廣東省韶關(guān)市仁化縣仁化中學(512300) 尹杰杰 劉雨昀

1 引言

極坐標與參數(shù)方程在歷年全國卷中是選做題, 分值10分,屬于中檔題.設(shè)置兩小問,第一問5 分,一般為極直互化或參數(shù)方程與普通方程互化,屬于簡單題.第二問5 分,一般考查以下幾種類型: 第一,極徑ρ的幾何意義與應(yīng)用.例如:2015年全國I卷、2015年全國Ⅱ卷、2016年全國Ⅱ卷、2017年全國Ⅲ卷;第二,參數(shù)的幾何意義與應(yīng)用.例如: 2018年全國Ⅱ卷、2018年全國Ⅲ卷;第三,直線與曲線的位置關(guān)系,利用點參法求最值.例如2016年全國Ⅲ卷、2017年全國I卷、2019年全國I卷;第四,利用極坐標或者參數(shù)方程求曲線的軌跡方程.例如2017年全國Ⅱ卷、2019年全國Ⅱ卷; 第五,利用分類討論思想求解.例如: 2018年全國I卷、2019年全國Ⅲ卷.

下面筆者通過對2019年數(shù)學全國I卷第22 題“極坐標與參數(shù)方程”進行例題教學設(shè)計及例題改編與變式.

2 例題教學設(shè)計

例題(2019 全國I卷)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)求C上的點到l距離的最小值.

師: 這是一個什么問題? 第一問主要考查什么知識點?解題的基本程序是什么?

(極參問題是學生掌握較好的題型,原因是模型單一,學生熟悉,旨在引導學生將解題思路調(diào)控進入自己熟悉的區(qū)域,也想進一步鞏固極坐標、參數(shù)方程、直角坐標方程的轉(zhuǎn)化的解題程序.)

生1: 這是一道極坐標與參數(shù)方程的題目,第一問主要是考查坐標系轉(zhuǎn)化和消參.首先通過x的等式,求出x的范圍,然后通過代入消元法消去參數(shù)t,化簡得到了缺了一個點的橢圓方程,然后利用公式對直線l的極坐標方程,轉(zhuǎn)化為直角坐標方程即可.

生1 解法: (代入消元法)

對于曲線C, 由題意知?1＜x≤1,所以因為所以得到把代入到有化簡得易知l的直角坐標方程為

師: 對于曲線C,除了代入消元法,還有其他方法嗎? 曲線C的結(jié)構(gòu)有什么特征? (旨在引導學生觀察式子特征,并聯(lián)想到平方公式.)

生2: 可以通過觀察法,看出x,y式子的特征,發(fā)現(xiàn)分母都是1+t2,而分子是1?t2,4t,一個二次,一個一次,我們有等式(1+t2)2?(1?t2)2=4t2,故而可以想到通過平方的形式構(gòu)造出與分母相關(guān)的完全平方式即可.

生2 解法: (平方消參法)

師: 此法是通過觀察式子特征,構(gòu)造平方,從而大大減少了計算量,但是此法對學生核心素養(yǎng)要求較高,大多數(shù)學生無法想到.那我們是否還有它法求解呢? (學生激烈討論中)

師: 通過生2 的觀察法,是否發(fā)現(xiàn)曲線C的參數(shù)方程和某一類公式很像? (小部分同學說出答案)

師: 再看看x的取值范圍,和哪個函數(shù)的取值范圍很像?

生3: 三角函數(shù),曲線C的參數(shù)方程結(jié)構(gòu)很像萬能公式.

師: 很好,是通過萬能公式進行代換,請寫出你們的解答過程,生3 板演過程.

生3 解法: (萬能公式法)

因為?1＜x≤1,令代入可得化簡得所以

評析本問題的三種解法各有特色.代入消元法,思路清晰,容易落筆,但過程繁雜,計算量大;平方消參法,過程簡短,計算量小,但素養(yǎng)要求過高,學生思維定勢,不易想到;萬能公式法,是此類題型的通法,但教學過程中,由于大綱要求不高,故而對此法講解較少,學生掌握不熟練,易出現(xiàn)計算失誤.

師: 下面進行第二問,主要考查什么知識點,我們應(yīng)該從哪里入手?

生4: 主要考查直線與曲線的位置關(guān)系,求曲線上的點到直線的距離最小值,利用點參法與點到直線的距離公式,然后通過輔助角公式,轉(zhuǎn)化正弦型函數(shù)求最值即可.

生4 解法: (點參法)

直線l的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為2ρcosθ+

得:

因為?π ＜θ ＜π,所以所以當且僅當,此時θ=有

師: 生4 主要通過點到直線的距離公式,進行求解.是否還有其他解法?

生5: 可通過設(shè)出與直線l平行且與曲線C相切的直線l1,然后聯(lián)立曲線C與l1,利用判別式求解即可.

生5 解法: (判別式法)

設(shè)與直線l平行的直線方程為故由題可知,當且僅當直線l1與曲線相切時,切點到直線的距離是最大或者最小值.聯(lián)立方程化簡可得4×4×(m2?4)= 0,得m=±4.顯然可知,當m=?4時, 直線l1與曲線相切的切點到直線l的距離最大, 故所以當m=4 時,直線l1與曲線相切的切點到直線l的距離最小,故

師: 本問是否還有其他解法呢?

師: 當我們對曲線的參數(shù)方程無從下手時,我們可以如何求解曲線上的點到直線的最小值呢? 我們是否可以不用化簡的參數(shù)方程求解呢?

生6: 硬解.

師: 是的,很好! 本問題還有一個暴力解法,就是直接將曲線C上的點設(shè)為然后通過點到直線的距離公式,變?yōu)橐粋€關(guān)于參數(shù)t的式子,然后轉(zhuǎn)化為二次一次方程,利用判別式求出參數(shù)t的范圍,進而求出最小值.

生6 解法: (暴力硬解法)

設(shè)曲線C上的點M的坐標為則點M到直線的距離為

師: 通過以上解法,我們可以發(fā)現(xiàn),本題主要體現(xiàn)了哪幾個數(shù)學核心素養(yǎng)? (同時引導學生總結(jié)以上方法.)

生: (齊答)數(shù)學運算和直觀想象.

評析本問一個是幾何法,兩個是代數(shù)法.幾何法過程簡潔,代數(shù)法,通法運算量大,但思路清晰,尤其在學習了解析幾何后,部分學生更熱衷于通過聯(lián)立方程求解.

本題主要考查學生對極坐標、參數(shù)方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化,和利用橢圓的參數(shù)方程解決“距離”問題,難點在于參數(shù)方程的消參,對于分式消參,大多數(shù)學生方法掌握不熟練和運算能力不強, 以致于對難度較小的第二問沒有作答,從而導致失分嚴重.

高考試題一般是來源于教材,又高于教材.大多是依據(jù)課本例題、課后習題、探究問題等進行加工重組改編,由淺入深,循序漸進.本題中曲線C的參數(shù)方程就是人教B 版選修4-4 第二章第二節(jié)的課本里練習原題,這也透露出我們在備考過程中,不能忽視教材中的重點例題、練習、探究問題的復習回顧.

為了讓學生更好的掌握本題知識點,下面筆者對本題進行了適當改編.

改編1在其他條件不變的前提下,把第二問改為求直線上的點的坐標到曲線C 的最小值.

設(shè)計意圖: 原題求點距值最小值,改編之后,求取到點距最小值時點的坐標,這樣主要是讓學生更直觀清楚的知道點的具體位置,能更好的理解本題考查知識點,檢驗學生對例題的掌握程度.

解: (點參法)

直線l的極坐標方程為化為直角坐標方程為將曲線C化成參數(shù)方程形式為:(θ為參數(shù),?π ＜θ ＜π),則曲線C上的點可以設(shè)為M(cosθ,2 sinθ),所以由點到直線的距離公式可得:

因為?π ＜θ ＜π,所以所以當且僅當此時有

改編2在其他條件不變的前提下,直線l的極坐標方程改為且C上的點到l的距離的最小值為求a.

設(shè)計意圖: 本題的改編與2017年全國理科I卷第22 題極為相似,通過逆向思維設(shè)問,引入?yún)?shù)a,考查分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想,可以很好的提升學生數(shù)學核心素養(yǎng).

解: (點參法)

直線l的極坐標方程為化為直角坐標方程為將曲線C化成參數(shù)方程形式為:(θ為參數(shù),?π ＜θ ＜π),則曲線C上的點可以設(shè)為M(cosθ,2 sinθ),所以由點到直線的距離公式可得:所以故當a≥0 時,有|?4+a|=7有, 解得a= 11, 或a=?3(舍去) .當a ＜0 時, 有|4+a|= 7 有, 解得a=?11, 或a= 3(舍去) .綜上可知,當a=11,或a=?11 時,C上的點到l距離的最小值為

下面再看三個與2019年全國1 卷相似度極高的變式練習.

變式1(2017 江蘇)在平面坐標系xOy中,已知直線l的參考方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值.

變式2(2017 全國I卷)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(1)若a=?1,求C與l的交點坐標;

(2)若C上的點到l距離的最大值為√求a.

變式3(2016年全國III卷)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為

(I)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;

(Ⅱ)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.

評析通過歷年高考題,我們不難發(fā)現(xiàn)在高考題中極參題目考查的知識點與題型相識度極高,由于篇幅有限僅列出以上三道高考真題,所以研究歷年高考題是我們一線教師把握高考動態(tài)方向最有效的方法.改編l 主要是讓學生更直觀清楚的知道點的具體位置, 能更好的理解本題考查知識點,檢驗學生對例題的掌握程度.改編2 引入?yún)?shù)a,其目的是使學生掌握分類討論思想,引導學生巧用橢圓的參數(shù)方程解決“距離問題”.增強數(shù)學能力和探究意識.提高學生數(shù)學核心素養(yǎng).兩個改編,三個變式層層深入,這無疑是本節(jié)課的一個亮點,給學生提供了良好的探究情境,促進學生主動學習.通過以上改編和變式,我們可以啟發(fā)學生理解數(shù)學本質(zhì),掌握數(shù)學思想.因為在學生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計恰當?shù)木哂嗅槍π浴⒎媳竟?jié)課程要求的改編題目,并給給學生提供了探究和交流的機會,讓學生在自主探究、合作交流的過程中提升數(shù)學核心素養(yǎng).

3 總結(jié)與反思

本節(jié)課例題第一問主要是極參與直角系轉(zhuǎn)化問題,第二問主要是直線與橢圓的位置關(guān)系問題求距離.一方面考查了學生對極坐標與參數(shù)方程的基礎(chǔ)知識掌握程度,另一方面考查了學生數(shù)學運算與邏輯推理素養(yǎng),培養(yǎng)了學生數(shù)學問題的探究意識.例題的難點主要體現(xiàn)在消參與參數(shù)范圍的確定.所以本例題的教學設(shè)計思路也是根據(jù)學生的最近發(fā)展區(qū),引導學生思考,循序漸進、層層深入,強化學生的基礎(chǔ)知識和基本技能,培養(yǎng)學生系統(tǒng)歸納知識的能力,增強探究問題的意識,符合學生的思維發(fā)生發(fā)展過程.

在教學過程中,與學生交流互動,為學生創(chuàng)設(shè)輕松的學習環(huán)境,通過設(shè)問的形式,對數(shù)學的思想方法進行了適當?shù)囊龑?使得學生在解題的過程中,能發(fā)散思維,一題多解,幫助學生理解知識的橫向聯(lián)系、縱向發(fā)散.通過在多解中求簡、在修正中優(yōu)化,能夠讓學生體驗解決問題的思維過程,將能力的提高落到實處,可以很好地提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

本節(jié)課在引導學生思考時,既從代數(shù)法,又從幾何法兩個方面著手,學生有章可循,這樣能夠激發(fā)學生的學習熱情,拓展學生的思維,提高教學效率.同樣,本節(jié)課也存在以下幾點需要改進的地方: 第一,課堂容量較大,難以關(guān)注到全體學生的習得情況;第二,引導較多,可采用互助學習小組合作討論的方式進行部分數(shù)學活動等.縱觀整堂課,雖然存在個別不足之處,但是整體來說,亮點較多,同時能很好的培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng),所以仍是一堂非常成功的課.