張麗杰 莫宗趙 周瑩

摘 要 深度學(xué)習(xí)是新世紀(jì)創(chuàng)新型人才的技能指向之一，已在教育領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注。教師在進(jìn)行均值不等式幾何證法的相關(guān)教學(xué)時(shí)，應(yīng)基于深度學(xué)習(xí)理念，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，整合梯形、圓形的性質(zhì)，利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件Hawgent，以問題驅(qū)動(dòng)為脈絡(luò)，通過小組合作，引導(dǎo)學(xué)生掌握不同情境下均值不等式的證明方法。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 深度學(xué)習(xí) 動(dòng)點(diǎn)路徑 皓駿技術(shù)

21世紀(jì)以來，隨著經(jīng)濟(jì)和信息技術(shù)的不斷發(fā)展，社會(huì)對高質(zhì)量人才的需求日益增加，時(shí)代要求學(xué)生具有深度學(xué)習(xí)的能力。2010 年我國頒布的《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要 （2010—2020年）》明確提出，“要注意培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、獨(dú)立性、創(chuàng)造力和問題解決能力?！盵1]深度學(xué)習(xí)作為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的重要途徑之一，引起了國內(nèi)學(xué)者們的廣泛重視，也在教育教學(xué)領(lǐng)域中為教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”提供了新的思路。

一、理論基礎(chǔ)

深度學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者對已有知識(shí)加工、整合、遷移和運(yùn)用，形成新知識(shí)，建構(gòu)新的知識(shí)體系，用“較高的沉浸性和投入度”[2]37積極地參與學(xué)習(xí)知識(shí)的過程。深度學(xué)習(xí)以前概念為基礎(chǔ)不斷增生新的知識(shí)生長點(diǎn)，旨在提高學(xué)生的高階思維和問題解決能力。

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，學(xué)習(xí)方式發(fā)生了極大的變化，“學(xué)習(xí)的時(shí)空、場域、過程、方式、路徑以及自主學(xué)習(xí)的目標(biāo)定位、內(nèi)容范疇、學(xué)習(xí)行為的內(nèi)外顯表征等，越來越個(gè)性化甚至‘碎片化。”[3]毋庸置疑，深度學(xué)習(xí)概念的提出給我國傳統(tǒng)教學(xué)模式帶來了挑戰(zhàn)，傳統(tǒng)教學(xué)已經(jīng)不能滿足學(xué)生的認(rèn)知向更深層次轉(zhuǎn)化的需要。在這一背景下，“多媒體畫面語言學(xué)指導(dǎo)下的新媒體技術(shù)可以根據(jù)不同的情境需求，滿足以學(xué)生為中心的行動(dòng)、建構(gòu)和生成?！盵4]22“教育軟件作為學(xué)習(xí)科學(xué)視域下深度學(xué)習(xí)的中心，計(jì)算機(jī)的處理信息的功能和化無疑為可視的作用對深度學(xué)習(xí)提供了有力有效的支持?！盵5]

鑒于此，教師在教學(xué)中應(yīng)基于深度學(xué)習(xí)理念，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域，整合梯形、圓形的性質(zhì)，充分利用Hawgent（皓駿）數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)技術(shù)軟件，通過問題驅(qū)動(dòng)等，分析如何實(shí)現(xiàn)深度教學(xué)，達(dá)到提升學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力的目的。

二、設(shè)計(jì)思路

我國學(xué)者劉哲雨等人提取了面向深度學(xué)習(xí)的教與學(xué)活動(dòng)中的核心要素，并基于核心要素構(gòu)建了深度學(xué)習(xí)框架[4]23，“杜威認(rèn)為，知識(shí)的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷知識(shí)的還原與下沉、經(jīng)驗(yàn)與探究、反思與上浮的‘U型學(xué)習(xí)過程”[6]，以促使學(xué)生完成思維的碰撞和深度思考。在此基礎(chǔ)上，筆者將該理念與數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域相結(jié)合，設(shè)置了數(shù)學(xué)教學(xué)的五個(gè)環(huán)節(jié)：明確目標(biāo)、創(chuàng)設(shè)情境（建立背景）、解決問題、變式訓(xùn)練和反思評價(jià)（如圖1所示） 。

第一，明確目標(biāo)。目標(biāo)是行為的終點(diǎn)，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)才能提高學(xué)習(xí)效率。

第二，創(chuàng)設(shè)問題情境（背景）。教師需要將問題背景引入數(shù)學(xué)課堂，還原知識(shí)發(fā)生的情境，以直接經(jīng)驗(yàn)拉近數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的距離，“賦予知識(shí)發(fā)生背景和使用情境，將知識(shí)進(jìn)行還原，也即知識(shí)的‘下沉，讓學(xué)生與知識(shí)原初相遇，建立起知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)?！盵2]37

第三，解決問題。通過問題驅(qū)動(dòng)，引起學(xué)生深度思考，剖析問題本質(zhì)，再以小組合作協(xié)商的方式分享結(jié)果。小組合作是進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的重要方式之一。學(xué)生通過小組合作，能夠在共享智慧成果的過程中擦出思維的火花。而加入Hawgent動(dòng)態(tài)技術(shù)元素，可以將抽象難懂的問題通過動(dòng)態(tài)演示變得直觀，通過情境的變換促進(jìn)知識(shí)的拓展、遷移。

第四，變式訓(xùn)練。深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遷移與應(yīng)用。教師應(yīng)適時(shí)變換情境或情境中的條件、背景、結(jié)論，讓學(xué)生再次解決問題。

第五，反思評價(jià)。教師應(yīng)在活動(dòng)的前、中、后使用元認(rèn)知監(jiān)測整個(gè)教學(xué)過程，及時(shí)總結(jié)、反思教學(xué)活動(dòng)。

三、以均值不等式幾何證法為例的教學(xué)環(huán)節(jié)

（一）明確目標(biāo)，計(jì)劃教學(xué)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，在知識(shí)上，學(xué)生對均值不等式有更深入的了解，明晰不同情境中其代表的幾何意義。在能力上，首先，學(xué)生通過動(dòng)手操作，觀察變量之間的關(guān)系，提高動(dòng)手操作能力和觀察能力;其次，學(xué)生在不斷變換的場景中提高靈活性、適應(yīng)性和遷移能力，通過問題驅(qū)動(dòng)，提升思考能力;最后，學(xué)生在反思、升華本節(jié)課內(nèi)容的過程中形成新認(rèn)知，提升反思能力。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，引人入勝

圖2是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的。顏色的明暗使它看上去像個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。教師讓學(xué)生帶著問題思考：你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？（參考人教版A版必修5）

[問題1] 該會(huì)標(biāo)當(dāng)中含有哪些幾何圖形？你能否運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將其刻畫出來？

設(shè)計(jì)意圖：教師用真實(shí)的生活情境引課，拉近數(shù)學(xué)課堂與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的距離，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生從中抽象出數(shù)學(xué)圖形，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將其在紙上畫出（如圖3所示）。

[問題2] 仔細(xì)觀察四個(gè)直角三角形的面積與正方形的面積有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生通過兩者面積關(guān)系得出均值不等式的平方形式，并得出開平方后的基本不等式。

（三）合作學(xué)習(xí)，解決問題

[問題3] 在其他幾何圖形中應(yīng)該怎樣證明均值不等式？如在圓形中。

設(shè)計(jì)意圖：教師變換證明情境，利用不同圖形的性質(zhì)尋找不同的證明均值不等式的方法。引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作，并結(jié)合Hawgent技術(shù)，嘗試如何利用圓的性質(zhì)探究出其中的數(shù)量關(guān)系。

[生組1] 老師，我們令A(yù)G = a，BG = b，利用圓的半徑找出了[ab]與[a+b2]，并且通過變換F點(diǎn)的位置來觀察[ab]與[a+b2]的關(guān)系，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，無論怎樣變換F點(diǎn)，[ab]都小于等于[a+b2]（如圖4所示）。

[生組2] 我們組還改變了a+b的大小，結(jié)果與第一小組的結(jié)論一致（如圖5所示）。

[師] 非常好，大家已經(jīng)能夠從這種動(dòng)態(tài)展示中發(fā)現(xiàn)，在以圓為背景的證明中，無論怎樣改變條件，始終都有[ab≤a+b2]。

[問題4] 在什么情況下該關(guān)系式中的等號(hào)成立？a和b有哪些限制？

（在提問之后，學(xué)生又展開了討論。）

（四）變換情境，深入探究

教師讓學(xué)生帶著問題思考：如果再次變換場景，將其放置在梯形中又會(huì)有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢？采用的數(shù)學(xué)方法參考涂榮豹和季素月的《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編》一書[7]。

已知正數(shù)a、b，它們的算術(shù)平均值為[a+b2]，幾何平均值為[ab]，調(diào)和平均值為[2aba+b]，平方平均值為[a2+b22]（如圖6所示）。

[問題5] 小組合作，動(dòng)手操作并觀察。你能找出幾條用a、b表示的線段？它們和每個(gè)平均值之間有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：利用梯形的性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生盡可能多地找出符合條件的線段，發(fā)現(xiàn)線段與平均值之間的關(guān)系，為下一步的猜想、推理奠定基礎(chǔ)。

[生組3] 梯形的中位線是算術(shù)平均值[a+b2]，就是線段GH的長（如圖7所示）。

[生組4] 我們小組畫出了過梯形對角線交點(diǎn)的平行于底的線（即交位線），根據(jù)交位線定理可以得到交位線的長度就是調(diào)和平均值[2aba+b]，即線段JK的長（如圖8所示）。

[師] 這兩組同學(xué)找到了中位線和交位線，發(fā)現(xiàn)了它們與算數(shù)平均值、調(diào)和平均值之間的關(guān)系。同學(xué)們再想一想，還有哪些特殊的位置可以嘗試一下呢？

[生組5] 在前兩組同學(xué)的基礎(chǔ)上，我們小組畫出了線段JG和KH的中點(diǎn)，繪制線段LM，結(jié)果發(fā)現(xiàn)線段LM的長度和幾何平均值[ab]的大小一樣（如圖9所示）。

大家為第五小組同學(xué)的“妙想”鼓掌。

[師] 看來同學(xué)們的思路已經(jīng)打開了。依據(jù)前面小組的思路，請大家再展開你們想象的翅膀，看看怎樣作線能夠找到平方平均值，多次嘗試一下吧。

[生組6] 能不能以點(diǎn)J為中點(diǎn)做點(diǎn)L（點(diǎn)G）關(guān)于線段JK對稱的平行線被梯形截得的線段？

（學(xué)生經(jīng)過嘗試發(fā)現(xiàn)并不能得出結(jié)論，所以需要繼續(xù)尋找其他方法。）

[生組7] 老師，按照第六小組的思路，我們小組以點(diǎn)G為中點(diǎn)，做點(diǎn)L關(guān)于線段GH對稱的平行線被梯形所截得的線段OP，發(fā)現(xiàn)線段OP的長與平方平均值[a2+b22]大致一樣（可能是軟件精確位數(shù)所致）（如圖10所示）。

[師] 經(jīng)過大家的共同努力，我們將四個(gè)平均數(shù)全部表示了出來，由圖可以直觀地看出四者之間的關(guān)系，即[2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22]。

[問題6] 在不等式[2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22]中，什么情況下等號(hào)成立？

（學(xué)生再次移動(dòng)梯形使得四線合一，發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)a = b時(shí)等號(hào)才成立。）

需要注意的是，這節(jié)課教師帶領(lǐng)學(xué)生從直觀上發(fā)現(xiàn)了各個(gè)平均值之間的關(guān)系，并沒有進(jìn)行嚴(yán)格的演繹推理。在接下來的課程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明，以保證數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

（五）反思評價(jià)，總結(jié)提升

“反思是聯(lián)結(jié)深度學(xué)習(xí)各個(gè)階段的橋梁，高階思維的發(fā)展與深度學(xué)習(xí)層次的提高，都需要反思作為內(nèi)生動(dòng)力，反思的形式可以是多種多樣的，例如，可視化反思、有聲思維反思、自我反思等?！盵4]23

1.學(xué)生角度。學(xué)生通過小組合作的形式共同探討，以小組代表總結(jié)發(fā)言的形式進(jìn)行結(jié)果反饋和反思。

[生組8] 這節(jié)課我們學(xué)會(huì)了證明均值不等式的三種幾何方法。三種方法分別是：在正方形中利用面積關(guān)系進(jìn)行比較;在圓形中利用半徑與弦的關(guān)系得出基本不等式;在梯形中利用線段長度找出四個(gè)均值不等式之間的關(guān)系。

[生組9] 補(bǔ)充：在第八小組總結(jié)的基礎(chǔ)上，我們小組還發(fā)現(xiàn)了當(dāng)a=b時(shí)，梯形中的圖形就變成了平行四邊形;繼續(xù)移動(dòng)點(diǎn)D至點(diǎn)C后，發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)三角形，且線段GH為三角形的中位線;當(dāng)點(diǎn)D無限接近點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)J、K、I、D、C五點(diǎn)重合，調(diào)和平均值[2aba+b]變?yōu)?，但是，此時(shí)線段OP的值與[a2+b22]并不完全相等。

[生組10] 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)和動(dòng)手操作，我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，利用不同的圖形就可以把難懂的不等式這么直觀地反映出來，原來圖形之間是相互聯(lián)系的。在以后的學(xué)習(xí)過程中，我們要更加注意知識(shí)之間的互通性了。

[師] 各位同學(xué)已經(jīng)總結(jié)得非常全面了。第八小組說出了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，第九組探索了圖形之間的變換，第十組感悟到了數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性。請同學(xué)們再思考一下，我們是如何得出不等式成立的。首先，我們從圖形中發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)關(guān)系，然后，我們利用圖形比較數(shù)的大小。這難道不是代數(shù)與幾何的巧妙結(jié)合嗎？通過圖形讓符號(hào)變得可度量化，以形比較數(shù)，以數(shù)衡量形，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。其實(shí)，證明均值不等式的幾何方法遠(yuǎn)不止這些。有興趣的同學(xué)在課下可以繼續(xù)討論交流，如利用兩個(gè)圓形該如何證明。這節(jié)課到這里就結(jié)束了。下節(jié)課我將帶領(lǐng)同學(xué)們用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理來證明均值不等式的成立，體會(huì)數(shù)學(xué)的“一絲不茍”。

2.教師角度。在知識(shí)與技能方面，步驟1設(shè)定了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)生要掌握均值不等式的相關(guān)知識(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷思考、判斷和分析，以提升其解決數(shù)學(xué)問題的能力;步驟2以數(shù)學(xué)文化史內(nèi)容引入，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)均值不等式的基本形式;步驟3強(qiáng)調(diào)小組間的交流與合作，通過小組合作與探究，共同發(fā)現(xiàn)均值不等式的形成過程;步驟4以變式形式深化學(xué)生對知識(shí)的理解和辨析;步驟5進(jìn)行總結(jié)、評價(jià)與反思，以提升整個(gè)教學(xué)過程，鞏固新知。

在過程與方法方面，把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn);在重點(diǎn)掌握方面，學(xué)生學(xué)習(xí)了均值;在難點(diǎn)突破方面，讓學(xué)生感受均值不等式的多種幾何證明方法，明晰不等式各要素之間的動(dòng)態(tài)比較過程，并利用Hawgent動(dòng)態(tài)信息技術(shù)解決這一難點(diǎn)，將難以想象的發(fā)生過程直觀化。

在情感態(tài)度與價(jià)值觀方面，提升能力，訓(xùn)練思維。本節(jié)課從著名的趙爽弦圖入手，根據(jù)不等式和幾何圖形的基本知識(shí)，通過動(dòng)態(tài)變換，將圖形幾何意義與代數(shù)建立聯(lián)系，降低學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的恐懼感;通過動(dòng)手操作啟迪學(xué)生，在潛移默化中提升其觀察能力，不斷進(jìn)行追問，以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度思考;以小組合作探究方式幫助學(xué)生及時(shí)調(diào)整自己的認(rèn)知，了解他人想法，既增強(qiáng)了學(xué)生知識(shí)遷移能力，又促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

四、感悟與啟示

（一）依托“六個(gè)問題、五個(gè)步驟”，明晰教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)

整個(gè)過程，通過分析解決問題，讓學(xué)生經(jīng)過不斷的思考，體會(huì)知識(shí)從實(shí)踐中來還要到實(shí)踐中去，以“明確目標(biāo)、創(chuàng)設(shè)情境、解決問題、變式拓展和反思評價(jià)”的脈絡(luò)把控知識(shí)的學(xué)習(xí)歷程，步驟與步驟之間環(huán)環(huán)相扣。

（二）注重“動(dòng)手操作，實(shí)驗(yàn)探究”，積累探究性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

通過動(dòng)手操作，深化學(xué)習(xí)過程，拓展學(xué)生思路。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，推動(dòng)著教與學(xué)方式的變革。學(xué)生主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中來，在實(shí)踐、交流、反思中使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從表層走向“深層”[4]23。

（三）促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，形成數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的基本模式

深度學(xué)習(xí)不僅體現(xiàn)在知識(shí)的遷移與運(yùn)用，還要通過數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生養(yǎng)成深度學(xué)習(xí)、深度思考的習(xí)慣。只有這樣，才能使學(xué)生形成批判性思維，富有創(chuàng)造精神，才能提升其反思能力，培養(yǎng)高階思維，使其在解決數(shù)學(xué)問題的過程中思維更加開闊，聯(lián)想更加豐富。深度學(xué)習(xí)也是一個(gè)不斷聯(lián)結(jié)的過程，在原有知識(shí)基礎(chǔ)上不斷增長“知識(shí)樹”，最終形成嚴(yán)密的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將“前概念”（幾何圖形的基本性質(zhì)、不等式等）和“科學(xué)概念”（均值不等式等）之間建立關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)、找出并驗(yàn)證猜想，以實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)下能力的發(fā)展，形成培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的基本模式。另外，深度學(xué)習(xí)的有效教學(xué)離不開信息技術(shù)的支持。利用數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)技術(shù)軟件可以把不容易想象的內(nèi)容以更直觀的方式展現(xiàn)出來，有助于提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力和發(fā)現(xiàn)與探索能力，促進(jìn)知識(shí)之間的遷移與運(yùn)用。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要工作小組辦公室.國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）[EB/OL].（2010-07-29）[2020-03-27].http：//www.gov.cn/jrzg/2010-07/29/content_1667143.htm.

[2]張曉娟，呂立杰.指向深度學(xué)習(xí)的課堂學(xué)習(xí)共同體建構(gòu)[J].基礎(chǔ)教育，2018，15（3）.

[3]張紹軍，陳名英.近十五年我國“深度學(xué)習(xí)”研究述評[J].教育測量與評價(jià)，2019（11）：38-39.

[4]劉哲雨，任輝，劉拓，等.深度學(xué)習(xí)核心要素的提取、論證和運(yùn)用[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（基礎(chǔ)教育版），2018，19（3）.

[5]張益瑋.基于學(xué)習(xí)科學(xué)視域下的深度學(xué)習(xí)實(shí)施研究[J].海外文摘·學(xué)術(shù)，2019（4）：67.

[6]郭元祥.論深度教學(xué)：源起、基礎(chǔ)與理念[J].教育研究與實(shí)驗(yàn)，2017（3）：7.

[7]涂榮豹，季素月.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編[M].南京：江蘇教育出版社，2007：352-354.

（責(zé)任編輯：趙曉梅）