王佳文 李鑫鑫

[摘 要]極限問題是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心難點，在教學(xué)中引入動態(tài)演示虛擬教具，可以提高教學(xué)效率。在極限問題虛擬教具的開發(fā)過程中應(yīng)遵循經(jīng)驗聯(lián)系原則、動態(tài)表征原則、界面簡潔原則、承載限量原則以及課具相容原則，當(dāng)前適于開發(fā)極限問題虛擬教具的平臺為GeoGebra，利用其代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)等功能模塊以及滑動條、點、線等工具可開發(fā)出適合極限定義、無窮小比較、函數(shù)連續(xù)性定義等內(nèi)容教學(xué)的虛擬教具。

[關(guān)鍵詞]極限問題;虛擬教具;GeoGebra;開發(fā)與應(yīng)用

[中圖分類號]G434 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1008-7656（2021）05-0021-07

一、引言

目前，信息技術(shù)在課程教學(xué)改革中的作用和價值已經(jīng)得到普遍認(rèn)可，推進(jìn)信息技術(shù)與教育的融合發(fā)展也成為各國教育政策中的要點。要實現(xiàn)信息技術(shù)與課堂教學(xué)深入融合，不應(yīng)是新型計算機軟件的簡單引入，而應(yīng)積極探究信息技術(shù)化解各個知識難點的策略。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，虛擬教具正是教學(xué)者運用信息技術(shù)解決教學(xué)難點過程中形成的重要方法，它是指一種利用計算機開發(fā)的、可探究的、動態(tài)的數(shù)學(xué)對象模型或系統(tǒng)，能實現(xiàn)實體教具的功能，可以動態(tài)呈現(xiàn)實體教具無法演示的概念，有助于學(xué)習(xí)者自主構(gòu)建數(shù)學(xué)知識[1]。

極限是高等數(shù)學(xué)的基本概念，極限問題幾乎貫穿高等數(shù)學(xué)始終，其無限逼近的特征使實體教具無法演示，只能憑靠學(xué)生自主想象，這也是造成高等數(shù)學(xué)高度抽象的重要原因。許多授課教師一直在積極探求極限問題的形象化解釋，利用圖像、課件自帶動畫和語言描述思想，但由于平面圖像的靜態(tài)性和局限性難以展現(xiàn)無限逼近的動態(tài)特征。如何利用信息技術(shù)精準(zhǔn)開發(fā)極限問題的虛擬教具，又如何根據(jù)虛擬教具精準(zhǔn)設(shè)計教學(xué)活動，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點。本研究在統(tǒng)計極限問題虛擬教具的應(yīng)用現(xiàn)狀基礎(chǔ)上，闡述極限問題虛擬教具的開發(fā)原則、內(nèi)容、技術(shù)支持、平臺與使用方法，舉例極限問題虛擬教具的幾個應(yīng)用案例，以期為極限問題教學(xué)虛擬教具的開發(fā)和應(yīng)用提供指導(dǎo)，促進(jìn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的進(jìn)一步融合。

二、虛擬教具的研究與應(yīng)用現(xiàn)狀

虛擬教具的定義由美國的Packenham教授于2002年給出，Moyer等針對教師應(yīng)用虛擬教具的行為和某種數(shù)學(xué)虛擬教具APP對兒童學(xué)習(xí)的影響等方面進(jìn)行了研究，之后更多的學(xué)者針對虛擬教具在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)能力以及不同虛擬教具對教學(xué)效果的影響等方面進(jìn)行了研究。目前，國外對于虛擬教具的研究已經(jīng)成為熱點，但是，國內(nèi)關(guān)于虛擬教具的研究還不多，在中國知網(wǎng)，以“虛擬教具”為篇名搜索，相關(guān)文獻(xiàn)僅有7篇，王辭曉[1]從具身認(rèn)知視角對虛擬教具和實體教具進(jìn)行對比和分析，指出虛擬教具可代替絕大多數(shù)實體教具， 可以在動態(tài)演示、現(xiàn)象增強等多方面實現(xiàn)對實體教具的超越;許靜妍[2]、陳文瑜[3]分別對初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的虛擬教具開發(fā)和應(yīng)用進(jìn)行研究;袁麗[4]則從技術(shù)角度研究了物理教學(xué)中的平拋問題3D虛擬教具設(shè)計方法。目前針對大學(xué)數(shù)學(xué)的虛擬教具開發(fā)和相應(yīng)教學(xué)活動設(shè)計問題的研究還比較少。

關(guān)于當(dāng)前虛擬教具在高等數(shù)學(xué)極限問題教學(xué)中的應(yīng)用情況，以中國大學(xué)MOOC中9門高等數(shù)學(xué)國家精品課中第一章極限與連續(xù)部分為例進(jìn)行調(diào)查，可知：目前關(guān)于極限問題，主要以語言描述的講授為主，授課過程主要借助課件，結(jié)合圖形、圖片講解知識，具有動態(tài)演示功能的虛擬教具較少。雖然，一些教師借助PPT或focusky中自帶動畫嘗試展示一些極限無限接近的過程，但由于功能的限制，只是在固定函數(shù)圖像基礎(chǔ)上的“點”動演示，函數(shù)無限逼近的動態(tài)過程仍是隱性的，學(xué)習(xí)者只有深入想像才能讓這個“動”的過程在頭腦中展現(xiàn)。

三、極限問題虛擬教具的設(shè)計與開發(fā)

（一）虛擬教具開發(fā)設(shè)計的基本原則

虛擬教具的設(shè)計來源于難以形象表征的教學(xué)難點，其開發(fā)應(yīng)能條理化展現(xiàn)問題內(nèi)涵，用簡潔和主次明確的畫面展現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容。在極限問題虛擬教具的設(shè)計開發(fā)過程中，應(yīng)遵循以下基本原則。

1.經(jīng)驗聯(lián)系原則。虛擬教具的開發(fā)應(yīng)聯(lián)系教師已有的教學(xué)經(jīng)驗，選取極限教學(xué)中難以表述的難點和關(guān)鍵點。另外，信息的呈現(xiàn)要聯(lián)系學(xué)生已有的知識，通過一步步展示引導(dǎo)學(xué)生建立起相應(yīng)的知識點概念。

2.動態(tài)表征原則。由于極限相關(guān)的問題一般均含有無限逼近的思想，如何讓原本只有靠學(xué)生想象才能理解的過程，通過技術(shù)實現(xiàn)使函數(shù)由靜變動由想象到直觀。

3.界面簡潔原則。設(shè)計時，虛擬教具的界面應(yīng)注重簡潔性，去掉與所分析問題無關(guān)的符號、文字、圖形、動畫等，以保證學(xué)生探究中的專注性。另外，在開發(fā)時還要注意關(guān)鍵點的突出性，應(yīng)用加粗標(biāo)志、不同顏色、箭頭等提示學(xué)生應(yīng)關(guān)注的重點。

4.承載限量原則。虛擬教具設(shè)計應(yīng)具有微小性，即一個虛擬教具最好只針對一個問題或一個知識點進(jìn)行呈現(xiàn)，過多的知識承載量會加重學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，造成學(xué)生對知識理解的混亂。

5.課具相容原則。虛擬教具的放置要注重與課件的結(jié)構(gòu)一致性，注重知識的前后銜接，根據(jù)課件講解過程順其自然展示給學(xué)生;同時，虛擬教具的設(shè)計還應(yīng)注意與課件格式的相容性，能依托已有課件順利展現(xiàn)。

（二）極限問題虛擬教具的內(nèi)容

極限問題貫穿微積分內(nèi)容的始終，從開始的極限與連續(xù)一章，到后面的導(dǎo)數(shù)、定積分以及多元微積分等，每一個重要概念的闡述都離不了極限問題，而導(dǎo)數(shù)、定積分以及二重積分等內(nèi)容的動態(tài)演示虛擬教具已經(jīng)被許多教師在教學(xué)實踐中應(yīng)用，因此，文章后續(xù)虛擬教具的開發(fā)主要針對極限與連續(xù)一章中的內(nèi)容。

在極限與連續(xù)這一章中，許多重要的概念都是教師用語言描述而學(xué)生發(fā)揮想象的，適合引入虛擬教具破解難點。（1）函數(shù)極限的描述性定義的說明：數(shù)列極限，x趨向于某一個數(shù)及x趨向于無窮時函數(shù)極限結(jié)果的展示;（2）極限的ε-δ定義：x趨向于某個數(shù)以及x趨向于無窮時的ε-δ語言刻畫的極限描述;（3）無窮小的比較：低階、高階以及同階無窮小的趨向于0的速度的展示與比較;（4）兩個重要極限：兩個重要極限的極限存在性的描述性直觀展示;（5）函數(shù)在一點的連續(xù)性：利用增量判定函數(shù)連續(xù)與間斷區(qū)別的對比;（6）兩個重要極限結(jié)果的探究等。

（三）極限問題虛擬教具開發(fā)的技術(shù)支持——GeoGebra

目前，適用于數(shù)學(xué)學(xué)科動態(tài)演示的軟件有很多，如幾何畫板、超級畫板、網(wǎng)絡(luò)畫板、GeoGebra、Geometry Expression等，這些軟件均具備畫圖、迭代、動畫、軌跡生成等功能，優(yōu)勢各不相同，例如對比幾何畫板，GeoGebra（簡稱GGB）在文字、圖形和符號的呈現(xiàn)效果相對較差，而在函數(shù)、微積分、統(tǒng)計、立體幾何的教學(xué)中GGB更有優(yōu)勢[5]。再如超級畫板具有復(fù)制數(shù)學(xué)表達(dá)式，粘貼進(jìn)行計算和作圖的功能，而GGB中，可以直接編輯函數(shù)公式進(jìn)行作圖和編輯，更加簡單和方便。由于本文主要討論函數(shù)極限問題的虛擬教具的開發(fā)和應(yīng)用問題，因此選用GGB作為虛擬教具開發(fā)平臺，見圖1所示。

GeoGebra是由Geometry 和Algebra兩個單詞構(gòu)造，它是一款集代數(shù)、幾何、微積分、統(tǒng)計等作圖、運算、演示功能為一體的動態(tài)幾何軟件，由美國亞特蘭大學(xué)教授Markus Hohenwarter設(shè)計。其全部功能基于Java程序編寫，動態(tài)網(wǎng)頁輸出效果較好，其中文版可免費下載，且安裝使用方便簡潔，完成個人虛擬教具作品后，只要登陸個人帳號，便可在移動工具上將自己作品與他人交流分享。GGB功能強大，現(xiàn)含有近500個命令，可以為小學(xué)到大學(xué)各個階段的數(shù)學(xué)教學(xué)提供服務(wù);操作靈活便捷，同一輸入對象有多種輸入方式和表達(dá)形式，幾何輸入、代數(shù)輸入均可實現(xiàn);圖像演示多樣，2D、3D都可形象展示，通過用戶自組編輯輸入對象可得到形式多樣數(shù)學(xué)模型[5]。

目前，GGB由于其強大的功能和易操作性成為數(shù)學(xué)、物理學(xué)科教育信息化領(lǐng)域的熱點應(yīng)用和研究對象，已經(jīng)被翻譯為近70種語言，并在全球已經(jīng)設(shè)立159個GeoGebra研究院以支持教師交流和相關(guān)科研工作。在中國知網(wǎng)以“GeoGebra”為篇名進(jìn)行搜索，截止到2021年7月，相關(guān)的文獻(xiàn)達(dá)683篇，其中，中文文獻(xiàn)的研究主要分布在2010～2021年，篇數(shù)成逐年上升趨勢，GeoGebra在中小學(xué)數(shù)學(xué)、中學(xué)物理解決具體問題的應(yīng)用是研究的重點內(nèi)容。

（四）極限問題虛擬教具開發(fā)所用GGB功能與使用方法

1.各個模塊基本功能

極限問題的對象主要是函數(shù)，主要探究的是函數(shù)自變量和函數(shù)值的動態(tài)變化情況，因此在利用GGB開發(fā)虛擬教具的過程中主要用到如下功能模塊。

（1）指令欄。用于輸入函數(shù)表達(dá)式，輸入字符一般僅識別美式鍵盤下的英文字母，函數(shù)運算命令的輸入與一般數(shù)學(xué)軟件指令類似，如加減乘除分別用 +、-、*、/表示，開平方用sqrt（x）表示，絕對值用abs（x）表示，用小括號來界定函數(shù)結(jié)構(gòu)等，但也有一些自定命令，如對數(shù)函數(shù)用命令log（a，x）實現(xiàn)，分段函數(shù)用if命令實現(xiàn)等。

（2）代數(shù)區(qū)。在指令區(qū)輸入的函數(shù)回車后其表達(dá)式會在代數(shù)區(qū)顯示。另外，后續(xù)所畫點、線的坐標(biāo)與表達(dá)式均在代數(shù)區(qū)顯示，點擊不同式子或坐標(biāo)相應(yīng)圖像會在繪圖區(qū)加重顯示。

（3）工具欄。點、線、圖形、文本、移動等功能實現(xiàn)的工具集合。其中滑動條是極限問題動態(tài)演示的關(guān)鍵工具，通過滑動條變量設(shè)置，點坐標(biāo)用滑動條變量表示，可實現(xiàn)點、線的移動，進(jìn)而達(dá)到動態(tài)逼近的效果。

（4）繪圖區(qū)。相當(dāng)于GGB所開發(fā)虛擬教具的顯示器，在指令欄輸入函數(shù)后回車即可在繪圖區(qū)同步顯示函數(shù)圖像，同時可實現(xiàn)點、線的繪制，文本的書寫以及動畫操作的演示，但是一般各個對象的移動、外觀、顏色、大小長短的改變等不能在繪圖區(qū)直接操作，而是需要在對象設(shè)置模塊操作。

（5）對象設(shè)置模塊。繪圖區(qū)所有對象的屬性都可在對象設(shè)置中進(jìn)行編輯，如滑動條動畫的播放速度，滑動條變量的改變，隱藏與顯示等，函數(shù)表達(dá)式的修正，點、線顏色、形狀的改變，文字設(shè)計等。另外，設(shè)計虛擬教具背景的改變，坐標(biāo)軸坐標(biāo)的顯示調(diào)整等也要在對象設(shè)置模塊完成。

2.使用方法舉例

利用以上功能模塊，就可以開發(fā)出一般極限問題動態(tài)演示的虛擬教具。例如，當(dāng)想觀察n→∞時，n2的極限，可首先在工具欄中點擊滑動條，在出現(xiàn)的對話框中輸入最小值1，最大值1000，增量為1，點擊確定即可得到滑動條a（如果滑動條大小設(shè)置未成功，可再利用對象設(shè)置模塊中滑動條對象設(shè)置）;接著，點擊描點命令，在繪圖區(qū)任意畫出一個點A，雙擊該點，將點的坐標(biāo)改為（a，a2），即可達(dá)到利用滑動條控制點的目的。由于滑動條a的范圍較大，需要點擊繪圖區(qū)背景，對坐標(biāo)軸大小進(jìn)行設(shè)計，才可顯示點的全部運動，改變x軸最小值為0，最大值為1000，y軸最小值為0，最大值為1000000。另外，為了更明顯觀察點的運動軌跡，可右擊點A，點擊追蹤。再點擊滑動條，在對象設(shè)置模塊中點擊啟動對象，就可以看到當(dāng)n越來越大時，n2越來越大的變化趨勢，如圖2所示。

四、極限問題虛擬教具的應(yīng)用案例

（一）極限的描述性定義講授中的虛擬教具

在講解極限的描述性定義時，由于學(xué)生初次接觸極限的概念，對極限的無限接近還不能完全理解，借助虛擬教具的動畫演示可讓學(xué)生迅

速了解概念。如圖3 展示的為數(shù)列

在n→∞時的變化趨勢，學(xué)生通過自主拖動滑動條可觀察數(shù)列數(shù)值的變化情況;圖4為x→∞時sin? ? 極限的動畫，通過分別移動兩個滑動條，可分別演示x→+∞和x→-∞時函數(shù)的變化趨勢。另外，對于x→x0時函數(shù)極限的教學(xué)也通過類似動畫演示讓學(xué)生通過觀察得到極限結(jié)果。

（二）ε-δ定義教學(xué)中的虛擬教具

關(guān)于ε-δ定義，講授前教師可制作如圖5所示動畫，在對學(xué)生解釋其內(nèi)涵過程中，可請學(xué)生上臺操縱滑動條a，隨著a不斷減小，動畫中y軸上的ε的長度也越來越小，相應(yīng)的x軸中δ也越來越小。在學(xué)生演示的同時，教師應(yīng)同步給學(xué)生講解：同學(xué)們請看，對于任意的ε>0，在y軸上無論ε有多小，都對應(yīng)的在x軸存在一個δ，使得當(dāng)0<|x-x0|<ε時，相應(yīng)的函數(shù)值均有|f（x）-A|<ε。通過將數(shù)學(xué)公式與動畫演示對照解釋，學(xué)生會對ε-δ定義產(chǎn)生立體化的認(rèn)識。

（三）無窮小的比較教學(xué)中的虛擬教具

在無窮小比較概念的引入中，對于幾個無窮小趨向于0的速度的說明，可采用GGB動畫探究的方式。上頁圖6給出了幾個無窮小量的例子，教師可讓學(xué)生操縱滑動條a，觀察隨著x無限趨向于0，相應(yīng)的四個無窮小量x，x2，x3，x4無限趨向于0的速度，學(xué)生一目了然就可以看出，x4的函數(shù)值最小，趨向于0的速度最快，而x趨向于0的速度最慢。由此，教師直接給出無窮小的比較直觀定義：趨向于0的速度快比趨向于0的速度慢的稱為高階無窮小，而趨向于0的速度慢的比趨向于0的速度快的成為低階無窮小，而如果趨向于0的速度差不多稱為同價無窮小。通過觀察和教師引導(dǎo)，學(xué)生可以形成對無窮小的直觀理解。

（四）虛擬教具在函數(shù)連續(xù)性教學(xué)中的應(yīng)用

對函數(shù)在一點連續(xù)型定義講授中，對于連續(xù)的點當(dāng)自變量的增量趨向于0時函數(shù)值的增量也趨向于0 ，以及對于間斷的點當(dāng)自變量的增量趨向于0時函數(shù)值的增量卻不趨向于0的過程，可以借助動畫演示進(jìn)行區(qū)分。如圖7與圖8所示，學(xué)生首先利用圖像建立對連續(xù)和間斷的直觀認(rèn)識，接著進(jìn)一步探究增量在這兩種情況下的不同的極限結(jié)果，通過滑動條逐漸變小時△x越來越小趨向于0和△y相應(yīng)的動態(tài)變化，達(dá)成對極限定義的深刻理解與記憶。

（五）兩個重要極限講授中的虛擬教具

在講授兩個重要極限過程中，對于高職生而言，兩個重要極限結(jié)果的證明過程較復(fù)雜，為加強對極限結(jié)果記憶，直接在GGB中將兩個重要極限中函數(shù)的圖像畫出，利用滑動條操縱點在曲線上的變化狀態(tài)，直接得到函數(shù)極限的結(jié)果。下頁圖9為

時x→+∞和x→-∞時函數(shù)極限結(jié)果的

探究，兩個滑動條分別控制左右兩支點的動態(tài)變化，學(xué)生可以自主操作，得到左右極限的結(jié)果為同一個數(shù)值。

五、結(jié)語

教師的綜合教學(xué)能力是虛擬教具開發(fā)的基礎(chǔ)，虛擬教具在極限問題中的使用是信息技術(shù)融合高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要體現(xiàn)。教師要想開發(fā)出好的虛擬教具，不僅應(yīng)具備豐富的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗，明確所教授對象的學(xué)習(xí)難點，還應(yīng)具有一定的技術(shù)開發(fā)能力，能在深刻理解教學(xué)難點的基礎(chǔ)上利用軟件平臺開發(fā)相適應(yīng)的虛擬教具。因此，極限問題虛擬教具的開發(fā)是教師技術(shù)應(yīng)用能力、知識理解能力、教學(xué)設(shè)計能力（“三能”）綜合的成果;虛擬教具的開發(fā)需要因情而定，在極限問題講授中虛擬教具是沒有數(shù)量限制的，根據(jù)不同學(xué)生的理解力和教師的表達(dá)力，可能有不同的教學(xué)設(shè)計，一道練習(xí)題、一個思考題都有可能需要進(jìn)行虛擬教具的開發(fā)并引入教學(xué);虛擬教具的應(yīng)用又是多方融合的，在實際教學(xué)中，虛擬教具的應(yīng)用需要涉及到課堂信息工具現(xiàn)實、教師應(yīng)用課件實際、教室硬件環(huán)境以及學(xué)生的可實踐操作性等多方面因素，虛擬教具能否在教學(xué)中順利展示，還需要教師在開發(fā)設(shè)計前進(jìn)行全方位的考慮。

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[作者簡介]王佳文，滄州職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)教育學(xué);李鑫鑫，山東理工大學(xué)講師，博士，研究方向：人工智能技術(shù)。

[責(zé)任編輯 李 舟]