高峰，劉秀婷

(1.南京信息工程大學(xué)濱江學(xué)院自動化學(xué)院，江蘇無錫，214105；2.東北大學(xué)航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，遼寧沈陽，110819；3.東北大學(xué)材料各向異性與織構(gòu)教育部重點實驗室，遼寧沈陽，110819)

隨著航空發(fā)動機在大推力與輕量化方向的快速發(fā)展，無榫結(jié)構(gòu)(通過整體加工或焊接制造)的整體葉盤得到越來越廣泛的應(yīng)用[1]。由于缺少榫頭和榫槽的摩擦耗能，整體葉盤的系統(tǒng)阻尼通常較小，振動應(yīng)力或響應(yīng)過大，振動的不利影響比較突出。在惡劣工況下，整體葉盤容易發(fā)生共振和高周疲勞破壞，從而縮短其有效使用壽命[2]。基于此，有必要對整體葉盤附加外部阻尼器來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)件的阻尼減振。對于傳統(tǒng)的榫接葉盤結(jié)構(gòu)，大多數(shù)研究人員通常應(yīng)用干摩擦阻尼器(葉冠[3?4]、凸肩[5?6]或緣板[7?8]等)和黏彈性材料[9?10]來消耗振動能量，達(dá)到有效減振。但是，整體葉盤的結(jié)構(gòu)特征和工作環(huán)境決定了上述傳統(tǒng)的阻尼減振措施是無法實施的。因此，迫切需要一種新型的阻尼器來抑制整體葉盤過大的振動響應(yīng)。

硬涂層主要是由金屬基(NiCoCrAlY等)、陶瓷基(YSZ 等)或兩者混合組成的涂層材料[11?12]。與軟涂層不同，硬涂層通常具有抗高溫、抗摩擦、抗沖刷和抗腐蝕[13?17]等諸多優(yōu)點，一般用于結(jié)構(gòu)件的表面強化處理。研究發(fā)現(xiàn)，硬涂層材料內(nèi)部顆粒的摩擦使其具有良好的系統(tǒng)阻尼[18?19]，可以在較大溫變范圍內(nèi)實施被動阻尼減振[20?22]，而且可靈活調(diào)整附加剛度。此外，硬涂層的力學(xué)參數(shù)具有典型的非線性特征，其儲能模量(彈性模量)與耗能模量(損耗因子)總是隨著涂層結(jié)構(gòu)件應(yīng)變的變化而變化，稱為應(yīng)變依賴性[23?25]。目前，研究人員以板、梁和薄壁圓柱殼[25?27]為對象，對涂層復(fù)合結(jié)構(gòu)的非線性振動特性展開了基礎(chǔ)研究，但是，在考慮應(yīng)變依賴性的前提下對涂層整體葉盤非線性振動特性的研究較少。

Rayleigh-Ritz法是通過泛函駐值條件求未知函數(shù)的一種近似方法，也是應(yīng)用于應(yīng)用數(shù)學(xué)和機械工程領(lǐng)域的經(jīng)典數(shù)值方法，可以高效率地計算結(jié)構(gòu)的低階自然頻率，被廣泛用于求解邊界和連續(xù)性條件復(fù)雜的結(jié)構(gòu)振動問題。針對復(fù)雜形狀板結(jié)構(gòu)，張俊等[28]對傳統(tǒng)的Rayleigh-Ritz 法進(jìn)行改進(jìn)，并求解了直邊和曲邊板的振動特性，與有限元結(jié)果的對比證明了改進(jìn)方法具有的較高的準(zhǔn)確性和可靠性以及良好的適應(yīng)性。在建立具有形狀記憶合金(SMA)纖維的各向異性層合梁本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上，徐曉明等[29]利用Rayleigh-Ritz能量法求板簧的固有頻率，并得到固有頻率與溫度、鋪層角和SMA含量的關(guān)系曲線，揭示了SMA纖維復(fù)合材料變截面板簧的固有頻率的調(diào)節(jié)機理。

本文作者利用硬涂層的阻尼特性來增強整體葉盤的耗能減振，并在考慮硬涂層應(yīng)變依賴性的前提下求解涂層整體葉盤非線性振動特性。選擇葉片兩側(cè)附加等厚度的非線性NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的整體葉盤為研究實例，首先，根據(jù)實驗離散數(shù)據(jù)并利用高階多項式闡述硬涂層非線性力學(xué)參數(shù)的連續(xù)變化趨勢，然后，利用改進(jìn)的Oberst梁理論、基于正交多項式的Rayleigh-Ritz能量法建立涂層整體葉盤的非線性振動模型，最后，利用提出的基于Newton-Raphson 法迭代求解程序求解涂層整體葉盤的非線性振動模型，得到非線性共振頻率和共振響應(yīng)，并通過與實驗測試數(shù)據(jù)的比較校驗?zāi)Ｐ?；通過線性與非線性振動特性的比較分析了應(yīng)變依賴性彈性模量和損耗因子對涂層整體葉盤共振頻率和共振響應(yīng)的影響。

1 硬涂層的應(yīng)變依賴性

通過研究發(fā)現(xiàn)，硬涂層材料的阻尼特性具有以下特點：1)硬涂層的阻尼性能要優(yōu)于金屬基體的阻尼性能，但是比黏彈性材料的性能差；2)在高溫高壓環(huán)境下，硬涂層的阻尼性能能夠保持穩(wěn)定，而不會像黏彈性材料那樣失效；3)硬涂層的模量隨著涂層復(fù)合結(jié)構(gòu)應(yīng)變的變化而變化。

硬涂層的應(yīng)變依賴性復(fù)模量為

式中：εe，Ec(εe)和E′c(εe)分別為硬涂層的等效應(yīng)變、彈性模量和耗能模量；i表示虛數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[30]可將Ec(εe)和E′c(εe)進(jìn)行多項式展開，分別表示為

式中：n和N分別為多項式項數(shù)和最大項；Ec,0和E′c,0分別為硬涂層的線性彈性模量和耗能模量。

將式(2)～(3)代入式(1)并整理可得硬涂層的復(fù)模量和損耗因子ηc(εe)分別為

2 涂層整體葉盤的非線性振動特性分析

2.1 非線性振動建模

圖1所示為葉片兩側(cè)附加非線性硬涂層的整體葉盤。整體葉盤的密度為ρ，涂層葉片的長度、寬度、厚度和密度分別為l，b，hcb(其中，葉片厚度為hb，涂層厚度為hc)和ρcb，矩形橫截面積為Ap，安裝角和圓周角分別為?p和θp(p表示葉片數(shù)量)；輪盤外徑、內(nèi)徑和厚度分別為Ro，Ri和hd。由于輪盤剛度與葉片的剛度相近，因此，在兩者之間引入彈簧(平動剛度KTp和轉(zhuǎn)動剛度KRp)來考慮其耦合振動特性。在數(shù)算例中，以涂層葉片中心Op為原點建立局部直角坐標(biāo)系(xp,zp)，以輪盤中心Od為原點建立圓柱坐標(biāo)系(r,θ,z)。此外，涂層整體葉盤以恒定角速度Ω繞z軸旋轉(zhuǎn)。為了計算簡潔，引入以下量綱一的量：

僅考慮輪盤在z軸方向的位移wd和涂層葉片在zp方向上的位移wbp，分別為：

圖1 涂層整體葉盤的非線性動力學(xué)模型Fig.1 Nonlinear dynamic model of blisk deposited hard coating on blades

式中，，和Brp為待求解系數(shù)，qr為輪盤節(jié)徑數(shù)；M和Rp為Ritz 基底維數(shù)，Φm(a)和Ψrp(bp)為Ritz 基的容許函數(shù)，是通過Gram-Schmidt 方法得到的正交多項式。

2.2 非線性振動模型的建立

2.2.1 涂層葉片等效參數(shù)求解

圖2所示為涂層葉片和復(fù)合Oberst 梁的示意圖。在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的數(shù)值計算中，通?？梢詫⒍鄬硬煌N類材料組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)等效成一種同質(zhì)的特殊材料，從而能夠在不影響計算精度的情況下有效提高分析效率[31]，因此，首先基于改進(jìn)的Oberst梁理論獲得涂層葉片的等效參數(shù)。

式中：Eb和ηb分別為葉片的彈性模量和損耗因子；Ecb(εe)和ηcb(εe)分別為涂層葉片的非線性彈性模量和非線性損耗因子。

涂層葉片在彎曲狀態(tài)的平衡方程為

則涂層葉片結(jié)合面到中性面的距離ξ為

則涂層葉片的復(fù)彎曲剛度為

將式(13)代入式(15)可得

式中：hr=hc/hb，Er(εe)=Ec(εe)/Eb。

此外，涂層葉片的復(fù)彎曲剛度滿足關(guān)系：

將式(16)和式(17)聯(lián)立，并整理可得

圖2 涂層葉片和涂層梁的示意圖Fig.2 Schematic diagrams of the coated blade and composite beam

2.2.2 非線性振動方程的推導(dǎo)

由圖1可知，旋轉(zhuǎn)態(tài)的涂層整體葉盤包含涂層葉片和輪盤轉(zhuǎn)動動能、勢能、應(yīng)變能以及彈簧的應(yīng)變能，因此可以利用基于能量的Rayleigh-Ritz法來推導(dǎo)涂層整體葉盤非線性振動方程。

涂層葉片和輪盤的動能Tcb和Td分別為

涂層葉片和輪盤的應(yīng)變能Ucb和Ud分別為

彈簧和涂層葉片的勢能Vs和Vcb的分別為

輪盤的勢能Vd為[33]

式中：σr和σθ分別為輪盤徑向力和圓周力[34]；u為輪盤的面內(nèi)位移；Mcb和Md分別為涂層葉片和輪盤的質(zhì)量。

將能量式(20)～(28)代入Lagrange公式，得

根據(jù)最小勢能原理求解式(29)或L的極小值，可得到涂層整體葉盤的非線性頻率方程為

式中：(εe)和M分別為涂層整體葉盤的非線性復(fù)剛度矩陣和線性實質(zhì)量矩陣；Kcb(εe)和Dcb(εe)分別為涂層整體葉盤的非線性剛度矩陣和非線性阻尼矩陣；和φ分別為涂層整體葉盤的復(fù)特征值和特征向量。

由式(30)可以得到涂層整體葉盤的非線性振動方程為

式中：ωcb和q分別為涂層整體葉盤的固有頻率和受迫振動響應(yīng)；F為涂層整體葉盤的力向量。

為了充分考慮應(yīng)變依賴性對涂層整體葉盤振動特性的影響，需要準(zhǔn)確計算式(31)的等效應(yīng)變εe。根據(jù)文獻(xiàn)[26]可知，等效應(yīng)變εe可以通過如下公式求解：

式中，χ為拾振點到涂層葉片中性面的距離。

2.3 非線性振動特性的求解

令等效應(yīng)變εe=0，依據(jù)上述方法可得到不考慮應(yīng)變依賴性的涂層整體葉盤的復(fù)剛度矩陣，即

整體葉盤的振動特性在葉片附加硬涂層后會發(fā)生改變，這種變化與整體葉盤發(fā)生失諧的變化非常相似，因此，將硬涂層假設(shè)成一種具有諧調(diào)形式的失諧特征，即由硬涂層構(gòu)造特殊失諧特征的整體葉盤的扇區(qū)物理和幾何參數(shù)完全相同。此外，由于硬涂層厚度較整體葉盤相對較小，因此，假設(shè)涂層葉片厚度近似為葉片的厚度。換句話說，認(rèn)為對葉片涂敷硬涂層僅僅改變整體葉盤材料參數(shù)而不改變其幾何參數(shù)。基于上述假設(shè)，由式(30)和式(33)可得到硬涂層的非線性復(fù)剛度矩陣：

此外，由式(31)可以得到涂層整體葉盤非線性振動方程的殘余向量ζ為

將式(2)，(3)和(34)代入式(35)，經(jīng)整理可得

需要注意的是，復(fù)模量理論的應(yīng)用使得涂層整體葉盤的受迫振動響應(yīng)q是以復(fù)數(shù)形式存在，表示為

為了求解涂層整體葉盤的非線性振動工程，提出一種基于Newton-Raphson法的迭代計算方法。其中，第r+ 1次的迭代公式為

假設(shè)迭代計算精度為?，則可設(shè)定殘余向量的二階范數(shù)作為迭代計算的終止條件：

值得注意的是，硬涂層的等效應(yīng)變εe在非線性振動方程迭代計算的初始值為0，涂層整體葉盤的非線性復(fù)模量和受迫振動響應(yīng)q會基于前一次的計算結(jié)果不斷更新，直至滿足預(yù)設(shè)的計算精度為止。

3 實例分析

圖3所示為涂層整體葉盤的試驗件和實驗系統(tǒng)。整體葉盤厚度為3 mm，硬涂層厚度為0.3 mm。輪盤的內(nèi)、外徑分別為80 mm 和100 mm，葉片的寬度和長度分別為24 mm 和80 mm。彈簧的平動和轉(zhuǎn)動剛度均為10 MN/m。涂層整體葉盤的材料參數(shù)見表1。其中，考慮應(yīng)變依賴性的硬涂層的非線性彈性模量Ec(εe)與損耗因子ηc(εe)分別為[35]

圖3 涂層整體葉盤及其實驗設(shè)備與測試流程Fig.3 Experimental devices and testing process of coating blisk

表1 整體葉盤和硬涂層的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of academic blisk and hard coating

在振動實驗中，首先，對涂層整體葉盤進(jìn)行模態(tài)測試確定大致的固有頻率，再對涂層整體葉盤進(jìn)行掃頻測試確定準(zhǔn)確的共振頻率與響應(yīng)。需要注意的是，由于NiCoCrAlY+YSZ硬涂層會使整體葉盤的頻率降低[2]，因此，在進(jìn)行掃頻實驗時，需要由高階向低階測試。

3.1 非線性振動模型的校驗

為了校驗非線性涂層整體葉盤的非線性振動模型的有效性和可靠性，將理論結(jié)果和實驗結(jié)果進(jìn)行對比。表2所示為基于非線性振動模型和實驗測試得到涂層整體葉盤在相同激勵下的共振頻率和響應(yīng)。從表2可以發(fā)現(xiàn)：涂層整體葉盤共振頻率或共振響應(yīng)的理論結(jié)果與實驗結(jié)果都存在一定的相對誤差，但是它們的相對誤差不是很大，共振頻率的相對誤差始終保持在1.04%～1.98%的范圍內(nèi)；共振響應(yīng)的相對誤差大多在20%以內(nèi)，而且最大值不超過28.21%。這說明在相同的激勵水平下，本文創(chuàng)建的涂層整體葉盤的非線性振動模型具有較高的計算精度和較好的可靠性。

圖4所示為基于非線性振動模型和實驗測試得到涂層整體葉盤在不同激勵下(在第二階次)的頻域響應(yīng)曲線。從圖4可以看出：涂層整體葉盤在不同激勵下的理論響應(yīng)和實驗響應(yīng)存在一定偏差，但是這些差異并不大，而且理論分析結(jié)果與實驗測試結(jié)果具有非常相似的變化趨勢，即隨著激勵的增大，涂層整體葉盤的理論和實驗共振響應(yīng)均逐漸增大，響應(yīng)峰值所對應(yīng)的共振頻率均逐漸減小。這說明在不同外部激勵水平下，涂層整體葉盤振動特性的理論分析結(jié)果與實驗測試結(jié)果具有較好的一致性。

3.2 應(yīng)變依賴性對振動特性的影響

圖5所示為涂層整體葉盤的線性和非線性(第二階次)頻率響應(yīng)線。圖中，A1～A7和B1～B3表示共振響應(yīng)曲線峰值位置。雙因素非線性是指彈性模量和損耗因子均為非線性的情況；單因素非線性是指彈性模量和損耗因子中僅一項為線性，另一項為非線性的情況。從圖5(a)可見，在相同的激勵水平下，應(yīng)變依賴性會使得涂層整體葉盤的共振頻率f略微減小(即fB1

表2 涂層整體葉盤在1g激勵下的共振頻率和響應(yīng)Table 2 Resonant frequencies andresponses of coating blisk under 1g excitation level

圖4 涂層整體葉盤在不同激勵下的頻率響應(yīng)曲線Fig.4 Frequency?response curves of coating blisk under various excitation levels

圖5 涂層整體葉盤的線性和非線性頻率響應(yīng)曲線Fig.5 Linear and nonlinear frequency?response curves of coating blisk

圖6所示為涂層整體葉盤在不同激勵下的線性和非線性(在第二階次)共振頻率與共振響應(yīng)，其中，qa和qb分別為不考慮應(yīng)變依賴性和考慮應(yīng)變依賴性的涂層整體葉盤的共振響應(yīng)，fa和fb分別為不考慮應(yīng)變依賴性和考慮應(yīng)變依賴性的涂層整體葉盤的共振頻率。由圖6(a)可以看到：隨著外部激勵的增大，不考慮應(yīng)變依賴性的涂層整體葉盤的共振頻率fa保持恒定不變，考慮應(yīng)變依賴性的涂層整體葉盤的共振頻率fb呈下降趨勢。由圖6(b)可以看到：隨著外部激勵的增大，考慮或不考慮應(yīng)變依賴性的涂層整體葉盤的共振響應(yīng)qa或qb都會逐漸變大，但是，考慮應(yīng)變依賴性的共振響應(yīng)增加量?qb要明顯小于考慮應(yīng)變依賴性的共振響應(yīng)增加量?qa，且共振響應(yīng)增加量的差值(?qa??qb)也逐漸增大，這說明應(yīng)變依賴性能夠增強硬涂層對整體葉盤的振動控制能力。

圖6 涂層整體葉盤的線性和非線性共振頻率與響應(yīng)Fig.6 Linear and nonlinear resonant frequencies and responses of coating blisk

4 結(jié)論

1)利用改進(jìn)的Oberst 梁理論、基于正交多項式Rayleigh-Ritz 能量法和Newton-Raphson 法建立的考慮應(yīng)變依賴性的涂層整體葉盤的非線性振動模型具有較高的計算精度和較好的可靠性。

2)應(yīng)變依賴性彈性模量僅對涂層整體葉盤的共振頻率產(chǎn)生影響，應(yīng)變依賴性損耗因子僅對涂層整體葉盤的共振響應(yīng)產(chǎn)生影響。

3)應(yīng)變依賴性對涂層整體葉盤共振頻率的影響較弱，但能明顯提升硬涂層的振動阻尼能力，有助于硬涂層提高整體葉盤的阻尼減振效果。