蘇 琳， 雒志學(xué)

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

由于人類(lèi)大規(guī)模開(kāi)采和不合理利用自然資源,生態(tài)環(huán)境遭到了嚴(yán)重破壞.環(huán)境污染不僅導(dǎo)致生物多樣性大量減少,而且使得環(huán)境喪失自我修復(fù)能力,造成生態(tài)失衡.例如，過(guò)度排污導(dǎo)致赤潮,過(guò)度捕殺致使多種生物滅絕等.因此研究污染環(huán)境下的生物種群系統(tǒng)對(duì)種群演化和資源開(kāi)發(fā)等具有重大意義.同時(shí),分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(Fractional Brownian Motion)作為隨機(jī)分析領(lǐng)域描述一系列復(fù)雜過(guò)程的工具,能夠真實(shí)準(zhǔn)確地反映許多自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象的特性,所以利用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模擬污染環(huán)境下一類(lèi)非線性隨機(jī)種群系統(tǒng)更符合現(xiàn)實(shí)需求.

1968年,Benoit Mandelbro和Van Ness在文獻(xiàn)[1]中提出了一種更加精準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型,給出了其定義及應(yīng)用.文獻(xiàn)[2]討論了具有任意Hurst參數(shù)0

由上述參考文獻(xiàn)可知,文獻(xiàn)[6—7]沒(méi)有考慮隨機(jī)因素對(duì)種群系統(tǒng)的影響,文獻(xiàn)[9]研究的是污染環(huán)境下的隨機(jī)單種群模型.目前,研究污染環(huán)境下具有年齡結(jié)構(gòu)和環(huán)境隨機(jī)擾動(dòng)的單種群系統(tǒng)的文獻(xiàn)較多,本文把單種群拓展為兩種群,計(jì)劃建立一類(lèi)污染環(huán)境下帶有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和年齡結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)兩種群系統(tǒng),并討論該系統(tǒng)非負(fù)解的存在唯一性以及最優(yōu)控制的存在性問(wèn)題.

1 模型的建立

對(duì)于種群系統(tǒng),大量文獻(xiàn)只針對(duì)確定系統(tǒng)進(jìn)行研究,文獻(xiàn)[6]討論了一類(lèi)污染環(huán)境下與年齡相關(guān)的競(jìng)爭(zhēng)種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,并未考慮外界環(huán)境噪聲對(duì)種群系統(tǒng)的影響.事實(shí)上,溫度、濕度、環(huán)境污染、人為的破壞等系統(tǒng)之外的因素都會(huì)對(duì)種群系統(tǒng)產(chǎn)生影響,且能夠改變系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為,使得一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象.因此,把隨機(jī)噪聲引入種群系統(tǒng)(隨機(jī)噪聲均為布朗運(yùn)動(dòng)),更加真實(shí)準(zhǔn)確地反映了生物體在自然環(huán)境下的生存狀態(tài).文獻(xiàn)[7]研究了污染環(huán)境下三競(jìng)爭(zhēng)種群模型的最優(yōu)收獲問(wèn)題,將種群的收獲率考慮在內(nèi).基于此,我們綜合考慮種群年齡、時(shí)間、毒素濃度以及種群密度制約對(duì)死亡率和出生率的影響,建立一類(lèi)污染環(huán)境下基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和年齡結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)兩種群系統(tǒng).文中考慮的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是關(guān)于時(shí)間t和Hurst參數(shù)H的函數(shù),其模型如下:

本文采用如下基本假設(shè):

0≤βi(a,t,ci0(t),Xi)≤β0,β0為常數(shù),(a,t)∈D.

(H4)(局部Lipschitz條件) 存在常數(shù)Lβ,Lμ>0,?si∈R+,i=1,2,滿(mǎn)足

定義2[11]具有Hurst參數(shù)H(0

(ⅰ)BH(0)=0;

(ⅱ)對(duì)任意t≥0,BH(t)是隨機(jī)變量且E[BH(t)]=0;

(ⅲ)對(duì)任意ρ>0,若BH(ρt)=ρHBH(t),則得到協(xié)方差:

E[BH(t)BH(s)]=

證明參考文獻(xiàn)[6]中定理2.1,易證結(jié)論成立.

2 系統(tǒng)解的存在唯一性

定理1若假設(shè)(H1)～(H2)成立,則系統(tǒng)(1)存在唯一的非負(fù)解(x1(a,t),x2(a,t)),c10(t),c20(t),ce(t))∈[L∞(D)]2×[L∞[0,T]]3.

證明系統(tǒng)(1)中的ci0(t)和ce(t)能精確地給出.因此只需要考慮如下系統(tǒng):

(3)

(xhi1,xhi2)=(xi1,xi2),σ=(σ1,σ2)=Λ1h1-Λ1h2,則σ是下列系統(tǒng)的解:

給該系統(tǒng)的第一,二式分別乘以σ1,σ2,并在(0,A)×(0,T)上積分得

其中K>0,是關(guān)于β,μ,c0和X的一個(gè)Lipschitz常數(shù).

可以得到

綜上所述,映射Λ1為一壓縮映射,由Banach不動(dòng)點(diǎn)定理可知系統(tǒng)有唯一的不動(dòng)點(diǎn).

3 最優(yōu)控制問(wèn)題的存在性

下面討論一類(lèi)污染環(huán)境下具有年齡結(jié)構(gòu)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的非線性隨機(jī)兩種群系統(tǒng)最優(yōu)收獲控制的存在性問(wèn)題，由于生物體內(nèi)的毒素濃度ci0(t)和環(huán)境中的毒素濃度ce(t)可以通過(guò)常微分方程的常數(shù)變易法求解.所以，我們尋找最優(yōu)收獲控制(u*,υ*)∈U使得

控制集定義為

U={(u,υ)∈(L∞(D))2|0≤u(a,t)≤N1,

0≤υ(a,t)≤N2,D=(0,A)×[0,T]}.

B2υ2(a,t))]dadt}，

其中:K1(a),K2(a)分別為2個(gè)種群的銷(xiāo)售價(jià)格;B1,B2是權(quán)重.

定義3[13]假設(shè)隨機(jī)過(guò)程(p1,p2,q1,q2,r)∈[L∞(D)]2×[L∞(0,T)]3滿(mǎn)足下列系統(tǒng):

則稱(chēng)隨機(jī)變量(p1,p2,q1,q2,r)為伴隨方程的解.

相應(yīng)的Hamiltonian函數(shù)H為

H(t,a,x1,x2,u,υ,p1,p2,q1,q2)=

K1(a)u(a,t)x1(a,t)+K2(a)υ(a,t)x2(a,t)-

p1(a,t){-μ1(a,t,c10(t),X1)x1-

u(a,t)x1-x1c1(a,t)X2}+

p2(a,t){-μ2(a,t,c20(t),X2)x2-

υ(a,t)x2-x2c2(a,t)X1}+

p1(0,t)β1(a,t,c10(t),X1)x1(a,t)+

p2(0,t)β2(a,t,c20(t),X2)x2(a,t)+

q1g1(a,t,x1,u)+q2g2(a,t,x2,υ).

下面主要根據(jù)隨機(jī)微分方程給出的帶分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的It公式證明下面的主要結(jié)論.

d(p1x1+p2x2)=

x1dp1+x2dp2+p1dx1+p2dx2=

x1{[μ1(a,t,c10(t),X1)p1+u(a,t)p1+

p1c1(a,t)X2-q1(g1)x1-

β1(a,t,c10(t),X1)p1(0,t)-

K1(a)u(a,t)]dt+q1dBH}+

x2{[μ2(a,t,c20(t),X2)p2+υ(a,t)p2+

p2c2(a,t)X1-q2(g2)x2-

β2(a,t,c20(t),X2)p2(0,t)-

K2(a)υ(a,t)]dt+q2dBH}+

p1{[-μ1(a,t,c10(t),X1)x1-u(a,t)x1-

x1c1(a,t)X2]dt+g1(a,t,x1,u)dBH}+

p2{[-μ2(a,t,c20(t),X2)x2-υ(a,t)x2-

x2c2(a,t)X1]dt+g2(a,t,x2,υ)dBH}+

{[μ1(a,t,c10(t),X1)p1+up1+

p1c1(a,t)X2-q1(g1)x1-

β1(a,t,c10(t),X1)p1(0,t)-

K1(a)u(a,t)]dt+q1dBH}×

{[-μ1(a,t,c10(t),X1)x1-ux1-

x1c1(a,t)X2]dt+g1(a,t,x1,u)dBH}+

{[μ2(a,t,c20(t),X2)p2+υp2+

p2c2(a,t)X1-q2(g2)x2-

β2(a,t,c20(t),X2)p2(0,t)-

K2(a)υ(a,t)]dt+q2dBH}×

{[-μ2(a,t,c20(t),X2)x2-

υx2-x2c2(a,t)X1]dt+g2(a,t,x2,υ)dBH}=

{x1[μ1(a,t,c10(t),X1)p1+up1+

p1c1(a,t)X2-q1(g1)x1-

β1(a,t,c10(t),X1)p1(0,t)-K1(a)u]+

x2[μ2(a,t,c20(t),X2)p2+υp2+

p2c2(a,t)X1-q2(g2)x2-

β2(a,t,c20(t),X2)p2(0,t)-K2(a)υ]+

p1[-μ1(a,t,c10(t),X1)x1-u(a,t)x1]+

p2[-μ2(a,t,c20(t),X2)x2-υ(a,t)x2]}dt+

[q1g1(a,t,x1,u)+q2g2(a,t,x2,υ)](dt)2H+

[x1q1+x2q2+p1g1(a,t,x1,u)+

p2g2(a,t,x2,υ)]dBH={x1[-q1(g1)x1-

β1(a,t,c10(t),X1)p1(0,t)-

K1(a)u(a,t)]+x2[-q2(g2)x2-

β2(a,t,c20(t),X2)p2(0,t)-

K2(a)υ(a,t)]}dt+[q1g1(a,t,x1,u)+

q2g2(a,t,x2,υ)](dt)2H+[x1q1+x2q2+

p1g1(a,t,x1,u)+p2g2(a,t,x2,υ)]dBH.

根據(jù)文獻(xiàn)[14]易知

再引用Maruyama記法[15],有dBH(t)=B(t)(dt)H.因此,有

β1(a,s,c10(s),X1)p1(0,s)-

K1(a)u(a,s)]+x2[-q2(g2)x2-

β2(a,s,c20(s),X2)p2(0,s)-

q2g2(a,s,x2,υ)](ds)2H+

β1(a,s,c10(s),X1)p1(0,s)-

K1(a)u(a,s)]+x2[-q2(g2)x2-

β2(a,s,c20(s),X2)p2(0,s)-K2(a)υ(a,s)]+

2H(t-s)2H-1[q1g1(a,s,x1,u)+

p1g1(a,s,x1,u)+p2g2(a,s,x2,υ)]dBH.

令

x1β1(a,s,c10(s),X1)p1(0,s)-

x1K1(a)u(a,s)-x2q2(g2)x2-

x2β2(a,s,c20(s),X2)p2(0,s)-

x2K2(a)υ(a,s)+2H(t-s)2H-1

[q1g1(a,s,x1,u)+q2g2(a,s,x1,υ)]}ds，

p1g1(a,s,x1,u)+p2g2(a,s,x2,υ)]dBH，

則Mt=(p1)0(x1)0+(p2)0(x2)0+Nt.

K2(a)υ(a,t)x2(a,t)+

x1(a,t)β1(a,t,c10(t),X1)p1(0,t)+x2q2(g2)x2+

x2(a,t)β2(a,t,c20(t),X2)p2(0,t)-2H(t-s)2H-1

[q1g1(a,t,x1,u)+q2g2(a,t,x2,υ)].

根據(jù)文獻(xiàn)[16]知(u*,υ*)∈U為問(wèn)題(4)最優(yōu)控制的充分條件是對(duì)任意的(u,υ)∈U下式成立：

J′(u*)(u-u*)+J′(υ*)(υ-υ*)=

2H(t-s)2H-1(q1g1(a,s,x1,u)+

2H(t-s)2H-1(q1g1(a,s,x1,u)+

從而

2H(t-s)2H-1q1(g1)u)(u-u*)+

-[J′(u*)(u-u*)+J′(υ*)(υ-υ*)]+

2H(t-s)2H-1q1g1(a,s,x1,u)-x2K2(a)υ+

-[J′(u*)(u-u*)+J′(υ*)(υ-υ*)]-

J′(u*)(u-u*)+J′(υ*)(υ-υ*)≥0.

4 結(jié)論

本文研究了一類(lèi)污染環(huán)境下基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和年齡結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)兩種群系統(tǒng),證明了種群系統(tǒng)存在唯一的非負(fù)解和最優(yōu)控制存在的必要條件.研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)系統(tǒng)環(huán)境中的毒素輸入率v(t)為恒定函數(shù)時(shí),系統(tǒng)存在唯一解.由于種群系統(tǒng)受到外部環(huán)境的影響,把隨機(jī)擾動(dòng)因素考慮在模型中顯然更加符合實(shí)際情況.本文將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)引入非線性隨機(jī)種群系統(tǒng),同時(shí)還考慮了污染環(huán)境下生物體內(nèi)毒素濃度和環(huán)境中毒素濃度對(duì)生物個(gè)體的影響,更加真實(shí)準(zhǔn)確地反映了生物體的生存狀態(tài),因此研究該系統(tǒng)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.