王龍凱 王艾倫 金 淼 尹伊君

1.中南大學(xué)輕合金研究院，長(zhǎng)沙，410083

2.中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙，410083

0 引言

拉桿組合轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)在航空、電力、船舶等行業(yè)中得到了廣泛的應(yīng)用，它的各級(jí)輪盤通過拉桿螺栓預(yù)緊后連接為一體，這種特殊結(jié)構(gòu)形式的轉(zhuǎn)子不再是一個(gè)連續(xù)的整體[1]。這類型轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速較高，常在一階或二階臨界轉(zhuǎn)速之上運(yùn)轉(zhuǎn)。高轉(zhuǎn)速運(yùn)行工況以及組合轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的內(nèi)在非線性，使轉(zhuǎn)子在某些工況或外界擾動(dòng)下不再做定常運(yùn)動(dòng)，某些轉(zhuǎn)速區(qū)域可能會(huì)出現(xiàn)振幅忽大忽小的跳躍現(xiàn)象，即雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)現(xiàn)象。當(dāng)轉(zhuǎn)子做非同步渦動(dòng)時(shí)，輪盤的內(nèi)阻參數(shù)會(huì)顯著影響轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)[2]。因此，研究高速拉桿組合轉(zhuǎn)子非線性雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特性并掌握內(nèi)阻作用機(jī)理，對(duì)保障機(jī)組長(zhǎng)期安全穩(wěn)定運(yùn)行具有非常重要的意義。

在高速轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究工作。賓光富等[3]采用頻譜分析法研究了高速轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性，VARNEY等[4]分析了轉(zhuǎn)靜碰摩轉(zhuǎn)子的分岔特性，NEMBHARD等[5]通過實(shí)驗(yàn)揭示了多故障轉(zhuǎn)子軌跡的演變規(guī)律，KHANLO等[6]研究了碰摩轉(zhuǎn)子的橫向-扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)。在組合轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)研究方面，WANG等[7]研究了裂紋拉桿轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性；HU等[8]將輪盤接觸層等效為抗彎彈簧，研究了拉桿轉(zhuǎn)子的碰摩特性；黑棣等[9]采用長(zhǎng)軸承理論求解油膜力，研究了拉桿轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)行為；何謙等[10]、殷杰等[11]采用有限元法計(jì)算了接觸界面的法向剛度；于平超等[12]將軸承反力簡(jiǎn)化為三次函數(shù)，研究了航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性；李輝光等[13]考慮了拉桿附加剛度，采用floquet理論研究了拉桿轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性；程禮等[14]發(fā)現(xiàn)某型發(fā)動(dòng)機(jī)在某擾動(dòng)下會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)突跳現(xiàn)象，他將轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化為典型的拉桿組合轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，將軸承剛度設(shè)為定值，采用諧波平衡法研究了雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特性?，F(xiàn)有文獻(xiàn)主要關(guān)注碰摩、裂紋、接觸剛度對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性的影響，關(guān)于轉(zhuǎn)子雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特性方面的研究較少，且都沒有考慮內(nèi)阻效應(yīng)，因此，亟需研究并掌握內(nèi)阻對(duì)組合轉(zhuǎn)子雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

本文根據(jù)拉桿組合轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)和力學(xué)特點(diǎn)，構(gòu)建含輪盤接觸、油膜以及內(nèi)阻的組合轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)模型，采用時(shí)頻分析法研究拉桿組合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性雙穩(wěn)態(tài)特性及內(nèi)阻效應(yīng)。

1 含內(nèi)阻的組合轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模

組合轉(zhuǎn)子按拉桿類型可以分為周向拉桿組合轉(zhuǎn)子和中心拉桿組合轉(zhuǎn)子。周向拉桿轉(zhuǎn)子輪盤間的結(jié)合面為平面，通過摩擦力來(lái)傳遞盤間載荷，而中心拉桿轉(zhuǎn)子通常采用端齒結(jié)構(gòu)來(lái)傳遞盤間載荷。軸承特性和界面接觸非連續(xù)性使得組合轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性非常復(fù)雜，在某些工況下會(huì)出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)、渦動(dòng)振幅跳躍等現(xiàn)象。周向拉桿組合轉(zhuǎn)子制造難度和成本較低，應(yīng)用更為廣泛，因此，本文以圖1所示輪盤間環(huán)形平面接觸的周向拉桿轉(zhuǎn)子為例，探究含內(nèi)阻的拉桿組合轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)行為。圖1中，N1、N2、N3、N4分別為1號(hào)軸承、1號(hào)盤、2號(hào)盤和2號(hào)軸承的集中質(zhì)量點(diǎn)；Fub1、Fub2分別為作用在1號(hào)盤和2號(hào)盤上的不平衡力；ks為轉(zhuǎn)軸剛度。

圖1 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 輪盤接觸剛度計(jì)算

輪盤通過均布拉桿壓緊為一整體，具有典型的非連續(xù)特性，如圖2所示，d為桿直徑，D為匹配孔直徑，且有d

圖2 拉桿轉(zhuǎn)子接觸界面

以O(shè)XZ平面為例，定義輪盤間X方向的相對(duì)位移為Δx，半徑差ε=(D-d)/2。拉桿與其匹配孔之間存在間隙，橫向振動(dòng)中，當(dāng)輪盤間的相對(duì)位移較小(|Δx|<ε)時(shí)，拉桿與匹配孔不發(fā)生接觸[8]，拉桿預(yù)緊力作用下的輪盤間接觸層的抗彎剛度為k1(可由微元體方法[13]求得)。當(dāng)輪盤間的相對(duì)位移大于半徑差時(shí)，拉桿與其匹配孔發(fā)生接觸，系統(tǒng)將產(chǎn)生拉桿附加抗彎剛度k2。用三次冪函數(shù)y=k′1(Δx)3擬合非線性恢復(fù)力

可得圖3所示的附加非線性恢復(fù)力曲線，其中，k′1為非線性剛度。

1.分段線性恢復(fù)力 2.三次冪函數(shù)模型

綜上，結(jié)合線性剛度k1和非線性恢復(fù)力Fcx，可推導(dǎo)出輪盤接觸層之間的非線性恢復(fù)力：

(1)

由式(1)可知，輪盤間接觸只有達(dá)到一定條件時(shí)才表現(xiàn)出明顯的非線性特性，而此條件取決于轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)整體的動(dòng)力學(xué)特性。

1.2 內(nèi)阻力

拉桿轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且兩端采用滑動(dòng)軸承支撐，這使得組合轉(zhuǎn)子渦動(dòng)形式復(fù)雜且具有多樣性。在非同步振動(dòng)情況下，內(nèi)阻勢(shì)必會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生顯著影響，因此，在研究組合轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)行為時(shí)，需考慮輪盤內(nèi)阻效應(yīng)。材料的內(nèi)阻尼力與輪盤相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的速度成正比，內(nèi)阻力在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω)下可表示為

(2)

式中，ci為輪盤材料內(nèi)阻尼，下標(biāo)i表示內(nèi)阻。

使用坐標(biāo)變換公式[2]可推導(dǎo)出內(nèi)阻力在固定坐標(biāo)系下的表達(dá)式：

(3)

1.3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

(4)

式中，F(xiàn)cx1、Fcy1分別為作用在1號(hào)盤上的非線性恢復(fù)力在X方向和Y方向的分量；Fcx2、Fcy2分別為作用在2號(hào)盤上的非線性恢復(fù)力在X方向和Y方向的分量；m1、m2、m3、m4分別為1號(hào)軸承、1號(hào)盤、2號(hào)盤和2號(hào)軸承的等效集中質(zhì)量；c1、c2、c3分別為軸承自阻尼系數(shù)、輪盤外阻尼系數(shù)和接觸界面阻尼系數(shù)；e1、e2分別為1號(hào)盤和2號(hào)盤的質(zhì)量偏心距；φ1、φ2分別為1號(hào)盤和2號(hào)盤的偏心相位角；s為Sommerfeld數(shù)，s=ηωRL3/(4c2)；η為潤(rùn)滑油黏度；R為軸承半徑；L為軸承長(zhǎng)度；g為重力加速度；c為軸承間隙；Fx、Fy分別為X和Y方向的軸承量綱一非線性油膜力。

該拉桿轉(zhuǎn)子采用滑動(dòng)軸承支撐，假定潤(rùn)滑油為等溫、不可壓縮的層流，由于長(zhǎng)徑比L/D<0.25，故本文采用基于短軸承假設(shè)的Capone油膜力模型[15]，其量綱一非線性油膜力可表示為

(5)

2 動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)轉(zhuǎn)子各組件進(jìn)行?；幚砗骩2]，為進(jìn)行臨界轉(zhuǎn)速分析，將運(yùn)動(dòng)方程中的阻尼力、質(zhì)量偏心引起的不平衡力和附加非線性恢復(fù)力假定為0；采用直接剛度系數(shù)計(jì)算線性軸承力，并求解運(yùn)動(dòng)方程的特征值，得到轉(zhuǎn)子的前二階臨界轉(zhuǎn)速分別為318 rad/s和1256 rad/s。為驗(yàn)證模型計(jì)算的正確性，根據(jù)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)(表1)，采用基于有限元分析的Dyrobes軟件構(gòu)建組合轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型。建模過程中，將連接軸段1-2和3-4?；癁闊o(wú)質(zhì)量彈性軸段；各節(jié)點(diǎn)處質(zhì)量采用剛性輪盤?；?；輪盤連接段2-3采用虛擬軸段進(jìn)行處理。Dyrobes的計(jì)算結(jié)果與本文所得結(jié)果如表2所示，兩者的誤差較小。

3 數(shù)值仿真與算例分析

采用4階Runge-Kutta法[2]對(duì)式(4)數(shù)值求解，采用分岔圖、李雅普諾夫分析、時(shí)頻分析以及龐加萊截面法研究系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.1 無(wú)內(nèi)阻組合轉(zhuǎn)子的雙穩(wěn)態(tài)升降速特性

(a)升速

(a)升速

(a)時(shí)域

首先不考慮輪盤內(nèi)阻力，取表1中的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)拉桿轉(zhuǎn)子進(jìn)行時(shí)域升降速(轉(zhuǎn)速為100～2500 rad/s)響應(yīng)特性分析，得到該拉桿轉(zhuǎn)子1號(hào)軸承水平方向的量綱一位移-轉(zhuǎn)速分岔圖(圖4)和李雅普諾夫指數(shù)圖(圖5)，可知系統(tǒng)在升降速過程中的非線性動(dòng)力學(xué)特性(分岔點(diǎn)、分岔類型和Lyapunov穩(wěn)定性)存在明顯差別，即降速過程中的轉(zhuǎn)子響應(yīng)在高轉(zhuǎn)速區(qū)域的分岔特性比升速過程的更復(fù)雜。由圖4a可知：①當(dāng)轉(zhuǎn)速小于606.5 rad/s時(shí)，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)保持穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)(P-1)，這是由于系統(tǒng)在低轉(zhuǎn)速區(qū)主要受不平衡力影響，僅存在轉(zhuǎn)頻成分；圖5a中對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)均小于0，表明系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是Lyapunov穩(wěn)定的，但該轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)的Lyapunov指數(shù)隨轉(zhuǎn)速的升高而變大。②轉(zhuǎn)速ω≈606.5 rad/s時(shí)，升速過程中系統(tǒng)第一次出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模式由周期1進(jìn)入周期2，Lyapunov指數(shù)約為0(A1點(diǎn))，驗(yàn)證了該轉(zhuǎn)速點(diǎn)為倍周期分岔點(diǎn)。由圖6可知轉(zhuǎn)速為607 rad/s時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期2運(yùn)動(dòng)(P-2)，此時(shí)，振動(dòng)頻率的基頻和0.5倍頻共同主導(dǎo)轉(zhuǎn)子振動(dòng)。③系統(tǒng)在ω≈678.9 rad/s時(shí)經(jīng)過倍周期倒分岔返回到穩(wěn)定的P-1，該轉(zhuǎn)速處的Lyapunov指數(shù)約為0(A2點(diǎn))，圖7表明升速過程中，系統(tǒng)在1149 rad/s做周期1運(yùn)動(dòng)。值得關(guān)注的是，ω>678.9 rad/s時(shí)，Lyapunov指數(shù)稍小于0，表明該轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)的系統(tǒng)可能存在雙穩(wěn)態(tài)解。綜上，升速情況下，轉(zhuǎn)速?gòu)?00 rad/s升高到2500 rad/s時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)依次發(fā)生如下演化過程：P-1→P-2→P-1。為便于對(duì)比分析升降速非線性振動(dòng)，在分析降速情況時(shí)，將降速仍然視為隨轉(zhuǎn)速增加的運(yùn)動(dòng)過程。

(a)時(shí)域

對(duì)比分析降速和升速結(jié)果可知：在所關(guān)注的轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)非線性振動(dòng)特征存在明顯區(qū)別，降速過程中的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)雜且變化豐富：①ω<1101 rad/s時(shí)，降速過程中的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、分岔特性及其變化過程與升速過程一致。②ω≥1101 rad/s時(shí)，升速過程中的系統(tǒng)保持穩(wěn)定的P-1；在降速過程中，1101 rad/s≤ω≤1234 rad/s時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為周期3運(yùn)動(dòng)(P-3)；1234 rad/s<ω≤1258 rad/s時(shí)，系統(tǒng)為擬周期運(yùn)動(dòng)，圖5b中接近0的Lyapunov指數(shù)驗(yàn)證此轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；1258 rad/s<ω≤1306 rad/s時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為P-3；ω> 1306 rad/s時(shí)，系統(tǒng)保持穩(wěn)定的擬周期運(yùn)動(dòng)。圖5b中的B1、B2、B3、B4、B5為分岔點(diǎn)，相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)約為0。分別對(duì)比圖6、圖7中兩種不同轉(zhuǎn)速下的升降速響應(yīng)特性可知，ω=607 rad/s時(shí)，升降速振動(dòng)特性一致；ω=1149 rad/s時(shí)，升降速非線性振動(dòng)特性存在明顯差異性，升速過程中，系統(tǒng)響應(yīng)在該轉(zhuǎn)速處呈P-1運(yùn)動(dòng)，降速情況下為P-3運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的頻譜(圖7c)中，0.3338倍頻和基頻處存在明顯的譜峰，次同步振動(dòng)幅值已經(jīng)超過了同步振動(dòng)幅值。

綜合對(duì)比分析圖4～圖7可知，該拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在ω>1101 rad/s時(shí)出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，且存在2種不同的雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)模式。1101 rad/s≤ω≤1234 rad/s、1258 rad/s<ω≤1306 rad/s時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)在升速過程為周期1運(yùn)動(dòng)，在降速過程為周期3運(yùn)動(dòng)；1234 rad/s<ω≤1258 rad/s、ω>1306 rad/s時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)在升速過程為周期1運(yùn)動(dòng)，在降速過程為擬周期運(yùn)動(dòng)。高轉(zhuǎn)速下，盤式拉桿轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)非連續(xù)及油膜力引入的非線性是導(dǎo)致雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特征的主要原因。

(a)升速

(a)升速

為進(jìn)一步分析盤式組合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)的雙穩(wěn)態(tài)非線性振動(dòng)，進(jìn)行升降速下的轉(zhuǎn)子振動(dòng)頻譜和響應(yīng)分析。圖8為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)升降速的非線性振動(dòng)3D瀑布圖，ω<1101 rad/s時(shí)，升降速的振動(dòng)頻率成分相同；1101 rad/s≤ω≤ 2500 rad/s時(shí)，升速工況的每個(gè)轉(zhuǎn)速僅存在基頻振動(dòng)分量，而降速工況下的轉(zhuǎn)速1101 rad/s處出現(xiàn)明顯的頻譜“跳躍”現(xiàn)象，頻譜中除了含有轉(zhuǎn)頻成分外，還有一個(gè)明顯小于 1/2 倍轉(zhuǎn)頻的次同步振動(dòng)成分fn2且其幅值大于轉(zhuǎn)頻幅值，即油膜振蕩主導(dǎo)轉(zhuǎn)子振動(dòng)。圖9描述了升降速過程中系統(tǒng)響應(yīng)的變化過程，亦可直觀判斷系統(tǒng)在1101 rad/s后出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。圖10所示為升降速過程中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)1號(hào)軸承水平方向振動(dòng)的單峰值(single peak value，SPV)以及最大振動(dòng)位移-轉(zhuǎn)速曲線，系統(tǒng)在606.5 rad/s ≤ω≤666.8 rad/s時(shí)發(fā)生半頻渦動(dòng)失穩(wěn)即P-2運(yùn)動(dòng)；降速過程中，系統(tǒng)在1101 rad/s時(shí)發(fā)生振蕩失穩(wěn)和“非線性跳躍”，而升速過程中則不存在該非線性現(xiàn)象；系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速區(qū)間[1101 rad/s，2500 rad/s]存在雙穩(wěn)態(tài)振幅，再一次驗(yàn)證該盤式拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在特定轉(zhuǎn)速區(qū)間出現(xiàn)“雙穩(wěn)態(tài)”振動(dòng)現(xiàn)象。對(duì)于實(shí)際的機(jī)型而言，在動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)須避免在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)現(xiàn)象。

(a)振動(dòng)單峰值

(a)升速

3.2 含內(nèi)阻的組合轉(zhuǎn)子雙穩(wěn)態(tài)升降速特性

拉桿轉(zhuǎn)子是高速、高負(fù)荷機(jī)型的核心部件，在全壽命周期內(nèi)工況復(fù)雜多變，內(nèi)阻可提高轉(zhuǎn)子渦動(dòng)的復(fù)雜程度。為了研究?jī)?nèi)阻效應(yīng)，在動(dòng)力學(xué)模型中考慮內(nèi)阻力，得到該組合轉(zhuǎn)子1號(hào)軸承處振動(dòng)響應(yīng)分岔圖(圖11)。

對(duì)比分析升/降速計(jì)算結(jié)果可知，轉(zhuǎn)子在升降速過程中的振動(dòng)特性不一致，其分岔類型、分岔點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性存在明顯差異：①轉(zhuǎn)速ω<896 rad/s或ω≥1427 rad/s時(shí)，升降速過程中的系統(tǒng)響應(yīng)一致，呈現(xiàn)P-1運(yùn)動(dòng)或擬周期運(yùn)動(dòng)，此轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)未出現(xiàn)振動(dòng)失穩(wěn)現(xiàn)象；②896 rad/s≤ω<1427 rad/s時(shí)，出現(xiàn)2.2節(jié)所述的非線性“雙穩(wěn)態(tài)”振動(dòng)，與無(wú)內(nèi)阻工況顯著不同的是內(nèi)阻效應(yīng)下存在4種不同的雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)模式，其中，896 rad/s≤ω<908 rad/s、920 rad/s<ω≤1017 rad/s時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)模式為P-1(升速)與P-5(降速)，908 rad/s≤ω≤920 rad/s為P-1(升速)與P-10(降速)，1017 rad/s<ω≤1137 rad/s、1161 rad/s<ω<1427 rad/s為P-1(升速)與擬周期運(yùn)動(dòng)(降速)，1037 rad/s<ω≤1161 rad/s為P-1(升速)與P-7(降速)；③系統(tǒng)響應(yīng)依次發(fā)生如下分岔：升速過程為P-1→擬周期運(yùn)動(dòng)，降速過程為P-1→P-5→P-10→P-5→擬周期運(yùn)動(dòng)→P-7→擬周期運(yùn)動(dòng)；④發(fā)生首次分岔失穩(wěn)的轉(zhuǎn)速為1427 rad/s(升速)和896 rad/s(降速)。造成此種差異性的主要原因是盤式組合轉(zhuǎn)子存在非線性因子且具有遲滯慣性效應(yīng)，在出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的轉(zhuǎn)速區(qū)域，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)模式會(huì)處于何種狀態(tài)主要由系統(tǒng)的初始條件決定，了解該轉(zhuǎn)速區(qū)間振動(dòng)特征對(duì)日趨高速化轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)至關(guān)重要。

(a)升速

(a)時(shí)域

為驗(yàn)證上述非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征，計(jì)算升降速過程中的Lyapunov指數(shù)(圖12)。Lyapunov指數(shù)曲線圖顯示的周期運(yùn)動(dòng)與擬周期運(yùn)動(dòng)的變化趨勢(shì)與圖13中對(duì)應(yīng)的分岔圖相符，系統(tǒng)在較高轉(zhuǎn)速時(shí)均處于擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)接近于零。圖13～圖15所示為典型轉(zhuǎn)速(896 rad/s、1149 rad/s和1330 rad/s)下的時(shí)域、軌跡、龐加萊截面和頻譜，可直觀判定系統(tǒng)在降速過程中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分別為P-5、P-7和擬周期運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，次同步振動(dòng)分量主導(dǎo)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)。

(a)時(shí)域

(a)時(shí)域

圖16所示為升降速過程中含內(nèi)阻組合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)1號(hào)軸承處的振動(dòng)響應(yīng)單峰值以及最大振動(dòng)位移-轉(zhuǎn)速曲線。系統(tǒng)在升降速過程中均發(fā)生振動(dòng)響應(yīng)“非線性跳躍”；在較高或較低轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)，升降速過程中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)一致；系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速區(qū)間 [896 rad/s，1427 rad/s)存在雙穩(wěn)態(tài)振幅，表明該盤式拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在內(nèi)阻作用下仍在特定轉(zhuǎn)速區(qū)間出現(xiàn)“雙穩(wěn)態(tài)”振動(dòng)。為避免轉(zhuǎn)子在受到外界擾動(dòng)后發(fā)生雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)故障，工作轉(zhuǎn)速和出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的起始轉(zhuǎn)速之間應(yīng)有足夠的裕度。

(a)振動(dòng)單峰值

通過頻域響應(yīng)分析得到轉(zhuǎn)子1號(hào)軸承處非線性振動(dòng)3D瀑布圖(圖17)。除了轉(zhuǎn)速區(qū)間P1(896 rad/s≤ω<1427 rad/s)外，系統(tǒng)升降速過程中的振動(dòng)頻率成分相同；P1的轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)，升速過程中的振動(dòng)響應(yīng)僅含有轉(zhuǎn)頻成分，降速過程中的振動(dòng)成分復(fù)雜，包括轉(zhuǎn)頻fr、次諧波頻率fn1、fn2、fn3(fn3=fn1+fn2)、fn4(fn4=2fn1+fn2)成分、少量的2倍頻成分，其中，次諧波fn3的振幅最大。大振幅油膜振蕩使得轉(zhuǎn)子振動(dòng)劇烈，導(dǎo)致振動(dòng)響應(yīng)發(fā)生“跳躍”現(xiàn)象。

(a)升速

3.3 對(duì)比分析與討論

為揭示內(nèi)阻對(duì)組合轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律，對(duì)比分析3.1節(jié)、3.2節(jié)的數(shù)據(jù)并提取關(guān)鍵非線性動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)，如表3所示，表中的半頻渦動(dòng)失穩(wěn)視為第一次失穩(wěn)，振蕩失穩(wěn)視為第二次失穩(wěn)。

表3 非線性動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)

對(duì)比分析有無(wú)內(nèi)阻情形下組合轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)可得如下結(jié)論：①轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在內(nèi)阻作用下，升降速過程中均不再出現(xiàn)第一次失穩(wěn)(失穩(wěn)轉(zhuǎn)速為606.5 rad/s)，但升速過程中出現(xiàn)第二次失穩(wěn)；②內(nèi)阻使第二次失穩(wěn)的起始轉(zhuǎn)速明顯向低轉(zhuǎn)速方向移動(dòng)，降速過程中的第二次失穩(wěn)轉(zhuǎn)速?gòu)?107 rad/s降至896 rad/s，升速過程中的第二次失穩(wěn)轉(zhuǎn)速?gòu)臒o(wú)到有，為1427 rad/s；③內(nèi)阻使運(yùn)動(dòng)序列發(fā)生明顯變化，但系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模式最終均進(jìn)入擬周期；④內(nèi)阻使升速過程中出現(xiàn)非線性振動(dòng)響應(yīng)、頻譜“跳躍”；⑤內(nèi)阻使出現(xiàn)非線性“雙穩(wěn)態(tài)”振動(dòng)現(xiàn)象的轉(zhuǎn)速區(qū)間長(zhǎng)度縮小。

圖18所示為升降速過程中1號(hào)軸承振動(dòng)響應(yīng)均方根值-轉(zhuǎn)速曲線，將圖中曲線與圖4、圖11相應(yīng)的分岔曲線對(duì)比可知：內(nèi)阻不改變渦動(dòng)頻率為轉(zhuǎn)頻的同步振動(dòng)響應(yīng)幅值，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為純同步振動(dòng)時(shí)，有無(wú)內(nèi)阻不影響其振動(dòng)響應(yīng)，這與文獻(xiàn)[16]采用Jeffcott轉(zhuǎn)子研究線性化轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)內(nèi)阻效應(yīng)所得振動(dòng)規(guī)律相符，說明本文的研究方法正確，相應(yīng)的研究結(jié)論可為轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)提供參考。然而，內(nèi)阻顯著影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性渦動(dòng)，使降速過程中的非線性跳躍提前出現(xiàn)。此外，文中的雙穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與文獻(xiàn)[14]采用相似轉(zhuǎn)子所得加減速測(cè)試結(jié)果具有非常相似的特征。

圖18 1號(hào)軸承振動(dòng)響應(yīng)曲線

圖19 組合轉(zhuǎn)子測(cè)試臺(tái)

圖20 升降速過程中轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移曲線

圖21 振動(dòng)信號(hào)頻譜圖

為定性說明所得結(jié)論是有效的，本文開展周向拉桿組合轉(zhuǎn)子升降速實(shí)驗(yàn)。如圖19所示，試驗(yàn)轉(zhuǎn)子由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)，兩端軸承均為滑動(dòng)軸承。采用電渦流位移傳感器采集振動(dòng)信號(hào)，振動(dòng)位移曲線如圖20所示，由圖可知，轉(zhuǎn)子在第一階臨界轉(zhuǎn)速1950 r/min附近存在明顯的峰值。升降速過程中，振動(dòng)隨轉(zhuǎn)速的變化趨勢(shì)基本一致，除了在第一階臨界轉(zhuǎn)速附近略有波動(dòng)，這主要是由于在共振區(qū)域激起了固有頻率模態(tài)，導(dǎo)致振動(dòng)波動(dòng)大。為進(jìn)行組合轉(zhuǎn)子頻譜分析，對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行快速傅里葉分析。圖21中的轉(zhuǎn)頻及其倍頻占主導(dǎo)，未發(fā)現(xiàn)分頻振動(dòng)分量。存在倍頻成分的主要原因是轉(zhuǎn)子與電機(jī)之間的聯(lián)軸器、兩端軸承之間均存在一定的不對(duì)中與角不平衡，以及轉(zhuǎn)子存在初始軸彎曲。以上分析均表明實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)子在所測(cè)轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)未出現(xiàn)振動(dòng)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，這與本文所研究轉(zhuǎn)子在一定轉(zhuǎn)速下不存在的結(jié)論一致，定性說明本文所得結(jié)論具有合理性。

4 結(jié)論

(1)建立的拉桿組合轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)模型考慮了輪盤非線性接觸、非線性油膜力、內(nèi)阻效應(yīng)，可用于分析含內(nèi)阻的組合轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

(2)組合轉(zhuǎn)子有無(wú)內(nèi)阻時(shí)，升降速過程中均出現(xiàn)明顯的非線性“雙穩(wěn)態(tài)”振動(dòng)特征，但內(nèi)阻使非線性“雙穩(wěn)態(tài)”動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)速區(qū)間明顯向低轉(zhuǎn)速方向移動(dòng)。為有效預(yù)測(cè)出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的轉(zhuǎn)速區(qū)間，在動(dòng)力學(xué)分析時(shí)須考慮內(nèi)阻效應(yīng)，以確保轉(zhuǎn)子在不同工況下均平穩(wěn)安全的運(yùn)轉(zhuǎn)。

(3)內(nèi)阻可抑制轉(zhuǎn)子在低速工況下的失穩(wěn)，但使轉(zhuǎn)子在高轉(zhuǎn)速下發(fā)生的振蕩失穩(wěn)提前出現(xiàn)，即高低轉(zhuǎn)速存在不同的內(nèi)阻效應(yīng)，內(nèi)阻使第二次失穩(wěn)的轉(zhuǎn)速點(diǎn)明顯前移。

(4)內(nèi)阻使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)序列發(fā)生明顯變化，但最終在高轉(zhuǎn)速下可進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)；內(nèi)阻在一定條件下可使升速過程中出現(xiàn)非線性振動(dòng)響應(yīng)、頻譜等跳躍，并使非線性跳躍現(xiàn)象提前。

(5)內(nèi)阻不改變以基頻為主的純強(qiáng)迫振動(dòng)(同步振動(dòng))，即有無(wú)內(nèi)阻不影響其振動(dòng)響應(yīng)；在分析轉(zhuǎn)子低速工況下的振動(dòng)特性時(shí)可忽略內(nèi)阻的影響；高轉(zhuǎn)速非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的渦動(dòng)復(fù)雜，須考慮內(nèi)阻效應(yīng)，以有效預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)子雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特性，保障轉(zhuǎn)子平穩(wěn)安全運(yùn)行。