胡 燮

(無錫市堰橋高級(jí)中學(xué) 江蘇 無錫 214000)

隨著深化課程改革工作的推進(jìn)，有關(guān)學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)成為教師教學(xué)過程中的重點(diǎn)。文[1]指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，情境的運(yùn)動(dòng)對數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)有著重要作用。文[2]指出：基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊性，教師在教學(xué)中應(yīng)該避免傳統(tǒng)機(jī)械式學(xué)習(xí)，注重活動(dòng)的應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)情境，以系列化活動(dòng)幫助學(xué)生科學(xué)合理開展學(xué)習(xí)，活躍學(xué)生思維，激發(fā)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極注重性，使數(shù)學(xué)育人功能得到最大化發(fā)揮。本文即通過對系列數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中案例的分析，探討培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的具體方法。

1.案例

1.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，優(yōu)化系列數(shù)學(xué)活動(dòng)。幾何作為研究空間結(jié)構(gòu)的一門學(xué)科，是高中階段的重要課程，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一，有的學(xué)生空間思維能力相對較為薄弱，在進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候就需要教師積極創(chuàng)設(shè)情境，優(yōu)化教學(xué)活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維和想象能力，推進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。在蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中，對于幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，有必修2和選修2-1，必修2是對幾何基本知識(shí)的詳細(xì)講解，選修2-1則是通過圓錐曲線讓學(xué)生對幾何知識(shí)有更加深入的學(xué)習(xí)。教師在進(jìn)行必修2教學(xué)的時(shí)候需要對其中的知識(shí)進(jìn)行詳細(xì)的梳理，讓學(xué)生的思維更能順應(yīng)教學(xué)的步驟，先直觀感受曲線，再對曲線的形式有仔細(xì)的認(rèn)知，再到對其性質(zhì)的了解到最終的應(yīng)用。其中2.2就在曲線認(rèn)知的基礎(chǔ)上對橢圓進(jìn)行了講解。在本節(jié)課教學(xué)中，教師可以先從日常生活中常見的橢圓形如聚光燈、橄欖球等，讓學(xué)生帶著直觀認(rèn)知進(jìn)行教學(xué)，更生活，也更抓人眼球。

學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)上存在困難的主要原因在于空間想象力的不足，在教學(xué)中，教師可以抓住學(xué)生的這點(diǎn)問題，以情境演示的方式進(jìn)行操作，帶領(lǐng)學(xué)生去認(rèn)識(shí)。筆者在教學(xué)圓錐曲線概念之后給出操作題：準(zhǔn)備一張圓形紙片，在紙片中任意取一個(gè)不是圓心的點(diǎn)F，之后把紙片折一下，將紙片折起，使圓周過點(diǎn)F(如圖)，然后將紙片展開，就得到一條折痕l(為了看清楚，也可以把這條直線畫出來)。然后繼續(xù)以這樣的方式來折紙片，會(huì)出現(xiàn)不同的折痕，同學(xué)們可以觀察以下，這些折痕構(gòu)成的是什么樣的輪廓？是怎樣的曲線？

在第一節(jié)課后布置課后手工操作題，讓班級(jí)的學(xué)生以4到6人為主分成不同的小組，進(jìn)行討論交流，探討圓的半徑和圓心到的距離分別存在什么樣的情況。

問題1.1.1 能否證明你的結(jié)論？

在讓學(xué)生進(jìn)行手工操作的同時(shí)，是帶領(lǐng)學(xué)生對橢圓形狀和性質(zhì)特征了解的重要過程，問題1.1.1的提出就是讓學(xué)生對橢圓性質(zhì)歸納總結(jié)的重要階段。

問題1.1.2 直線與曲線有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？如何證明？

問題1.1.2的研究是為了幫助學(xué)生突破幾何的局限，進(jìn)行拓展將其代數(shù)化，并整理出新的解決幾何學(xué)習(xí)的思路，由橢圓到直線形成方程，最終從方程組根的個(gè)數(shù)來對直線和曲線的相同與不同進(jìn)行分析，突破傳統(tǒng)教學(xué)思路和學(xué)習(xí)思維，實(shí)現(xiàn)代數(shù)和幾何的互通，幫助學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

問題1.1.3 以小組為單位對橢圓進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)橢圓具有哪種幾何性質(zhì)？

學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生以小組為單位進(jìn)行觀察、討論、交流，能夠認(rèn)知橢圓的性質(zhì)，也能夠?qū)ζ鋵ΨQ性、半徑、距離和范圍等規(guī)律有詳細(xì)的了解。對橢圓定義的學(xué)習(xí)最終是為了實(shí)際應(yīng)用而服務(wù)的，教師在之后的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生以手工操作的方式推進(jìn)幾何的代數(shù)化，拓展學(xué)生思維，讓學(xué)生對幾何的學(xué)習(xí)深度不斷加深，也對橢圓的幾何特點(diǎn)有詳細(xì)認(rèn)知，對其方程有更加深入的掌握。

1.2 強(qiáng)化過程經(jīng)驗(yàn)，滲透系列數(shù)學(xué)活動(dòng)。

蘇教版必修1第2章函數(shù)，主要內(nèi)容為：函數(shù)的概念；函數(shù)的簡單性質(zhì)；映射的概念。本章的主要任務(wù)是讓學(xué)生掌握函數(shù)的常用研究方法。 第3章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，主要研究三類函數(shù). 學(xué)生在掌握了函數(shù)的常用研究方法之后，可以對本次所提到的函數(shù)開展研究，并掌握方法。筆者完成指數(shù)函數(shù)的概念之后，給出以下問題：

問題1.2.1 你打算如何研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

問題1.2.2 研究哪些性質(zhì)？

問題1.2.3 怎樣研究這些性質(zhì)？

學(xué)生活動(dòng) 問題1.2.1的研究，學(xué)生認(rèn)識(shí)到指數(shù)函數(shù)的概念是抽象的，應(yīng)該具體化，選取具有代表性的例子進(jìn)行研究. 問題1.2.2是對函數(shù)常見性質(zhì)的回顧. 問題1.2.3確定了函數(shù)探究的基本思路：選取數(shù)據(jù)(具體函數(shù))→畫出圖象(列表作圖)→歸納性質(zhì).

在課堂結(jié)束，由學(xué)生對研究指數(shù)函數(shù)的方法進(jìn)行回顧，提出問題：

問題1.2.4 回顧我們的研究過程，我們是怎樣研究指數(shù)函數(shù)的？

在對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的研究過程中，首先對指數(shù)函數(shù)研究的思路進(jìn)行復(fù)習(xí)，利用類似的方法展開研究。 在冪函數(shù)研究之后，讓學(xué)生閱讀教材3.3節(jié)例題1(研究具體冪函數(shù)的奇偶性，限于篇幅不贅述)，并與學(xué)生分享對教材意圖的解讀：函數(shù)的性質(zhì)能夠輔助研究函數(shù)的圖象。 對研究的函數(shù)的思路進(jìn)行修正：選取數(shù)據(jù)(具體函數(shù))→畫出圖象(列表作圖)歸納性質(zhì).

冪函數(shù)的結(jié)束，是教材對函數(shù)研究的短暫結(jié)束，及時(shí)總結(jié)上述研究方法，也就是研究一般函數(shù)y=f(x)的方法，強(qiáng)化過程經(jīng)驗(yàn)，習(xí)得研究陌生函數(shù)的方法。

實(shí)際上，生活中面對新的問題研究的思路也類似：對新問題的個(gè)例進(jìn)行研究→總結(jié)研究方法→將研究方法在其他例子中試用→對研究方法進(jìn)行修正→將研究方法固化。

在函數(shù)的研究過程中，對具體函數(shù)研究經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，不斷強(qiáng)化，讓學(xué)生意識(shí)到研究方法的存在，并在章節(jié)結(jié)束，對研究方法進(jìn)行提升，從而感受到數(shù)學(xué)在實(shí)際問題研究中的意義.

1.3 領(lǐng)會(huì)教材意圖，突出系列數(shù)學(xué)活動(dòng)。

蘇教版必修4第1.3.4節(jié)函數(shù)的應(yīng)用一節(jié)中，有以下例題：

例題 一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)算時(shí)間.

(1)將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)；

(2)點(diǎn)第一次達(dá)到最高點(diǎn)大約要多長時(shí)間？

學(xué)生在求解過程中，比較常見的錯(cuò)誤是過點(diǎn)向軸引垂線，構(gòu)成直角三角形，利用直角三角形的三角函數(shù)進(jìn)行求解，忽略了點(diǎn)在圓周上周而復(fù)始運(yùn)動(dòng)的事實(shí)。 分析了錯(cuò)誤的原因之后，筆者給出問題：如何用數(shù)學(xué)模型來刻畫點(diǎn)在圓周上周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)？實(shí)際上，這一問題為本章章頭提供的問題，也是本章的核心問題。

在完成本例題的求解之后，便對整個(gè)求解過程進(jìn)行回顧. 建立直角坐標(biāo)系，把點(diǎn)P用直角坐標(biāo)P(x,y)來表示，也可以以水平方向?yàn)閰⒄辗较颍腰c(diǎn)P用(r,α)或(r,l)者來表示.在整個(gè)解答過程中涉及以下問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)P周而復(fù)始地運(yùn)動(dòng)時(shí)，角α如何刻畫？(任意角概念的應(yīng)用)

(2)r,l,α之間有怎樣的聯(lián)系？(求解過程中角的度量單位制的選擇)

(3)x,y,r,α之間有怎樣的關(guān)系？(縱坐標(biāo)與三角函數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)模型建立的意義之一)

(4)這樣的數(shù)學(xué)模型具有怎樣的性質(zhì)？(能夠很清楚的了解本例題問題(2)設(shè)計(jì)的意義)

該例題是生活中對周而復(fù)始運(yùn)動(dòng)的研究，整個(gè)求解過程，恰恰是對本章建立三角函數(shù)模型的必要性，建立過程，模型性質(zhì)研究的回顧。研讀教材，領(lǐng)會(huì)教材安排素材在系列數(shù)學(xué)活動(dòng)中的意義，并在教學(xué)中落實(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能持續(xù)結(jié)構(gòu)化。

2.反思

2.1 設(shè)計(jì)系列活動(dòng)情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。這要求創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境為學(xué)生提供解決問題機(jī)會(huì)的時(shí)候，教學(xué)中要抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，圍繞核心問題和解決問題的思想. 在教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的情景和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，并用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題。特別地，基于情景的系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，能夠讓學(xué)生認(rèn)識(shí)系列數(shù)學(xué)活動(dòng)在現(xiàn)實(shí)世界中的意義，從更高的觀點(diǎn)看建構(gòu)的系列數(shù)學(xué)知識(shí)，產(chǎn)生整體效益。 因此，在日常教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研讀教材，分析教材中素材的意圖，并根據(jù)教學(xué)實(shí)際，設(shè)計(jì)必要的活動(dòng)背景，讓課堂充滿數(shù)學(xué)生機(jī)。案例1.1將橢圓方程的建立、橢圓的性質(zhì)的研究和橢圓與直線的位置關(guān)系，以折紙為背景進(jìn)行設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在情境的發(fā)生發(fā)展過程中，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的必要性。將解析幾何中幾何問題代數(shù)化這一核心思想滲透整個(gè)問題的研究過程中，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)事物上升到理性認(rèn)識(shí)事物的跨越，用數(shù)學(xué)的方法研究現(xiàn)實(shí)世界中的問題。

2.2 理清系列活動(dòng)主線，幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界。思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在開展系列教學(xué)活動(dòng)，主要是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)來開展的，學(xué)生的時(shí)間和接受能力有限，在學(xué)習(xí)中有存在著種種困難，作為教師，就需要在教學(xué)中正確認(rèn)識(shí)活動(dòng)的主線，理清思維，帶領(lǐng)學(xué)生圍繞主線進(jìn)行知識(shí)的預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)。在案例1.2中，教師帶領(lǐng)學(xué)生對函數(shù)進(jìn)行研究的時(shí)候，要對研究的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，研究過程高中生出現(xiàn)的問題也要及時(shí)收集訂正，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，真正使他們的思維在系列活動(dòng)中得到鍛煉，也能夠以不同的方式激發(fā)他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提升他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng)。

2.3 巧設(shè)系列活動(dòng)總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展具有連續(xù)性與階段性。系列數(shù)學(xué)活動(dòng)圍繞某一內(nèi)容展開，教師應(yīng)該明晰其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生通過有結(jié)構(gòu)、有邏輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，促進(jìn)知識(shí)和技能的持續(xù)機(jī)構(gòu)化。在系列數(shù)學(xué)活動(dòng)完成時(shí)，進(jìn)行必要的總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。課標(biāo)中指出，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體。因此，教師可以利用數(shù)學(xué)建模活動(dòng)、探究活動(dòng)和章節(jié)復(fù)習(xí)等載體，對系列數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行總結(jié)。案例1.3中通過教材提供的數(shù)學(xué)建模素材，將該章節(jié)的核心任務(wù)進(jìn)行了必要的總結(jié)。在總結(jié)高中生體會(huì)到本章節(jié)研究的意義，研究的方法，對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)一步系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化。同時(shí)，數(shù)學(xué)模型的求解過程，也是系統(tǒng)知識(shí)運(yùn)用的過程，這為學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)刻畫現(xiàn)實(shí)世界提供了平臺(tái)。

3.結(jié)語

核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地?cái)?shù)學(xué)，教師需要正確認(rèn)識(shí)核心素養(yǎng)對學(xué)生成長成才的重要性，做好教學(xué)理念和教學(xué)方法的更新，以系列數(shù)學(xué)活動(dòng)為重要途徑，強(qiáng)化與學(xué)生的溝通交流，通過多種情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)架和正確知識(shí)的運(yùn)動(dòng)，真正使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面。