何 琴， 王 謙

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

偏微分方程是純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它是描述物理過程、系統(tǒng)狀態(tài)、社會(huì)與生物現(xiàn)象的有力工具．正問題是根據(jù)方程的定解條件求定解問題的解，而反問題[1—4]是由部分已知信息求定解問題的某些未知量,即正問題與反問題是相互依存、相互決定的．由于反問題是不適定的，需要用一些穩(wěn)定的方法[5—7]來解決，其中Tikhonov正則化方法是最常用的方法之一．在本文中，我們利用Tikhonov正則化方法，通過附加簡單的源條件，獲得了正則化解的收斂速度．近年來，許多科學(xué)家致力于研究橢圓型方程系數(shù)反問題[8—10]，而關(guān)于正則化解的收斂速度的研究(文獻(xiàn)[11—13])則相對較少．本文研究了具齊次邊界Dirichlet橢圓方程的系數(shù)識(shí)別問題，陳述如下：

問題考慮如下橢圓型方程系數(shù)識(shí)別問題

-a(x)Δu+c(x)u=finΩ，

(1)

u=0 on ?Ω，

(2)

其中區(qū)域Ω?Rd,d≥1，c是未知系數(shù)，我們希望利用u在Ω上的觀測值來反演c．利用能量泛函和Tikhonov正則化方法，可獲得正則化解的收斂速度．通過多次驗(yàn)證，我們構(gòu)造如下泛函：

其中：ρ>0是正則化參數(shù)，c*是c的先驗(yàn)估計(jì)．

本文的主要貢獻(xiàn)如下：首先,證明了最優(yōu)化問題在容許集內(nèi)有唯一解；其次，提出了形式上相對簡單的源條件，進(jìn)而證明了最優(yōu)解的收斂性，并給出了收斂階．

本文所討論的系數(shù)識(shí)別問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)值微分問題.但是當(dāng)它轉(zhuǎn)化為數(shù)值微分問題時(shí)，其精確值不能為零，觀測值也不能保證不為零；觀測值的Laplace算子可能趨于無窮大，使得問題是不適定的.而本文的問題將不適定的轉(zhuǎn)化為適定的，并且可以得到解的收斂性.對于一般的非線性不適定問題，最小二乘法很難找到最優(yōu)化問題的全局最優(yōu)值，足夠小的源條件也很難檢驗(yàn)(見文獻(xiàn)[11]).本文的問題易得最優(yōu)化泛函的極小值，并且去掉了源函數(shù)足夠小的要求，根據(jù)簡單的源條件，給出了正則化解的收斂性.

1 問題設(shè)置

式中

2 Tikhonov正則化

其中：ρ>0是正則化參數(shù),c*是問題真實(shí)系數(shù)的先驗(yàn)估計(jì).

在證明本小節(jié)的主要結(jié)果之前, 我們先介紹c*-最小范數(shù)解的概念, 并概述U(c)的一些性質(zhì).

-aΔη+cη=-hU(c) inΩ,η=0 on ?Ω

此外, 對任意h∈L∞(Ω), 有

注1對于泛函Gzδ(c)的二階Fréchet導(dǎo)數(shù)的部分項(xiàng)

上式最后兩項(xiàng)的正負(fù)無法判斷，故泛函的凸性無法驗(yàn)證.

注2定理2證明序列{cn}是收斂的, 只要求正則化參數(shù)大于零, 與正則化參數(shù)的具體值沒有太大關(guān)系.

3 收斂速度

因?yàn)長∞(Ω)=L1(Ω)*?L∞(Ω)*, 所以對任意c∈L∞(Ω), 有c∈L∞(Ω)*. 從而對任意h∈L∞(Ω)，有

從而對任意w*∈H-1(Ω)和h∈L∞(Ω)有

〈U′(c)*w*,h〉(L∞(Ω)*,L∞(Ω))=

-?·(a?φρ)-?·(φρ·?a)+cφρ=ψρ-ΔψρinΩ,

(16)

φρ=0 on ?Ω，

(17)

則存在一個(gè)常數(shù)M>0, 使得對任意ρ∈(0,1)有

又因?yàn)?/p>

所以

使用分部積分公式和Cauchy-Schwarz不等式,可得

因此

由假設(shè)知, 存在一個(gè)常數(shù)M1>0, 使得對任意ρ∈(0,1)有

由上式和 (19) 式可知，對任意ρ∈(0,1)有

由(20)式和Poincaré-Friedrichs不等式可知(18)式成立.

注3ψρ是無限光滑的已知函數(shù), 正則化參數(shù)僅僅是一個(gè)下標(biāo), 是為了逼近定理3中的w, 使得w與ψρ的誤差估計(jì)充分小,最后得到光滑解.引理3中的正則化參數(shù)可以去掉，只是為了與下面定理3保持一致.

定理3假設(shè)存在函數(shù)w*∈H-1(Ω)使得

c◇-c*=U′(c◇)*w*，

(21)

則當(dāng)ρ→0,ρ～δ時(shí),

因此,

(22)

對于(22)式右邊的第二項(xiàng), 由(14)式和(21)式可得

由上一個(gè)不等式和(15)式得

考慮下列橢圓方程的Dirichlet問題：

-?·(a?φρ)-?·(φρ·?a)+cφρ=ψρ-ΔψρinΩ,

(27)

φρ=0 on ?Ω.

(28)

由分部積分得到

(29)

由(24)～(25)式和(30)式得

應(yīng)用 (26)～(31)式得

由(4)式和(12)式得

由(9)式得

由(26)式知{φρ}ρ∈(0,1)在H1(Ω)-范數(shù)下是有界的. 因此, 由引理3知, 存在一個(gè)只依賴于Ω的常數(shù)M>0, 使得對任意ρ∈(0,1)有

由上一個(gè)不等式和(33)式得

聯(lián)立(32)～(35)式, 得到

由(32)～(33)式和(36)～(37)式知, 當(dāng)ρ→0,ρ～δ時(shí)

O(δ2)，

即

注4需要指出, 方程(27)的構(gòu)造很有技巧, 不是隨意的. 事實(shí)上, 如果我們考慮下列橢圓方程的Dirichlet問題：

-aΔφρ+c◇φρ=ψρ-ΔψρinΩ,

(38)

φρ=0 on ?Ω，

(39)

由分部積分得到

(40)

由(24)～(25)式和(41)式得

(42)

應(yīng)用(26)式和(28)～(42)式得

由(4)式和(12)式得

注5定理3中的正則化參數(shù)只是精確值與觀測值的測量誤差δ的同階無窮小, 就可以得到正則化解的收斂性.