江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)(215400) 江海華

章建躍先生指出:“學(xué)科育人”的關(guān)鍵是要發(fā)揮學(xué)科的內(nèi)在力量.這個(gè)內(nèi)在力量是一種聚焦在人的全面發(fā)展上的“合力”,是以學(xué)科知識(shí)為根基的.把數(shù)學(xué)教好是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提,讓數(shù)學(xué)課堂更有“數(shù)學(xué)味道”是發(fā)揮“數(shù)學(xué)育人”的一項(xiàng)有效手段.大量教學(xué)實(shí)例表明,部分教師容易忽視概念教學(xué)的極端重要性,往往簡(jiǎn)單片面的采用“一個(gè)定義、三項(xiàng)注意、幾個(gè)例題、大量練習(xí)”的解題教學(xué)來(lái)代替概念教學(xué),仍舊以“會(huì)解題才是硬道理”的應(yīng)試思路來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué),從某種程度上說(shuō),這不是真正的數(shù)學(xué)教學(xué),恰恰是極為低級(jí)和短視的做法,這種局面必須得到徹底的改變.數(shù)學(xué)教學(xué)如果總是形式化地教數(shù)學(xué)概念,而忽視了概念背后蘊(yùn)含的一系列數(shù)學(xué)思想與方法,學(xué)生長(zhǎng)期缺乏這種潛移默化的熏陶,落實(shí)“學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”的任務(wù)就是空談.努力提升數(shù)學(xué)課堂的“數(shù)學(xué)味道”,首先應(yīng)充分闡述研究該“數(shù)學(xué)概念”的必要性,關(guān)鍵是在建立相關(guān)概念的聯(lián)系的過(guò)程中,要注意對(duì)學(xué)生批判性思維的培養(yǎng),教師要對(duì)某些知識(shí)難點(diǎn)多問(wèn)為什么,盡量減少告訴學(xué)生是什么,在辨析和交流中實(shí)現(xiàn)“概念的精細(xì)化”理解.需要強(qiáng)調(diào)的是,試圖不求甚解的運(yùn)用那些高大上的理論來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué),教師是不能在課堂中自覺有效的落實(shí)“數(shù)學(xué)育人”的目的的.嘗試用具體的數(shù)學(xué)案例為載體,以學(xué)生之道讓他們經(jīng)歷完整的“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—研究問(wèn)題—辨析性質(zhì)—應(yīng)用拓展”過(guò)程,有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題,能用數(shù)學(xué)的方法認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題,才是“數(shù)學(xué)育人”的可操作性表達(dá).

數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)最基本的概念,它的涵義在不同階段實(shí)際是不同的,經(jīng)歷了一個(gè)長(zhǎng)期發(fā)展的過(guò)程,從大體上看,是由自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)、然后是實(shí)數(shù)再到復(fù)數(shù),這個(gè)過(guò)程反映了人類對(duì)客觀世界認(rèn)識(shí)的不斷深入.由于教材中并沒有明確指出數(shù)的概念的發(fā)展歷程,學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的歷史背景也不甚清楚.而復(fù)數(shù)的引入是數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中純粹創(chuàng)造性的理論,不僅具有數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程的典型性,而且也是數(shù)學(xué)從內(nèi)部需求出發(fā)逐步完善發(fā)展成一套完備的科學(xué)體系的典型課例.接下來(lái),筆者試圖通過(guò)“復(fù)數(shù)的引入與數(shù)系的擴(kuò)充”課例談?wù)剬?duì)“有數(shù)學(xué)味道”的課堂的理解.

1 “有數(shù)學(xué)味道”的課堂要體現(xiàn)“以思為核, 以導(dǎo)為先”的設(shè)計(jì)理念

1.1 直面問(wèn)題情境,自然提出數(shù)學(xué)問(wèn)題

隨著研究實(shí)際問(wèn)題及某些純數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)現(xiàn),若僅局限在整數(shù)的范圍內(nèi),有些問(wèn)題幾乎是無(wú)法處理的.例如,在解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題中列出了一個(gè)二次方程ax2+bx+c= 0.這個(gè)方程有沒有解就與未知量所代表的對(duì)象有關(guān),即與自變量所允許的取值范圍有關(guān).又如,任意兩個(gè)整數(shù)的商不一定是整數(shù),這就是說(shuō),限制在整數(shù)的范圍內(nèi),除法不是普遍可以做的,而在有理數(shù)范圍內(nèi),只要除數(shù)不為零,除法總是可以做的.因此, 在數(shù)的不同的范圍內(nèi)同一個(gè)問(wèn)題的回答可能是不同的.這類問(wèn)題的研究促進(jìn)了人們?cè)跀?shù)的認(rèn)識(shí)上的不斷深化.出于這種目的,我們就有必要研究實(shí)數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充的問(wèn)題.

1.2 類比實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu),合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型(新數(shù)集)

當(dāng)然, 可以直接引入一個(gè)新數(shù)i, 使得該數(shù)是方程x2+1=0 的解,即i2=?1.再把這個(gè)新數(shù)添加到實(shí)數(shù)集中,為了方便起見,當(dāng)我們把這些數(shù)當(dāng)作整體來(lái)考慮的時(shí)候,常稱它為一個(gè)數(shù)的集合,簡(jiǎn)記作A,那么方程x2+1=0 在A中有解.需要強(qiáng)調(diào)的是,在教學(xué)過(guò)程中,教師要指出實(shí)數(shù)集與新集合A的區(qū)別,本質(zhì)上絕對(duì)不是多一個(gè)元素的問(wèn)題.數(shù)不僅僅是一個(gè)符號(hào),還應(yīng)關(guān)注該數(shù)集中的元素所滿足的一系列代數(shù)法則.我們從數(shù)集A出發(fā),希望新引進(jìn)的數(shù)i和實(shí)數(shù)之間仍能像實(shí)數(shù)系那樣進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算.先約定: 把實(shí)數(shù)a與新加入的數(shù)i相加,結(jié)果記作a+i,把實(shí)數(shù)b與i相乘,結(jié)果記作bi,把實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b和i相乘的結(jié)果相加,結(jié)果記作a+bi.容易發(fā)現(xiàn),按照上述定義的加法與乘法法則,運(yùn)算律仍然成立,從而這些運(yùn)算的結(jié)果都可以寫成a+bi(a,bmathrminR)的形式.特別的,實(shí)數(shù)a和數(shù)i,都可以看作是a+bi(a,b ∈R)這樣的形式,此時(shí)若把所有這樣的數(shù)都添加到數(shù)集A中,則該新數(shù)集可記作C={a+bi|a,b ∈R}, 從數(shù)的表示方法上, 實(shí)現(xiàn)了從實(shí)數(shù)系到更大數(shù)系的擴(kuò)充.在數(shù)集C中任取a+bi,c+di(a,b,c,d ∈R),我們規(guī)定:a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d.因此,接下來(lái)的工作是先構(gòu)建擴(kuò)充后的數(shù)集C中的代數(shù)結(jié)構(gòu),再進(jìn)一步研究其代數(shù)性質(zhì).

一般地,在數(shù)學(xué)中,關(guān)于數(shù)的加減乘除運(yùn)算的性質(zhì)通常稱為數(shù)的代數(shù)性質(zhì).而代數(shù)所研究的問(wèn)題又主要涉及數(shù)的代數(shù)性質(zhì).事實(shí)上,這方面的大部分性質(zhì)是有理數(shù)、實(shí)數(shù)的全體所共有的.因此,我們?nèi)韵Ｍㄟ^(guò)在數(shù)集A中新定義加法、減法、乘法、除法運(yùn)算,使數(shù)集A滿足的代數(shù)性質(zhì)與有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集所滿足的代數(shù)性質(zhì)保持一致.這是數(shù)學(xué)推廣的一個(gè)基本思想: 使得在原來(lái)的范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立.

基于上述設(shè)想,教材中對(duì)復(fù)數(shù)集中的加法、減法、乘法、除法法則作如下規(guī)定: 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù), 那么稱z1+z2為復(fù)數(shù)z1與復(fù)數(shù)z2的和, 仍用符號(hào)“+”表示復(fù)數(shù)的加法:z1+z2= (a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i.

很明顯,這兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).容易驗(yàn)證,復(fù)數(shù)的加法也滿足交換律、結(jié)合律,與實(shí)數(shù)間的加法滿足的性質(zhì)相同.這是很容易通過(guò)類比實(shí)數(shù)的加法法則想到的.只需要給學(xué)生強(qiáng)調(diào): 兩復(fù)數(shù)的加法相當(dāng)于實(shí)部與實(shí)部相加,虛部與虛部相加.

類比實(shí)數(shù)集中減法的意義,規(guī)定,復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算,即把滿足(c+di)?(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+di的差,記作(a+bi)?(c+di),仍用符號(hào)“?”表示復(fù)數(shù)的減法.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義得到(a+bi)?(c+di) = (a ?c)+(b ?d)i,這就是復(fù)數(shù)的減法法則.容易發(fā)現(xiàn)減法法則僅基于兩復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的加法法則的規(guī)定就可以得到.由此可見,兩個(gè)復(fù)數(shù)的差也是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).

進(jìn)一步地, 規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法法則為: 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),稱z1·z2為復(fù)數(shù)z1與復(fù)數(shù)z2的積,仍用符號(hào)“·”表示復(fù)數(shù)的乘法,也可省略.

發(fā)現(xiàn)兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,積是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).由于兩復(fù)數(shù)的乘法法則比較復(fù)雜,筆者認(rèn)為,在教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)當(dāng)詳細(xì)驗(yàn)證復(fù)數(shù)的乘法對(duì)交換律、結(jié)合律,且乘法對(duì)加法的分配律是否滿足,當(dāng)然,這都是對(duì)復(fù)數(shù)的加法、乘法而言.否則,若不加證明的就認(rèn)為復(fù)數(shù)可以直接繼承實(shí)數(shù)的一系列性質(zhì),那我們教授這堂課的意義在哪? 強(qiáng)化計(jì)算能力嗎? 需要強(qiáng)調(diào)的是,對(duì)于數(shù)學(xué)中的一系列定義,教師在課堂中要有意識(shí)的帶領(lǐng)學(xué)生共同去探討辨析新舊概念的區(qū)別與聯(lián)系,切不可走馬觀花,草草了事.

類比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算, 這里也規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.規(guī)定復(fù)數(shù)的除法法則是:(a+bi)÷(c+di) =稱為復(fù)數(shù)z1與復(fù)數(shù)z2的商, 仍用符號(hào)“÷”表示復(fù)數(shù)的除法.由此可見,兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商仍是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).

于是,我們?cè)趶?fù)數(shù)集上重新定義了加法、減法、乘法、除法.對(duì)于兩復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法法則的規(guī)定是容易想到和理解的,這里只對(duì)除法法則進(jìn)行說(shuō)明,以試圖解釋復(fù)數(shù)的除法法則的發(fā)現(xiàn)契機(jī).

一方面,因?yàn)?/p>

所以,教材中這樣規(guī)定的除法確實(shí)是乘法的逆運(yùn)算.

另一方面,那這樣的規(guī)定是基于怎樣的發(fā)現(xiàn)呢?

首先, 怎么規(guī)定一個(gè)虛數(shù)除以一個(gè)實(shí)數(shù)呢? 以(a+bi)÷3 為例: 一方面, (a+bi)÷3 =·(a+bi) =這是按照規(guī)定的乘法法則得到的結(jié)果; 另一方面, 按照規(guī)定的除法法則得到的結(jié)果是和按照乘法法則得到的結(jié)果一致.換句話說(shuō),這樣規(guī)定的除法法則和之前定義的乘法法則是不沖突的,這是數(shù)學(xué)中新定義需要滿足的最基本的要求.

基于上述虛數(shù)除以實(shí)數(shù)的規(guī)律,我們還發(fā)現(xiàn),按照教材所給的除法法則規(guī)定,復(fù)數(shù)的除法可以這樣算: 先把(a+bi)除以(c+di)寫成然后分母實(shí)數(shù)化, 得到

需要說(shuō)明的是,這里c+di?=0,即c,d不同時(shí)為0,這時(shí)(c+di)(c ?di) =c2?d2i2=c2+d2?= 0,進(jìn)一步說(shuō)明了這樣算也是合理的.因此,在教學(xué)過(guò)程中,對(duì)于新定義的運(yùn)算,除了要說(shuō)明定義的合理性,還需進(jìn)一步說(shuō)明基于新定義可以衍生出哪些新結(jié)論,在論證過(guò)程中能夠提供哪些便于操作的方式方法.這也是一個(gè)新知識(shí)能否得到廣泛推廣應(yīng)用的重要因素之一.

1.3 探討定義新形式,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)

部分老師認(rèn)為教材中對(duì)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算規(guī)定是為了讓全體復(fù)數(shù)組成的數(shù)集成為數(shù)域,實(shí)質(zhì)上這種想法是片面的.

一般地,設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)所組成的集合,其中包括0或1.如果P中任意兩個(gè)數(shù)(這兩個(gè)數(shù)可以相同)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)仍然是P中的數(shù),那么P就稱為一個(gè)數(shù)域.顯然,全體有理數(shù)組成的集合、全體實(shí)數(shù)組成的集合都是數(shù)域.這兩個(gè)數(shù)域我們分別用字母Q,R來(lái)代表.但全體整數(shù)所組成的集合就不是數(shù)域,因?yàn)椴皇侨我鈨蓚€(gè)整數(shù)的商都是整數(shù).在數(shù)學(xué)中,如果數(shù)的集合P中任意兩個(gè)數(shù)作某一運(yùn)算的結(jié)果都仍在P中,我們就說(shuō)數(shù)集P對(duì)這個(gè)運(yùn)算是封閉的.因此,數(shù)域的定義也可以說(shuō)成,如果一個(gè)包含0,1 在內(nèi)的數(shù)集P對(duì)于加法、減法、乘法與除法(除數(shù)不為0)是封閉的,那么P就稱為一個(gè)數(shù)域.

實(shí)際上,若對(duì)兩復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法、除法法則按如下規(guī)定: 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),

加法: (a+bi)+(c+di)=2(a+c)+2(b+d)i;

減法: (a+bi)?(c+di)=

乘法: (a+bi)(c+di)=2(ac ?bd)+2(ad+bc)i;

除法: (a+bi)÷(c+di)=+

易驗(yàn)證,復(fù)數(shù)集對(duì)于上述新規(guī)定的加法、減法、乘法、除法法則也是封閉的(但不滿足運(yùn)算律),因此教材中的定義方式并不是使復(fù)數(shù)集成為數(shù)域的必要條件.既然是這樣,那教材中的定義方式究竟有何好處呢?

一方面, 將復(fù)數(shù)集中定義的運(yùn)算法則按照教材定義后, 不僅將實(shí)數(shù)集進(jìn)行了擴(kuò)充, 而且將虛數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行了很好的融合.否則, 若按照新定義, 當(dāng)兩復(fù)數(shù)均退化為實(shí)數(shù)時(shí), 按照復(fù)數(shù)集中定義的加法, 得到(a+0i)+(b+0i) = 2(a+b),與按照實(shí)數(shù)集中定義的加法得到的結(jié)果不一致,不利于后續(xù)對(duì)復(fù)數(shù)集的研究.從某種意義上說(shuō),這種推廣虛有其表,僅是形式上的不同,至于這種新定義的意義在哪? 或者說(shuō)按照這種新定義的復(fù)數(shù)運(yùn)算有何其他的應(yīng)用,還尚不清楚.

另一方面,按照教材中對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)加法、減法、乘法、除法的法則規(guī)定,復(fù)數(shù)充分發(fā)揮了它的工具屬性,能夠和數(shù)學(xué)物理的相關(guān)理論產(chǎn)生充分的聯(lián)系,爆發(fā)無(wú)窮的威力,各類經(jīng)典教材都有詳細(xì)論述,筆者在這里不再展開.

需要說(shuō)明的是,上述對(duì)于數(shù)系擴(kuò)充的問(wèn)題探究難免掛一漏萬(wàn),牽涉其中的細(xì)節(jié)也并非三言兩語(yǔ)能夠表達(dá),筆者認(rèn)為,對(duì)于充分影響數(shù)學(xué)進(jìn)程的典型案例,教師應(yīng)該有意識(shí)、有能力、有決心引領(lǐng)學(xué)生加以探討,或許最終并不能徹底搞清楚各種緣由,但是這一過(guò)程確是體驗(yàn)數(shù)學(xué)樂趣的必由之路.

2 創(chuàng)設(shè)“有數(shù)學(xué)味道”的課堂的三個(gè)角度

2.1 選擇的探究?jī)?nèi)容要立足數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

從某種程度來(lái)說(shuō),傳統(tǒng)的教學(xué)方法更加傾向于教師掌控一切,他們并不鼓勵(lì)學(xué)生在課堂中將習(xí)得的知識(shí)亦或是產(chǎn)生的疑問(wèn)經(jīng)過(guò)自己的加工思考表述出來(lái),而這恰恰是教師了解學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要途徑和手段.我們并不否認(rèn),教師只有對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容知識(shí)間實(shí)質(zhì)性的邏輯關(guān)聯(lián)有了深入的研究之后,在課堂教學(xué)中才能抓住問(wèn)題的核心,但這一切都應(yīng)基于學(xué)生理解知識(shí)的層面之上.從某種意義上講,數(shù)學(xué)知識(shí)與教學(xué)知識(shí)是并列的關(guān)系,而學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是教學(xué)知識(shí)得以充分發(fā)揮的必要保證.只有保持師生之間的“同頻段”溝通,具有思維交互性的數(shù)學(xué)課堂才得以真正建立.通俗的說(shuō),就是教師設(shè)計(jì)的“怎么教”應(yīng)該是基于真正了解學(xué)生到底是“怎么學(xué)”的基礎(chǔ)之上的,雖然每個(gè)學(xué)生都有自己獨(dú)特的理解數(shù)學(xué)知識(shí)的角度和方式,但是并不意味著教師在備課過(guò)程中就要完全忽視學(xué)生的感受,一味的追求課堂教學(xué)的“高、精、深、順”.數(shù)學(xué)教學(xué)必須以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)為出發(fā)點(diǎn),才能引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考問(wèn)題,否則只能是“外行看熱鬧”,又或者甚至只是教師的個(gè)人表演.

2.2 設(shè)計(jì)的探究過(guò)程要體現(xiàn)數(shù)學(xué)深度

數(shù)學(xué)課堂要體現(xiàn)深度并不是讓教師只去教授那些晦澀難懂的學(xué)科理論知識(shí),大量歷史實(shí)踐表明,那些經(jīng)典著作以外的真正原創(chuàng)的新結(jié)果的火花往往就誕生在某個(gè)具有啟發(fā)性與挑戰(zhàn)性的探究活動(dòng)之中.很難想象一個(gè)缺乏對(duì)數(shù)學(xué)深層認(rèn)知的教師能夠設(shè)計(jì)出具有針對(duì)性、高質(zhì)量的探究活動(dòng),更不消讓他引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.有深度的數(shù)學(xué)課堂不能缺少具備扎實(shí)“四基”的老師,否則在知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過(guò)程中,會(huì)缺乏對(duì)教學(xué)重難點(diǎn)和本質(zhì)屬性的足夠敏感性,并逐步喪失話語(yǔ)權(quán).特別是在處理某些知識(shí)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)處,不能試圖完全放手讓學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn),恰恰需要教師在宏觀把控的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出直面問(wèn)題本質(zhì)的具有數(shù)學(xué)思維性的探究活動(dòng),而這一切得以實(shí)施的前提是教師自己要先知道怎么思考,教師自己要先成為發(fā)現(xiàn)者.

2.3 提出的探究問(wèn)題要聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)不是算術(shù),它更是一種思想,一種解決思路.教師在教授復(fù)數(shù)的一系列運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算定律的過(guò)程中,一方面要很好的向?qū)W生闡述為何要將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集的原因,搞清楚研究虛數(shù)的動(dòng)機(jī);另一方面,不能照本宣科,簡(jiǎn)單的類比實(shí)數(shù)的結(jié)構(gòu),直接給出虛數(shù)的加法、減法、乘法、除法法則,反而在復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧上大講特講.盡管學(xué)生能夠熟練掌握這一套運(yùn)算方法,但這就完全背離了本堂課的初衷.筆者認(rèn)為一個(gè)很重要的原因就是教師在教學(xué)過(guò)程中,容易不自覺地將自己的意志強(qiáng)加在學(xué)生之上,直接類比,忽視必要的探究過(guò)程.從某種程度上說(shuō),這是錯(cuò)誤的將解題教學(xué)代替了概念教學(xué).既然是這樣,我們又怎么能去苛求學(xué)生在獨(dú)立做題的時(shí)候,怎么全然不去分辨兩者的區(qū)別,直接套用老師課上的方式方法.因此,在探究過(guò)程中,教師要有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去清晰明確的描述問(wèn)題,在立足事實(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去演繹思考,在做出判斷之前具有論證要言之有據(jù)的意識(shí).只有這樣,課堂教學(xué)才更有可能觸及問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì),所設(shè)計(jì)的一系列探究方法才能真正提升學(xué)生的思維品質(zhì).