徐進(jìn)勇 (廣東省廣州市第九十七中學(xué) 510260)

新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)是學(xué)生與情境、問題的有效互動(dòng)，突出學(xué)生個(gè)性化、多樣化的學(xué)習(xí)和發(fā)展需求，提高學(xué)生交流、合作的社會(huì)溝通能力，著力發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．[1]新課堂樣態(tài)應(yīng)該是一種“自主·合作·交流”型的學(xué)習(xí)組織，它既是一種課堂形態(tài)，也是一種課堂理念、課堂結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)機(jī)制．這種新樣態(tài)課堂能將學(xué)生的外趨要求轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)驅(qū)動(dòng)力，將學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)求索，奠定自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，并真正建立起師生互動(dòng)與共享的共同體以促進(jìn)知識(shí)的流動(dòng)與創(chuàng)新，達(dá)成學(xué)生個(gè)人成長(zhǎng)與課堂團(tuán)隊(duì)整體進(jìn)步的雙贏目的．

“圓錐曲線的共同特征”一節(jié)在人教A版沒有專門列出，只是在例題或習(xí)題中“隱約”出現(xiàn)，很多教師也就不再組織學(xué)習(xí)．筆者認(rèn)為“圓錐曲線的共同特征”是學(xué)習(xí)圓錐曲線后的一節(jié)很好的復(fù)習(xí)提高課，值得研究．如何才能上好這節(jié)課呢？是直接給出定義強(qiáng)化理解，還是讓學(xué)生“自由發(fā)揮”？一番思考后，筆者決定創(chuàng)新課堂樣態(tài)．

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 課前任務(wù)布置

情境1 公元前3世紀(jì)，古希臘學(xué)者阿波羅尼斯用一個(gè)圓錐，通過改變截面的位置產(chǎn)生橢圓、雙曲線、拋物線三種曲線(圖1)．阿波羅尼斯從幾何圖形的角度來研究圓錐曲線性質(zhì)，但由于過多地依賴圖形而給研究帶來了困難．17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾提出點(diǎn)的坐標(biāo)和變數(shù)思想，把幾何曲線轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過研究方程來揭示曲線的性質(zhì)，創(chuàng)立了解析幾何．

圖1

情境2 圓錐曲線不僅在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的過程中熠熠生輝，在科學(xué)文化的其他領(lǐng)域也閃爍光芒．如當(dāng)人造天體被以不同的速度(三種宇宙速度)從地球發(fā)射出去的時(shí)候，它的軌跡分別是圓、橢圓、拋物線和雙曲線(圖2)，這就是物理中所講的開普勒三大定律．

情境3 嫦娥四號(hào)于2018年12月8日在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功，在降落月球背面過程中要經(jīng)過多次變軌，變軌的實(shí)施要通過數(shù)據(jù)的輸入和動(dòng)力制動(dòng)完成(圖3)．嫦娥四號(hào)實(shí)現(xiàn)了人類首次月球背面著陸，創(chuàng)造出“世界先驅(qū)者”般的成就與壯舉．

圖2 圖3

問題橢圓、雙曲線、拋物線圖象的形成過程存在著密切聯(lián)系，三種曲線相聯(lián)的背后存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

任務(wù)：請(qǐng)各位同學(xué)結(jié)合課本內(nèi)容或搜集相關(guān)材料作總結(jié)或猜想，尋找三種曲線在數(shù)量上的聯(lián)系與特征，探尋它們內(nèi)在的統(tǒng)一性，并按“已有材料-猜想探索-得出結(jié)論-自我評(píng)價(jià)”的形式書寫研究報(bào)告．

1.2 課堂交流展示

教師閱讀學(xué)生上交的報(bào)告，發(fā)現(xiàn)研究方向主要聚焦三類：(1)從橢圓、雙曲線定義出發(fā)思考(以下簡(jiǎn)稱為“定義”)；(2)研究斜率間關(guān)系(以下簡(jiǎn)稱為“斜率”)；(3)研究到定點(diǎn)與到定直線的距離比(以下簡(jiǎn)稱為“距離”)．全班35人中研究方向大致可分為：定義法9人，斜率法6人，距離法20人．上課時(shí)按“同質(zhì)”組合就座形成學(xué)習(xí)小組，前10分鐘在同學(xué)習(xí)小組內(nèi)交流彼此想法，加深理解，形成共識(shí)；接下來20分鐘由各小組推選的匯報(bào)人通過實(shí)物投影展示研究成果；后10分鐘師生共同研討，反思提高．

學(xué)習(xí)小組1 從“定義”探索．

已有材料：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和為定值(大于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓；差的絕對(duì)值為定值(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線；商為定值(不為1)的點(diǎn)的軌跡是圓(稱阿波羅尼斯圓)，商為1的點(diǎn)的軌跡是直線．

猜想：到兩個(gè)定點(diǎn)距離積為定值的點(diǎn)的軌跡是拋物線嗎？如果是，那就太完美了！

但還是很難通過描點(diǎn)法畫出它的圖象，于是想到用幾何畫板畫圖：如圖4，不斷改變a,c的大小關(guān)系，得到恰似一個(gè)細(xì)胞分裂成兩個(gè)細(xì)胞的過程圖，非常奇妙！

圖4

通過上網(wǎng)搜索定義：這些曲線實(shí)際上是數(shù)學(xué)史上著名的卡西尼卵形線．在數(shù)學(xué)史上，到兩個(gè)定點(diǎn)(叫做焦點(diǎn))的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線.卡西尼是一位出生于意大利的法國(guó)籍天文學(xué)家和水利工程師，他是第一個(gè)研究土星的人，為了紀(jì)念卡西尼對(duì)土星研究的貢獻(xiàn)，人們用他的名字命名了用于探測(cè)土星的探測(cè)器．

得出結(jié)論 雖沒達(dá)到尋找橢圓、雙曲線、拋物線數(shù)量上的統(tǒng)一，但有意外驚喜，發(fā)現(xiàn)了卡西尼卵形線，明確了到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和、差、積、商為定值時(shí)各自點(diǎn)的軌跡．

自我評(píng)價(jià) 建系列方程，用方程研究曲線，幾何畫板幫助畫圖，網(wǎng)上查詢資料，感受卡西尼卵形線很美．

學(xué)習(xí)小組2 從“斜率”探索．

(3)(課本42頁)已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，求點(diǎn)M的軌跡方程．答案：x=-3(y≠0)．

(4)(課本74頁)已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，求點(diǎn)M的軌跡方程．答案：y=1-x2(x≠±1)．

猜想：到兩個(gè)定點(diǎn)斜率之差為定值的軌跡一定是拋物線嗎？

已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2c，探求點(diǎn)M的軌跡方程．

得出結(jié)論 與兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積大于0時(shí)點(diǎn)的軌跡是雙曲線；斜率之積小于0時(shí)(不為-1)軌跡是橢圓；斜率之積等于-1時(shí)軌跡是圓；斜率之差為定值時(shí)軌跡是拋物線．(都要去掉兩個(gè)點(diǎn))

自我評(píng)價(jià) 通過斜率找到橢圓、雙曲線、拋物線間的數(shù)量關(guān)系，但由于斜率的條件限制，所得軌跡中都要去掉兩個(gè)點(diǎn)，而且得出的拋物線也不是標(biāo)準(zhǔn)型，有點(diǎn)遺憾；認(rèn)真搜集課本相關(guān)內(nèi)容，通過對(duì)比能發(fā)現(xiàn)一些有價(jià)值的規(guī)律；從和、差、積、商的運(yùn)算變化中收獲新的知識(shí)；注意解題中的條件限制與等價(jià)變化．

學(xué)習(xí)小組3 從距離探索．

自我評(píng)價(jià) 找到了三種曲線數(shù)量上的聯(lián)系，而且距離比e分別為(0,1),1,(1,+∞)的連續(xù)變化，與圖形的連續(xù)變化相吻合，很開心；課本習(xí)題從(1)到(3)由特殊到一般，循序漸進(jìn)；仿照課本中橢圓方程的推導(dǎo)過程，令a2-c2=b2，使方程化簡(jiǎn)，形式簡(jiǎn)潔，有對(duì)稱美！

1.3 師生互動(dòng)

展示匯報(bào)環(huán)節(jié)結(jié)束后，教師充分肯定學(xué)生的猜想及所使用的數(shù)學(xué)研究方法(用方程研究曲線)，走的路不同，欣賞到的風(fēng)景也就不同，但彼此交流，讓我們看到很多，想到很多！

師：針對(duì)小組3的結(jié)論，你能用更簡(jiǎn)潔的語言表達(dá)嗎？

生：橢圓、雙曲線、拋物線可統(tǒng)一為平面上到一定點(diǎn)的距離與到不過該定點(diǎn)的定直線的距離之比為常數(shù)e的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．

師：據(jù)此，你能求出這種統(tǒng)一定義下的方程嗎？

如何建系，如何設(shè)點(diǎn)和定直線方程？方法很多，方程的形式也不同．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是以定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定直線方程設(shè)為x=-p，此時(shí)方程是什么？學(xué)生很快計(jì)算得出(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0．

師：用幾何畫板展示三種曲線的連續(xù)變化圖，并說明用幾何畫板的制圖原理(進(jìn)一步突出統(tǒng)一 定義)．

1.4 課堂小結(jié)

平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離之比是一個(gè)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，統(tǒng)一方程可寫為(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0．研究讓我們看到,只有抓住共同的本質(zhì)，才能用統(tǒng)一的觀點(diǎn)、統(tǒng)一的語言來描述不同的事物．這讓我們有一種“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的快感，使我們領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一美”．

2 課堂新樣態(tài)特征分析

2.1 課堂教學(xué)要充分尊重學(xué)生思維

好的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)突出數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和學(xué)生的思考，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的自然性與合理性，要基于感性發(fā)展理性．本節(jié)課的設(shè)計(jì)就是突破“直接化”的方案，在情境與問題的驅(qū)動(dòng)下，突出學(xué)生的自然想法，如定義中到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和、差、商研究了，為什么不研究“積”？嫦娥四號(hào)變軌的實(shí)施要通過數(shù)據(jù)的輸入和動(dòng)力制動(dòng)完成，那么圓錐曲線圖形連續(xù)變化背后的數(shù)據(jù)又是什么呢？橢圓與雙曲線定義、性質(zhì)聯(lián)系較為緊密，似乎與拋物線有些疏遠(yuǎn)，拋物線有準(zhǔn)線，橢圓與雙曲線為何沒有？等等．不同的疑問，有不同思考；不同的人，有不同的思維方式；不同基礎(chǔ)的學(xué)生，有不同的思維層次．但所有學(xué)生都是在探究自己想要解決的問題.學(xué)習(xí)有興趣，主動(dòng)性就很強(qiáng)，經(jīng)歷過探究過程，才能積累知識(shí)和方法，獲得理智和情感體驗(yàn)，這就是最好的學(xué)習(xí)方式．尊重學(xué)生思維的教學(xué)要做好以下幾點(diǎn)：(1)充分了解學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，如課前教師要認(rèn)真批閱學(xué)生的研究報(bào)告或作業(yè)，明確學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)；(2)尊重學(xué)生的情感起點(diǎn)，即教師要明白學(xué)生想知道什么、渴望解決什么；(3)尊重學(xué)生對(duì)知識(shí)建構(gòu)的思維習(xí)慣，關(guān)注新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，形成自然的思維發(fā)展鏈條，如教師針對(duì)學(xué)習(xí)小組3所進(jìn)行的適時(shí)拓展；(4)尊重學(xué)生個(gè)性差異，關(guān)注課堂新的生成，允許并鼓勵(lì)學(xué)生的個(gè)性思維在課堂流淌，本節(jié)課安排3個(gè)小組分別展示，就是充分尊重學(xué)生的個(gè)性化思維，使課堂煥發(fā)出活力．

2.2 著力培養(yǎng)學(xué)生的自主發(fā)展能力

教學(xué)中教師先創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，提出目標(biāo)與任務(wù).學(xué)生課后學(xué)習(xí)的空間與時(shí)間是開放的、自由的，帶著自己的疑問查閱課本或上網(wǎng)搜集資料，也可以借助其他工具(如幾何畫板)進(jìn)行自主學(xué)習(xí).這一目的是要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題；搜集整理相關(guān)素材，歸納猜想、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律；給出科學(xué)合理的解釋或進(jìn)行理性的證明；反思探索過程，通過檢驗(yàn)優(yōu)化研究方案，從而獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(四基)，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(四能).與傳統(tǒng)式學(xué)習(xí)相比，“自主·合作·交流”型學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)主體對(duì)材料的搜集與感悟，強(qiáng)調(diào)研究小組或團(tuán)隊(duì)的合作交流與共同進(jìn)步，這些都是新時(shí)代公民必備的素養(yǎng)．因此，教學(xué)中教師要充分相信學(xué)生、引導(dǎo)學(xué)生，逐步引領(lǐng)學(xué)生走上自主學(xué)習(xí)與發(fā)展的道路．

2.3 合作交流是新樣態(tài)課堂的主旋律

課堂教學(xué)是課堂活動(dòng)的教學(xué)，課堂活動(dòng)包括師生交流、展示、探究等．葉瀾教授認(rèn)為，在教學(xué)過程中，教師不僅要把學(xué)生看作“對(duì)象”“主體”，還要看作是教學(xué)“資源”的重要構(gòu)成和生成者．學(xué)生在課堂活動(dòng)中的狀態(tài)，包括他們的學(xué)習(xí)興趣、積極性、注意力，學(xué)習(xí)方法與思維方式，合作能力與質(zhì)量，發(fā)表的意見、建議、觀點(diǎn)，提出的問題與爭(zhēng)論乃至錯(cuò)誤的回答等，無論是以言語還是以行為、情緒方式的表達(dá)，都是教學(xué)過程中的生成性資源．有了這種“活資源”的意識(shí)，教師才不會(huì)把學(xué)生在課堂中的活動(dòng)、回答看作是一種對(duì)教師教的配合，而是看作對(duì)教的過程的積極參與和教學(xué)過程創(chuàng)生的不可缺少的重要組成部分．[1]本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)主旨就是學(xué)生的3種不同研究方向、方式、結(jié)果通過分組展示給全班同學(xué)，并讓各種意見獲得充分解釋，使學(xué)生在交互學(xué)習(xí)中完全明了背后的道理．正如美國(guó)小說家華萊士所指出的，教育的目的，不是學(xué)會(huì)一堆知識(shí)，而是學(xué)會(huì)一種思維的方式．教師在教學(xué)中要積極為學(xué)生創(chuàng)建交流互動(dòng)的平臺(tái)，讓學(xué)生敢說、會(huì)說且說得精彩，真正實(shí)現(xiàn)教師組織下的學(xué)生思維資源的共賞，體現(xiàn)學(xué)習(xí)不僅是個(gè)體的行為，也是集體努力的結(jié)果．

2.4 努力實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)中的文化育人

文化屬性是課程知識(shí)的基本屬性，挖掘課程知識(shí)的文化元素，充分表達(dá)知識(shí)的文化屬性，是課堂教學(xué)中文化育人方式的前提條件．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)從歷史和現(xiàn)實(shí)兩種情境揭示知識(shí)的文化屬性，通過“自主·合作·交流”展示學(xué)生不同的思維歷程來表達(dá)教學(xué)過程作為一種文化實(shí)踐的過程，并突出其中的人與事，切實(shí)在學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)過程中開展文化導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生開展文化體驗(yàn)、文化體認(rèn)、文化體悟，感受數(shù)學(xué)的形式美、統(tǒng)一美、簡(jiǎn)潔美，并在探索過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)文化積淀、人文素養(yǎng)和人文情懷．課堂教學(xué)不應(yīng)僅僅把知識(shí)作為一種事實(shí)或結(jié)論告訴或傳遞給學(xué)生，還需對(duì)具體知識(shí)進(jìn)行深入的文化分析，引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí)的文化屬性、文化思想、文化精神和文化思維方式，體現(xiàn)知識(shí)對(duì)學(xué)生的文化影響力，真正達(dá)成“以文化人”的目的．[2]