李彬 周東華

(昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院 昆明 650500)

0 引言

隨著高強(qiáng)材料的出現(xiàn)使得建筑高度不斷增加，對(duì)壓彎構(gòu)件二階效應(yīng)分析與計(jì)算顯得愈為重要，二階效應(yīng)會(huì)降低結(jié)構(gòu)構(gòu)件的剛度和承載力，如果在設(shè)計(jì)階段未考慮二階效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的影響，則相當(dāng)于降低了結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)。

箱形和工字形截面壓彎構(gòu)件在結(jié)構(gòu)工程中很常見，如連續(xù)剛構(gòu)橋中的空心薄壁墩、工業(yè)廠房中上部設(shè)置有牛腿的工字形截面柱。以往對(duì)這種工字形或箱形截面配筋是用《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[1](以下簡(jiǎn)稱《規(guī)范》)6.2條中工字形正截面承載力計(jì)算公式。混凝土構(gòu)件正截面承載力計(jì)算公式的推導(dǎo)，采用等效矩形[2-3]應(yīng)力圖換算，并規(guī)定混凝土受壓區(qū)邊緣應(yīng)變?yōu)?3.3‰，也就是無(wú)論構(gòu)件截面內(nèi)力大小，混凝土受壓區(qū)邊緣應(yīng)變始終為極限應(yīng)變，這與構(gòu)件實(shí)際受力時(shí)的應(yīng)變狀態(tài)不相符，而實(shí)際上構(gòu)件截面上內(nèi)力大時(shí)應(yīng)變大，內(nèi)力小時(shí)應(yīng)變小?！兑?guī)范》中計(jì)算壓彎構(gòu)件配筋時(shí)，需要先判斷截面類型是大偏壓還是小偏壓，根據(jù)截面類型運(yùn)用不同的公式計(jì)算受壓區(qū)高度，再由受壓區(qū)高度求配筋面積，計(jì)算過(guò)程繁瑣。為了避免等效矩形應(yīng)力換算帶來(lái)的誤差，減小計(jì)算過(guò)程繁瑣，本文嚴(yán)格按照混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系，結(jié)合《規(guī)范》中二階效應(yīng)計(jì)算的增大系數(shù)法，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)繪制出了二階效應(yīng)下箱形和工字形截面配筋計(jì)算的圖表[4-5]，為箱形和工字形截面壓彎構(gòu)件配筋計(jì)算提供一種簡(jiǎn)便的方法[6-7]。

1 計(jì)算原理與方法

1.1 本構(gòu)關(guān)系

《規(guī)范》中給出的完整的混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系，如圖1。

(a)混凝土 (b)鋼筋

混凝土(a)和鋼筋(b)本構(gòu)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中 ，σc、σs為混凝土和鋼筋的應(yīng)力；εc、εs為混凝土和鋼筋的應(yīng)變；fc為混凝土抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；fy為鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；Es為鋼筋的彈性模量。

1.2 混凝土和鋼筋應(yīng)變區(qū)域

《規(guī)范》中鋼筋和混凝土的極限應(yīng)變?nèi)≈捣謩e為-3.3‰和10‰，據(jù)此將混凝土和鋼筋的應(yīng)變劃分為如圖2的5個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域總有一邊上的一點(diǎn)處于極限狀態(tài)，這樣就保證了截面上應(yīng)變組合都處于極限狀態(tài)，使得構(gòu)件破壞時(shí)是受壓破壞、受拉破壞或受拉受壓同時(shí)破壞。

圖2 截面應(yīng)變分區(qū)圖

混凝土結(jié)構(gòu)受力(包括軸拉、大小偏拉、純彎、大小偏壓、軸壓)時(shí)所有的應(yīng)變狀態(tài)，都完全能在圖2中表示出來(lái)，這5個(gè)區(qū)域的截面應(yīng)變規(guī)律和受力情況，如表1所示。

表1 截面應(yīng)變與實(shí)際受力狀態(tài)

續(xù)表1

上述的5個(gè)應(yīng)變分布區(qū)域，適用于各種截面類型的鋼筋混凝土構(gòu)件，因?yàn)棰賲^(qū)是軸拉或者偏拉的“受拉”狀態(tài)，不考慮其二階效應(yīng)，所以下文推導(dǎo)的箱形和工字形截面配筋計(jì)算方法，是基于②③④⑤區(qū)的應(yīng)變求得的。以矩形截面計(jì)算模型，推導(dǎo)公式的最后減去內(nèi)部小矩形的抗力，即可得到箱形和工字形截面構(gòu)件的承載力。

1.3 截面承載力

1.3.1 受壓區(qū)混凝土合力及位置

圖3 混凝土彈性的應(yīng)變和應(yīng)力

(1)

式中，C為混凝土受壓區(qū)合力；b、x為混凝土受壓區(qū)寬度和高度；αc為混凝土壓應(yīng)力不均勻系數(shù)。

令受壓區(qū)合力點(diǎn)對(duì)混凝土受壓區(qū)邊緣取矩得：

(2)

式中，a為混凝土合力到受壓區(qū)上邊緣距離。

可以推出混凝土合力點(diǎn)到受壓區(qū)邊緣的距離：

(3)

式中，ka為混凝土受壓合力位置系數(shù)。

(2)混凝土邊緣應(yīng)變-2‰≥εc≥-3.3‰?；炷撂幱趶椥?塑性階段，混凝土受壓區(qū)應(yīng)力分布為拋物線+矩形，應(yīng)變及應(yīng)力分布如圖4。

r=-(2x)/εc

(4)

s=x-r=(1+2/εc)x

(5)

式中，r為混凝土受壓彈性區(qū)高度；s為混凝土受壓塑性區(qū)高度。

圖4 混凝土塑性階段應(yīng)變和應(yīng)力

彈性+塑性階段混凝土受壓區(qū)合力：

(6)

αc為混凝土彈性+塑性階段的壓應(yīng)力不均勻系數(shù)，當(dāng)εc=εcu=-3.3‰時(shí)，αc=0.798。令受壓區(qū)合力點(diǎn)對(duì)混凝土受壓區(qū)邊緣取矩得：

(7)

可以推出混凝土合力點(diǎn)到受壓區(qū)邊緣的距離：

(8)

1.3.2 受壓區(qū)高度系數(shù)和內(nèi)力臂系數(shù)

如果知道受拉鋼筋應(yīng)變，那么再根據(jù)已知的混凝土受壓區(qū)邊緣應(yīng)變，就可以確定受壓區(qū)高度系數(shù)kx和內(nèi)力臂系數(shù)ka，見圖5。

圖5 受壓區(qū)高度及內(nèi)力臂

由圖5的幾何關(guān)系可得：

(9)

z=h0-a=(1-kakx)h0=kzh0

(10)

(11)

式中，x、kx為混凝土受壓高度和高度系數(shù)；z、kz為截面內(nèi)力臂和內(nèi)力臂系數(shù)。kx、kz都只與混凝土邊緣應(yīng)變和受拉鋼筋應(yīng)變有關(guān)。

1.4 截面軸力及彎矩

上文得到了受壓區(qū)混凝土的合力及其位置的表達(dá)式，不難列出截面的軸力和彎矩的平衡條，下面就分別按兩種情況(中性軸在截面內(nèi)和在截面外)來(lái)計(jì)算截面的軸力承載力和彎矩承載力。計(jì)算時(shí)，考慮為對(duì)稱配筋，即有如下關(guān)系：

(12)

1.4.1中性軸在截面內(nèi)(區(qū)域②③④)

此時(shí)，中性軸在截面內(nèi)，構(gòu)件受力狀態(tài)為大偏拉、純彎、大偏壓，見圖6。

圖6 區(qū)域②③④內(nèi)力圖

由圖6的平衡關(guān)系得：

(13)

(14)

式(13)和式(14)兩邊分別同時(shí)除以fcbh和fcbh2，得無(wú)量綱軸力n和彎矩m：

(15)

(16)

1.4.2中性軸在截面外(區(qū)域⑤)

此時(shí)，中性軸在截面內(nèi)，構(gòu)件受力狀態(tài)是小偏壓過(guò)渡到軸壓，見圖7。

圖7 區(qū)域⑤內(nèi)力圖

由圖7的平衡關(guān)系得：

(17)

(18)

式(17)和(18)兩邊分別同時(shí)除以fcbh和fcbh2，得無(wú)量綱軸力n和彎矩m：

(19)

(20)

上面推導(dǎo)的為單個(gè)矩形截面的軸力和彎矩承載力的計(jì)算公式。若要得到箱形和工字形的計(jì)算公式，只需從大矩形受壓混凝土的內(nèi)力中減去小矩形的內(nèi)力，無(wú)須重新推導(dǎo)公式。鋼筋的內(nèi)力計(jì)算則沒有任何變化。混凝土受壓區(qū)截面如圖8所示。

圖8 混凝土受壓區(qū)截面

綜上所述，在上面推導(dǎo)的公式中截面的彎矩和軸力承載力都是εc和εs的函數(shù)，已知了εc和εs，方程中便沒有任何未知量，應(yīng)力和內(nèi)力計(jì)算變得非常簡(jiǎn)單，在圖2的5個(gè)應(yīng)變區(qū)域中εc和εs是交替保持在極限應(yīng)變，另一個(gè)可變化，即可按等間隔的賦予不同的值。將圖2中5個(gè)區(qū)域的應(yīng)變代入上面的公式進(jìn)行計(jì)算，并將得到的值繪制成圖9中m-n相關(guān)曲線族。

圖9 箱形截面一階m-n相關(guān)曲線

上圖中包含了軸拉、小大偏拉、純彎、大小偏壓和軸壓等7種受力狀態(tài)，可用于配筋計(jì)算或截面強(qiáng)度驗(yàn)算。

1.5 考慮二階效應(yīng)的m-n相關(guān)曲線

當(dāng)考慮二階效應(yīng)時(shí)，構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的一階彎矩會(huì)增大，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可用彎矩增大系數(shù)η乘以一階彎矩m1而得到二階彎矩m2，即m2=ηm1，但二階彎矩不得大于截面的彎矩承載力m，即：

m2=ηm1≤m

(21)

上式中的η可按《規(guī)范》6.2.4計(jì)算：

(22)

式中，e0為初始偏心距，e0=m0/n；m0為荷載彎矩；ea為附加偏心距，ea=max{h/30,20 mm}；l0為構(gòu)件計(jì)算長(zhǎng)度。

由于彎矩增大系數(shù)中考慮了附加偏心距，一階彎矩中也應(yīng)包含附加偏心引起的彎矩，即：

m1=m0+ma=n(e0+ea)

(23)

由式(21)和(23)可得到考慮二階效應(yīng)的設(shè)計(jì)表達(dá)式：

m1=n(e0+ea)≤m/η

(24)

由上式中便可得到：用大于1的η除以彎矩承載力m，便得到了考慮二階效應(yīng)的m-n的相關(guān)曲線，曲線中還包含了參數(shù)l0和ω的影響，見圖10。

圖10既可用以配筋計(jì)算，也可用以截面承載力復(fù)核；配筋計(jì)算時(shí)，由3個(gè)無(wú)量綱參數(shù)m1、n及λ，便可查得無(wú)量綱強(qiáng)度的配筋率ω。另外，考慮了二階效應(yīng)的圖10中的曲線族均比圖9中壓彎區(qū)的沒有考慮二階效應(yīng)的曲線族縮小了，長(zhǎng)細(xì)比越大，縮小的程度越大。

(a) λ=30、40、50、60

(b) λ=70、80、90、100

2 算例

2.1 規(guī)范解法

(1)求附加偏心距：

ea=max{h/30,20 mm}=20 mm

(2)求偏心距增大系數(shù)：

h0=h-as=510 mm

l0/h=8 000/550=14.5

(3)計(jì)算壓力對(duì)受拉鋼筋的偏心距：

ei=η(e0+ea)=209.6 mm

e=ei+h/2-as=444.6 mm

(4)判斷大小偏心：

ei>0.3h0=153 mm

Nb

(5)求相對(duì)和受壓區(qū)高度：

x=ξ·h0=320.7 mm

(6)計(jì)算配筋：

=622 mm2>0.2%A=282 mm2

2.2 本文解法

(1)計(jì)算無(wú)量綱系數(shù)：

(2)計(jì)算配筋：

l0/h=14.5，可在圖10(a)第3象限得ω=0.07。

從上面的計(jì)算過(guò)程可以看到，按《規(guī)范》計(jì)算相對(duì)較為繁瑣，需要計(jì)算偏心距增大系數(shù)、判斷大小偏心、判斷截面類型等，而本文算法過(guò)程則很簡(jiǎn)單，無(wú)需任何判斷的計(jì)算。兩方法的配筋率之比為1 244/1 224=1.016，誤差在3%以內(nèi)。

3 結(jié)論

本文用由應(yīng)變求應(yīng)力和內(nèi)力的新的計(jì)算方法，能完整利用《規(guī)范》中混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系，構(gòu)造出5個(gè)可能的應(yīng)變區(qū)域，將應(yīng)變變成了已知量，使得應(yīng)力和內(nèi)力的計(jì)算變得簡(jiǎn)單。

圖9中的諾模圖可用于不需考慮二階效應(yīng)的配筋計(jì)算，而圖10 中的諾模圖則可用于考慮二階效應(yīng)時(shí)的配筋計(jì)算。

用本文的諾謨圖計(jì)算配筋，快速方便。另外，諾模圖均采用無(wú)量綱形式，可一表多用，即可用于C50及以下強(qiáng)度的混凝土和任意大小的截面寬度和高度(b×h)。