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基于核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的公式教學(xué)探究
——以“點(diǎn)到直線的距離”的教學(xué)為例

2021-02-06 01:26:52揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)225002
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)運(yùn)算交點(diǎn)預(yù)設(shè)

揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)(225002) 張 順

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》中明確界定了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和水平劃分.其中“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)是指“在明確運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)”,并從理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路和求得運(yùn)算結(jié)果等方面給出了三個(gè)不同水平的劃分.

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的培養(yǎng)要求,近日,筆者在所教班級(jí)上了一節(jié)“點(diǎn)到直線的距離”的課.下面筆者就以此為例談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)課堂中的落實(shí)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的培養(yǎng).

1 教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)

1.1 教材分析

“點(diǎn)到直線的距離”是蘇教版必修二第二章第6 節(jié)的內(nèi)容,旨在解決“直線l:Ax+By+C=0 外一點(diǎn)P(x0,y0)到直線l的距離”.教材通過(guò)上節(jié)課已經(jīng)證明的一道例題四邊形ABCD為平行四邊形,接著追問(wèn)如何求平行四邊形ABCD的面積,自然引到求點(diǎn)到直線的距離.教材對(duì)于該例題給出了兩種解法“交點(diǎn)法”、“三角形面積法”,接著指出“交點(diǎn)法”計(jì)算量較大,“三角形面積法”計(jì)算簡(jiǎn)潔,再通過(guò)該方法求證出一般情形下“點(diǎn)到直線的距離公式”.

1.2 學(xué)情分析

高一第二學(xué)期學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩條直線平行與垂直的判定、兩點(diǎn)間距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式等內(nèi)容,已經(jīng)具備了一定的利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力.“點(diǎn)到直線距離”小學(xué)、初中時(shí)就也就有所涉及例如求三角形面積時(shí)作出一邊上的高,這個(gè)概念學(xué)生并不陌生,但學(xué)生由用尺規(guī)量出點(diǎn)到直線距離,上升到利用公式計(jì)算得到距離是思維層次的一大步提高.根據(jù)我所教班級(jí)學(xué)生特點(diǎn)學(xué)生素質(zhì)較高,綜合能力較強(qiáng),同時(shí)由于是文科班女生占了絕大多數(shù),學(xué)生代數(shù)運(yùn)算,尤其是多字母的代數(shù)運(yùn)算的能力還是不足的特點(diǎn),本節(jié)課立足于提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng),嘗試解釋運(yùn)算背后的算理,讓學(xué)生能有所得.

1.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)通過(guò)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo),滲透化歸思想.

(2)通過(guò)點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)的幾種證法,使學(xué)生能理解算法選擇的優(yōu)劣,探究?jī)?yōu)化求解的思路,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1.4 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn): 點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo);

難度: 對(duì)點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)過(guò)程的優(yōu)化.

2 教學(xué)過(guò)程

問(wèn)題1:“點(diǎn)到直線距離”如何定義?

預(yù)設(shè)1: 過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線,相交于垂足,點(diǎn)到垂足的距離為點(diǎn)到直線距離.

預(yù)設(shè)2: 已知點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的最短距離為點(diǎn)到直線距離.

設(shè)計(jì)意圖: 該問(wèn)題一是讓學(xué)生明白我們這節(jié)課所要研究的問(wèn)題,二來(lái)通過(guò)該問(wèn)題的兩個(gè)預(yù)設(shè)為接下來(lái)推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的兩種方法作鋪墊.

問(wèn)題2: 已知直線l:Ax+By+C= 0(A2+B2?= 0)外一點(diǎn)P(x0,y0),求點(diǎn)P到直線l的距離?

預(yù)設(shè)1: 先求過(guò)點(diǎn)P垂直l的直線,再求兩直線交點(diǎn),最后用兩點(diǎn)間距離公式.該方法可能遇到的問(wèn)題: 學(xué)生不會(huì)求過(guò)點(diǎn)P與l垂直的直線;求不出交點(diǎn);求不出兩點(diǎn)間距離.

預(yù)設(shè)1: 先求過(guò)點(diǎn)P垂直l的直線,再求兩直線交點(diǎn),最后用兩點(diǎn)間距離公式.該方法可能遇到的問(wèn)題: 學(xué)生不會(huì)求過(guò)點(diǎn)P與l垂直的直線;求不出交點(diǎn);求不出兩點(diǎn)間距離.

設(shè)過(guò)點(diǎn)P與l垂直的直線為l′:Bx?Ay+D=0,由于過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)故有Bx0?Ay0+D=0,將D=Ay0?Bx0代入l′得到l′:Bx ?Ay+Ay0?Bx0=0 從而突破第一個(gè)難點(diǎn).

最后再求兩點(diǎn)距離:

合理的進(jìn)行通分合并同類項(xiàng),學(xué)生運(yùn)算中常見(jiàn)的問(wèn)題是不考慮代數(shù)式得結(jié)構(gòu)特征,“暴力”分解多項(xiàng)式從而破壞式子結(jié)構(gòu),而由于運(yùn)能能力的不足,對(duì)于拆分后的式子往往沒(méi)有辦法更進(jìn)一步的化簡(jiǎn),使得計(jì)算難以進(jìn)行下去.

追問(wèn)1: 上面解法較為繁瑣,計(jì)算容易出錯(cuò),那么有沒(méi)有更好的解法呢?

教師在黑板上板書(shū)如圖(1) 所示圖形, 提示學(xué)生要求PQ還能有什么方法.學(xué)生在圖形提示下會(huì)聯(lián)想到利用三角形面積求出PQ,于是有下面的解法.

圖(1)

設(shè)P(x0,y0), 則M(xM,y0),N(xN,y0) 代入直線方程解得同理NP=;因?yàn)樗?/p>

追問(wèn)2: 為什么通過(guò)三角形等面積法轉(zhuǎn)化后計(jì)算量會(huì)減少?

設(shè)計(jì)意圖: 學(xué)生能看懂該解法,但是如果沒(méi)有老師作圖提示能主動(dòng)聯(lián)想通過(guò)三角形面積算兩次得到斜高的學(xué)生應(yīng)該不會(huì)很多.再者利用該方法為什么能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果,是什么原因使然,對(duì)于這個(gè)問(wèn)題學(xué)生想不到去追問(wèn),但這恰恰是比較重要的.通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸將求斜高轉(zhuǎn)化為求兩條平行于坐標(biāo)軸的直角邊長(zhǎng)度,這種轉(zhuǎn)化能簡(jiǎn)化運(yùn)算的原因就在于其問(wèn)題研究的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系, 在直角坐標(biāo)系中, 平行于坐標(biāo)軸的兩點(diǎn)距離是容易得到的|x1?x2|或者|y1?y2|,而在其它情況下會(huì)用到兩點(diǎn)距離公式增加計(jì)算.

預(yù)設(shè)2: 學(xué)生會(huì)想到利用直線上一點(diǎn)與已知點(diǎn)求兩者距離最小值來(lái)表示距離.

通過(guò)數(shù)學(xué)建模, 學(xué)生能建立直線上一點(diǎn)與已知點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式.設(shè)直線l上一點(diǎn)為Q(x,y), 定點(diǎn)P(x0,y0),于是PQ=由 于Q在 直 線l上,PQ最小時(shí)P,Q在與l垂直的直線上, 由預(yù)設(shè)(1)中解得的方程有計(jì)算時(shí)需要有目標(biāo)意識(shí), 需要我們求得的表達(dá)式結(jié)構(gòu)中有(x ?x0),(y ?y0) 這兩個(gè)量, 于是對(duì)上面方程組可以變形為又觀察目標(biāo)結(jié)構(gòu)中有(x ?x0)2+(y ?y0)2,所以想到將方程組兩式平方再相加,得到(A2+B2)[(x ?x0)2+(y ?y0)2] =(Ax0+By0+C)2, 最后得到

設(shè)計(jì)意圖: 對(duì)于多字母運(yùn)算學(xué)生在公式變形式往往像無(wú)頭蒼蠅到處亂撞,展開(kāi)到哪里就到哪里.公式變形前沒(méi)能對(duì)多要求的目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)有所思考,另一方還需要學(xué)生公式變形時(shí)有一定的整體意識(shí).這種方法學(xué)生不會(huì)那么容易想到,教學(xué)時(shí)需要教師一步步去引導(dǎo),指導(dǎo)學(xué)生如何算,怎么想.

問(wèn)題3: 前面探討過(guò)通過(guò)構(gòu)造三角形, 利用三角形面積來(lái)求高, 是否還有其他構(gòu)造圖形的方式?

圖(2)

教師板書(shū)如圖(2) 所示圖形,為了突出重點(diǎn),這里只研究直線k存在且大于零情況.教師提示學(xué)生利用相似三角形知識(shí).在老師的提示下學(xué)生能夠得到大三角形MPQ與小直角三角形相似, 因?yàn)镸P=|kx0+b ?y0|,即, 最后再化為直線一般式下情形即可得證.

設(shè)計(jì)意圖: 這種創(chuàng)造性的思維,教師預(yù)想的學(xué)生不可能構(gòu)造出這種圖形,所以需要板書(shū)出來(lái)直接給學(xué)生,學(xué)生通過(guò)這樣的構(gòu)造能體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的思想,覺(jué)得數(shù)學(xué)美麗有趣就是成功!

3 小結(jié)

本節(jié)課用4 種方法證明了點(diǎn)到直線的距離: 交點(diǎn)法,面積法,構(gòu)造函數(shù)法,構(gòu)造相似圖形法.交點(diǎn)法難算,但是解析幾何證明題中少不了計(jì)算,當(dāng)我們沒(méi)有什么巧妙解法時(shí),計(jì)算也許是唯一的路徑,教學(xué)中也要讓學(xué)生能有面對(duì)復(fù)雜計(jì)算能算下去的信心.面積法大大減少了計(jì)算,同學(xué)們也要對(duì)其背后原因有所了解,因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系下平行于坐標(biāo)軸的線段長(zhǎng)度容易表示.構(gòu)造函數(shù)的方法是本節(jié)課重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的一種方法,該方法首先要能準(zhǔn)確建模構(gòu)造出函數(shù),列出目標(biāo)表達(dá)式和約束條件,而求解最值化簡(jiǎn)過(guò)程中需要有整體思想和目標(biāo)意識(shí),時(shí)刻聯(lián)想到所要求的的目標(biāo)結(jié)構(gòu).最后為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣,介紹了一種巧妙的構(gòu)造相似三角形方法,講解這種方法主要是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的美妙.

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