin(wx+φ)+b形式,再利用正弦函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合求出最值.第二,可以利用換元法把題設(shè)轉(zhuǎn)化為有區(qū)間的二次函數(shù)最值問題.

例3(2017 全國2 理14)函數(shù)的最大值是____.

評(píng)析: 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),換元法求最值,注意還原后新元的取值范圍,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).

答案: 1

題型四 已知解析式確定函數(shù)性質(zhì)

給出三角函數(shù)的具體解析式, 求解函數(shù)的性質(zhì)、參數(shù)或者確定函數(shù)的大致圖象, 此題主要在選擇、填空題中考查, 難度中等偏上, 破解此類問題的一般方法是通過恒等變形把題設(shè)的解析式轉(zhuǎn)化為y=Asin(wx+φ)+b或y=Acos(wx+φ)+b的形式, 然后根據(jù)y= sinx或y=cosx的性質(zhì)整體求解.

例4(2018 全 國III卷理科15) 函數(shù)f(x) =在[0,π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為____.

評(píng)析: 本此題考查了三角函數(shù)的零點(diǎn),屬于三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的?？键c(diǎn),這類問題通的處理方法是先得出問題的通解,再結(jié)合給定區(qū)間進(jìn)行對(duì)照判斷.考查邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).

答案: 3 個(gè)

題型五 根據(jù)條件確定解析式

根據(jù)條件確定解析式的試題主要有兩大類: 一類是題設(shè)給出三角函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象確定及其已知條件確定三角函數(shù)的解析式,然后再求解其他性質(zhì);第二類是根據(jù)題設(shè)所給的三角函數(shù)性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式.這兩類問題是近三年全國卷三角函數(shù)考查的熱點(diǎn),文科考查的難度較小,理科考查的難度較大,綜合考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).破解此類問題需要學(xué)生對(duì)函數(shù)y=Asin(wx+φ)+b或y=Acos(wx+φ)+b的圖象與性質(zhì)有全面、深刻的理解,要求考生能夠根據(jù)零點(diǎn)與對(duì)稱軸信息,以及單調(diào)區(qū)間與周期的關(guān)系,通過數(shù)形結(jié)合得出該函數(shù)周期性特征,著重考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、邏輯分析能力.

例5(2019 全國Ⅲ理12) 設(shè)函數(shù)f(x) = sin(ωx+已知f(x)在[0,2π]有且僅有5 個(gè)零點(diǎn),下述四個(gè)結(jié)論:

①f(x)在(0,2π)有且僅有3 個(gè)極大值點(diǎn); ②f(x)在(0,2π)有且僅有2 個(gè)極小值點(diǎn); ③f(x)在單調(diào)遞增;④f(x)的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )

A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④

評(píng)析: 本題作為壓軸題,難度較大,主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查考生的數(shù)形結(jié)合能力,更加深刻地考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

答案: D

2.3 解三角形

解三角形是三角函數(shù)內(nèi)容的核心考點(diǎn),歷年文理科高考全國卷必考內(nèi)容,解三角形是歷年高考的必考內(nèi)容,文科多在選擇、填空題中,主要考查利用三角恒等變換、正弦定理、余弦定理以及三角面積公式解三角形,理科在解答題中多數(shù)與三角恒等變換結(jié)合考查,題型和分值較為穩(wěn)定,屬中等難度.命題方向由以下兩種.

題型六 正、余弦定理解三角形

在解有關(guān)三角形的形時(shí),如果已知式子中含有角的余弦或邊的二次式,通?？紤]用余弦定理;如果已知式子中含有角的正弦或邊的一次式,通常用正弦定理.

例6(2019 全國I文11)?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA ?bsinB=4csinC,cosA=則=( )

A.6 B.5 C.4 D.3

評(píng)析: 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及劃歸與轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理核心素養(yǎng).

答案: A

題型七 正、余弦定理與三角恒等變換的綜合應(yīng)用

求解此類問題的突破口: 一是正確分析已知條件中的邊角關(guān)系,合理設(shè)計(jì)“邊往角化”還是“角往邊化”,活用正弦定理、余弦定理;而是求角的值的值時(shí)應(yīng)注意三角形對(duì)角的取值范圍的限制;三是熟記兩角和、差的三角公式.

例7(2019 全國I理17)?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)(sinB ?sinC)2=sin2A ?sinBsinC.

(1)求A;

(2)若√+b=2c,求sinC.

評(píng)析: 本題主要考查正弦定理余弦定理、三角恒等變換,考查考生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力、云算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算,(1)利用正弦定理進(jìn)行邊角互化,再利用余弦定理,即可求出cosA的值,從而求得A的大小;(2)利用正弦定理,將邊化為角,再利用(1)的結(jié)論以及兩角差的正弦公式與輔助角公式,即可求出sinC的值.

答案: (1)A=60°;(2)

題型八 三角函數(shù)與其他知識(shí)的綜合

例8(2018 全國一理16) 已知函數(shù)f(x) = 2 sinx+sin 2x,則f(x)的最小值是____.

評(píng)析: 本題主要考查導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合交匯,借助導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的最值,體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具作用,本題難度較大,綜合考查學(xué)生化歸轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力,考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)形抽象核心素養(yǎng).

答案:

3 備考建議

3.1 利用好教材,研究教材中的例題與習(xí)題

以必修五第一章“解三角形”為例,教材中至少有如下一些例題、習(xí)題需要引起重視,教師要認(rèn)真研究、分析到位.

人教版A 版第18 頁練習(xí)3: 三角形射影定理: 在?ABC中,求證:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.射影定理在2013年全國II卷第17 題,2016年全國II卷第17 題,2017年全國II卷第16 題均考查過.人教版A 版第20 頁B 組第1 題: 證明三角形面積公式2017年全國卷I理科第17 題考查過.

通過對(duì)比我們不難發(fā)現(xiàn),近年高考中的三角命題多是通過課本習(xí)題的一個(gè)小結(jié)論發(fā)展演變而來,通過幾個(gè)公式環(huán)環(huán)相扣來提高問題的綜合性,這樣的命題方式讓學(xué)生入手容易,但完整解決整道題需要較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.

3.2 樹立“模型”意識(shí),統(tǒng)籌數(shù)學(xué)思想方法,“以不變應(yīng)萬變”

比如課本20 頁A 組第13 題,考查三角形的中線長問題,這是解三角形中一個(gè)基礎(chǔ)但重要的模型.

幾何圖象中有多個(gè)三角形時(shí),首先觀察是否有“夠條件”的三角形,若有,則從夠條件的三角形解起,逐步擴(kuò)展到其他三角形, 若沒有, 則要注意運(yùn)用向量、方程的思想、利用“共邊”、“等角”、“互補(bǔ)角”等關(guān)系建立方程求解.模型是沒有背景的規(guī)律載體, 應(yīng)該是具有通用性的大道理.老子說: 道生一,一生二,二生三,三生萬物.萬變不離其宗,大道歸一,大道至簡.

3.3 夯實(shí)基礎(chǔ),總結(jié)方法

比如三角函數(shù)求最值：

(1)y=asinx+b,設(shè)t=sinx,化為一次函數(shù)y=at+b在[?1,1]上的最值求解.

(2)y=asinx+bcosx+c,引入輔助角化為求解方法同類型(1).

(3)y=asin2x+bsinx+c, 設(shè)t= sinx, 化為二次函數(shù)y=at2+bt+c在[?1,1] 上的最值求解, 也可以是y=acos2x+bsinx+c或y=acos 2x+bsinx+c型.

(4)y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c,設(shè)t=sinx±cosx, 則t2= 1±2 sinxcosx, 故sinxcosx=化為二次函數(shù)上的最值求解.

(5)y=,根據(jù)正弦函數(shù)的有界性,既可用分析法求最值,也可用不等式法求最值,更可以用數(shù)形結(jié)合求最值.

對(duì)于三角函數(shù)圖象變換問題, 首先要處理的是利用誘導(dǎo)公式將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換為同名函數(shù), 轉(zhuǎn)換的公式為等誘導(dǎo)公式;另外,在進(jìn)行圖象變換時(shí),注意先有平移后伸縮和先伸縮后平移兩種,后者在考試中經(jīng)常出現(xiàn),但無論哪種變換,要讓學(xué)生明確每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言,與其他量無關(guān).

3.4 夯實(shí)基礎(chǔ),注重規(guī)范大題

熟記與三角函數(shù)相關(guān)所有公式.如特殊角的三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式、恒等變換公式還有正余弦定理、三角形面積公式,同時(shí)還包括三角函數(shù)圖象平移規(guī)律,特殊三角形的邊角關(guān)系等,只有記得準(zhǔn)和反映迅速,才能在考試中快速及時(shí)的運(yùn)用相關(guān)已知條件;三角函數(shù)若考查解答題,則大多在第17題的位置,對(duì)解題的規(guī)范性要求很高,因此要培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范答題的良好習(xí)慣,同時(shí),又因?yàn)檫@是試卷中的第一道大題,因此難度不大,所以更要注重通性通法,做到滿分無瑕疵.