王辛， 郭龍祥， 生雪莉， 殷敬偉， 李佳馨

(1. 哈爾濱工程大學 水聲技術(shù)重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 海洋信息獲取與安全工業(yè)和信息化部重點實驗室(哈爾濱工程大學)，黑龍江 哈爾濱 150001；3.哈爾濱工程大學 水聲工程學院，黑龍江 哈爾濱150001)

傳統(tǒng)的水聲方位估計中，通常使用的是均勻直線陣列結(jié)構(gòu)，但由于水聲探測環(huán)境多目標、多干擾的特點，為了有效地分辨目標，對陣列的空間分辨力有一定的要求。而陣列的空間分辨力與陣列孔徑直接相關(guān)，對于均勻直線陣列而言，為了避免角度模糊，陣元間距限制在分析信號頻率上限的半波長以下，在這種條件下要想獲得高的空間分辨力就需要大量的陣元組成長線陣[1]。但是出于對制造成本以及信號處理實時性等方面的考量，實際的水聲陣列使用過程中不便使用過多的陣元通道數(shù)據(jù)。為了解決這一問題，諸多學者研究如何使用較少的陣元數(shù)完成對多目標方位的高分辨估計。為此，許多稀疏陣型結(jié)構(gòu)被提出，Moffet[2]提出了最小冗余陣的概念，但由于其結(jié)構(gòu)不唯一導致實際應用中的不便。Vaidyanathan等[3]提出由2個子陣組成嵌套陣列的概念，但由于第一子陣的陣元間距較近容易受互耦效應影響而存在缺陷[4]。Vaidyanathan等[5]又提出了互質(zhì)采樣和互質(zhì)陣(coprime array, CPA)的陣列模型概念。此后提出的改進的互質(zhì)陣結(jié)構(gòu)通過對子陣壓縮平移獲得新的互質(zhì)陣結(jié)構(gòu)(coprime array with compressed inter-element spacing, CIES-CA)[6]，減少了互質(zhì)陣虛擬陣列損失的孔徑影響。

為此，本文站在水聲多目標方位估計的背景上，利用信號分類算法與虛擬陣元法，從多目標方位分辨能力以及多目標方位估計誤差2個方面，分析子陣壓縮的互質(zhì)陣在多目標估計中的算法性能。并通過實驗數(shù)據(jù)處理驗證子陣壓縮互質(zhì)陣的有效性和高分辨能力。

1 基于子陣間距壓縮的互質(zhì)陣列

從陣型以及虛擬陣元法角度描述子陣間距壓縮互質(zhì)陣的基本原理，為下文對比常規(guī)均勻直線陣列、原型互質(zhì)陣以及子陣間距壓縮互質(zhì)陣的多目標方位估計能力提供理論基礎。

1.1 互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)

互質(zhì)陣由2個子陣組成，假設子陣1含有M1個陣元，子陣2含有M2個陣元，且M1

圖1 互質(zhì)陣結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of CPA

由于2個子陣共用第1參考陣元，因此互質(zhì)陣總陣元數(shù)為M1+M2-1，陣列孔徑表示為(M2-1)M1d。

1.2 虛擬陣元法

對比相同陣列孔徑的均勻直線陣列，稀疏陣列存在陣元數(shù)少，目標分辨自由度低的缺點，而虛擬陣元法能夠利用稀疏陣列陣元不均勻分布的特點進行孔徑擴展，從而提高信號檢測的自由度和分辨率。因此，在互質(zhì)陣等稀疏陣列的信號處理過程中通常會使用虛擬陣元法[7]提高自由度以適應多目標的探測情況。

以互質(zhì)陣為例，各陣元的位置表示為：

(1)

假設存在K個目標信號源，互質(zhì)陣的陣列流形可以表示為：

A=[a(θ1)a(θ2) …a(θK)]

(2)

(3)

式中θk表示第k個目標的來波方向。

將陣列接收信號表示為：

X(t)=AS(t)+N(t)

(4)

將陣列接收信號的協(xié)方差矩陣表示為：

(5)

以M1=3，M2=4為例，虛擬陣列的陣元位置如圖2所示。

圖2 互質(zhì)陣的虛擬陣元Fig.2 Virtual element of CPA

可以看到虛擬陣列中連續(xù)的陣元數(shù)為7，大于原型互質(zhì)陣列的總陣元數(shù)6，提高了陣列的自由度。虛擬陣元法可以使得稀疏陣列的自由度得到一定的提高，但是由于互質(zhì)陣陣型結(jié)構(gòu)的原因，無法保證獲得虛擬陣元全部連續(xù)，影響了虛擬陣元法陣列孔徑擴展的效果。

1.3 基于子陣間距壓縮的互質(zhì)陣列

子陣間距壓縮的互質(zhì)陣通過使用壓縮因子改變子陣的陣元間距獲得了新的陣型結(jié)構(gòu)。將較大的陣元數(shù)M2表示為2個正整數(shù)p、n2的乘積，令子陣一的陣元間距由單位陣元間距的M2倍壓縮為單位陣元間距的n2倍，且陣元數(shù)不變?nèi)詾镸1。可以看出，此時2陣的陣元間距倍數(shù)仍然保持互質(zhì)關(guān)系，且陣列孔徑仍為(M2-1)M1d不變。p最小為1時陣型與原型互質(zhì)陣相同，p最大為M2時轉(zhuǎn)化為嵌套陣陣型。

以M1=3，M2=4為例，分別令p=2、p=4，子陣間距壓縮的互質(zhì)陣的結(jié)構(gòu)如圖3、圖4所示。

圖3 子陣間距壓縮互質(zhì)陣的虛擬陣元(p=2)Fig.3 Virtual element of CIES-CA (p=2)

圖4 子陣間距壓縮互質(zhì)陣的虛擬陣列(p=4)Fig.4 Virtual element of CIES-CA (p=4)

可以看到p=2時虛擬陣列中連續(xù)的陣元數(shù)為8，p=4時虛擬陣列中連續(xù)的陣元數(shù)為10，均大于原型互質(zhì)陣列的連續(xù)虛擬陣元數(shù)7，提高了陣列的自由度。并且，當p值越大時，虛擬陣列連續(xù)陣元數(shù)越多，自由度越高，當p值最大即等于M2時獲得的虛擬陣元全部連續(xù)，自由度達到最大值。雖然在水聲環(huán)境下互耦影響較小，當p值最大時陣型等同于嵌套陣，具有最好的多目標估計性能，但也具有更大的計算量。所以，在水聲陣列的應用中，為了保證實時性，應當在計算量與多目標估計能力方面做出平衡?；谧雨囬g距壓縮的互質(zhì)陣列在原型互質(zhì)陣與嵌套陣之間做出了平衡，可以通過p值的選擇更好地適應實際需求。

2 水聲陣列多目標方位探測性能分析

2.1 MUSIC空間譜估計

多重信號分類算法(multiple signal classification, MUSIC)[8]空間譜估計是一種利用子空間分解的算法。其基本思路不同于波束形成算法的空間譜估計，突破了傳統(tǒng)波達方向(direction of arrival, DOA)估計中瑞利限的限制，獲得了超分辨的方位估計能力?；舅枷胧菍㈥嚵休敵鰯?shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進行特征值分解，從而得到與信號分量相對應的信號子空間與信號分量相正交的噪聲子空間，然后利用這2個子空間的正交性來估計信號的方向。

假設陣元數(shù)為M，目標信號源數(shù)量為K，則陣列接收信號可以表示為信號與噪聲2部分，對協(xié)方差矩陣進行特征分解可以得到：

(6)

式中：US表示信號子空間；UN表示噪聲子空間。

對特征值向量從大到小排列，前K個較大的特征值對應信號子空間US，其余較小的特征值對應噪聲子空間UN。由于信號子空間與噪聲子空間正交，得到空間譜估計結(jié)果：

(7)

此外，當接收信號為相干源時，需要通過空間平滑算法[9]提高方位分辨能力。

當掃描角度等于期望角度時，分母接近為0，能夠形成較高的譜峰。利用角度掃描搜索可以較準確地估計空間譜的情況，獲得信源的方位信息情況。

模擬多目標情況下的空間譜估計結(jié)果，模擬互質(zhì)陣M1=7、M2=10，單位陣元間距為200 Hz對應半波長，分別取p=2，5，10。假設存在10個目標，在-60°～60°內(nèi)均勻分布，采樣率為10 kHz，采集1 s信號。利用MUSIC算法得到空間譜估計結(jié)果如圖5所示。

圖5 多目標空間譜估計結(jié)果Fig.5 Multi-target spatial spectrum estimation results

可以看到不同間距壓縮參數(shù)下的互質(zhì)陣均能有效地估計多目標方向，并且p值越大自由度越大，多目標估計能力越強。此外，當目標數(shù)目K逐漸增多時，子陣間距壓縮的互質(zhì)陣將按p值由小到大的順序依次喪失對全部多目標實現(xiàn)方位估計的能力。

2.2 多目標估計能力

為了分析子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標方位分辨能力，模擬互質(zhì)陣M1=7、M2=10，分別取p=2，5，10，同時模擬原型互質(zhì)陣與均勻直線陣。假設存在2個目標，第1個目標位于50°固定不變，第2個目標從50.6°到60°變化，2目標間隔從0.6°到10°變化，經(jīng)過1 000次蒙特卡洛試驗，統(tǒng)計得到不同方位間隔下各陣型的多目標方位分辨概率結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同陣型下的多目標方位分辨概率與信號源方位間隔的關(guān)系Fig.6 Relationship between azimuth resolution probability of multiple targets and azimuth interval of signal source under different formations

如圖6可以發(fā)現(xiàn)，原型互質(zhì)陣的多目標方位分辨能力要強于均勻直線陣。此外，相比于原型互質(zhì)陣，子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標方位分辨能力更高，且壓縮倍數(shù)越大多目標方位分辨能力越高。

2.3 方位估計誤差

分析不同陣列結(jié)構(gòu)下的方位估計誤差，模擬互質(zhì)陣M1=7、M2=10，分別取p=2，5，10，同時模擬原型互質(zhì)陣與均勻直線陣。首先分析單目標情況，假設單目標位于60°方向，信噪比從-5 dB到10 dB變化，經(jīng)過1 000次蒙特卡洛試驗，統(tǒng)計得到不同信噪比下各陣型的單目標方位估計誤差結(jié)果如如圖7所示。

圖7 單目標方位估計誤差與信噪比的關(guān)系Fig.7 Relationship between single-target bearing estimation error and signal-to-noise ratio

如圖7，可以看到單目標條件下，子陣壓縮的互質(zhì)陣方位估計性能始終優(yōu)于原型互質(zhì)陣。在低信噪比的情況下原型互質(zhì)陣性能弱于均勻直線陣，但隨著信噪比的增加，原型互質(zhì)陣性能優(yōu)于均勻直線陣。

分析多目標情況，假設存在5個目標，在-60°～60°內(nèi)均勻分布，其余仿真條件保持不變，蒙特卡洛仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 多目標方位估計誤差與信噪比的關(guān)系Fig.8 Relationship between multi-target bearing estimation error and signal-to-noise ratio

如圖8，可以看到在多目標條件下，子陣壓縮的互質(zhì)陣方位估計性能始終優(yōu)于原型互質(zhì)陣。但隨著信噪比的升高，基于虛擬陣元法的各型互質(zhì)陣性能均呈現(xiàn)變差的趨勢，當信噪比升高到一定程度后性能弱于均勻直線陣。

3 陣列誤差對方位估計性能的影響分析

水聲陣列方位估計的過程中，除了需要面對多目標的問題外，還存在難以避免的陣列誤差問題，會對方位估計以及目標方位分辨的能力產(chǎn)生影響。因此，在分析水聲陣列的多目標方位估計能力時還需要考慮陣型在陣列誤差存在的情況下，陣列對多目標方位估計的性能。本節(jié)主要針對水聲中常見的多陣元通道幅相誤差[10]與陣元位置誤差進行分析。

3.1 通道幅相誤差條件下的多目標方位估計

陣元通道的幅相誤差是一種復增益誤差，通常是由于接收通道內(nèi)放大器的增益不一致造成的，這一幅相誤差直接影響陣列接收信號的導向向量。幅相誤差可以表示為：

Γ=diag{ρ1ejφ1,ρ2ejφ2,…,ρmejφm}

(8)

式中：ρm為第m通道陣元的幅度誤差；φm為第m通道陣元的相位誤差。

假設ρm服從均值為1、均方差為0.1的高斯分布，φm服從均值為0°、均方差為10°的高斯分布，模擬互質(zhì)陣M1=7、M2=10，分別取p=2，5，10，同時模擬原型互質(zhì)陣與均勻直線陣。分析幅相誤差存在情況下的多目標方位分辨概率與信號源方位間隔的關(guān)系。假設存在2個目標，第1個目標位于50°固定不變，第2個目標從50.6°到60°變化，2目標間隔從0.6°到10°變化，經(jīng)過1 000次蒙特卡洛試驗，統(tǒng)計得到不同方位間隔下各陣型的多目標方位分辨概率結(jié)果如圖9所示。

圖9 幅相誤差存在情況下的多目標方位分辨概率與信號源方位間隔的關(guān)系Fig.9 Relationship between the azimuth resolution probability of multiple targets and the azimuth interval of the signal source in the presence of amplitude and phase errors

如圖9可以發(fā)現(xiàn)，原型互質(zhì)陣的多目標方位分辨能力要強于均勻直線陣，此外，相比于原型互質(zhì)

陣，子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標方位分辨能力更高，且壓縮倍數(shù)越大多目標方位分辨能力越高。對比圖6可發(fā)現(xiàn)，幅相誤差存在情況下，原型互質(zhì)陣與均勻直線陣的多目標方位分辨概率明顯下降，而子陣壓縮的互質(zhì)陣則性能保持較好。

具體分析子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標方位分辨概率隨著幅相誤差增大的變化趨勢。假設第1個目標位于50°，第2個目標位于51.3°，假設只存在一種誤差的基礎上，分別逐漸增大幅度和相位誤差的均方差，陣型參數(shù)不變，經(jīng)過蒙特卡洛試驗，統(tǒng)計得到不同誤差下各陣型的多目標方位分辨概率結(jié)果如圖10所示。

如圖10可以發(fā)現(xiàn)，在不同的壓縮倍數(shù)下，子陣壓縮互質(zhì)陣的多目標方位分辨能力均會隨著幅相誤差的增大而減弱，此時高壓縮比的陣型分辨概率明顯更強。

進一步分析幅相誤差對多目標方位估計誤差的影響，假設存在5個目標，在-60°～60°均勻分布，假設只存在一種誤差的基礎上，分別逐漸增大幅度和相位誤差，保持陣型參數(shù)不變，經(jīng)過蒙特卡洛試驗，統(tǒng)計得到不同誤差下各陣型的多目標方位估計誤差結(jié)果如圖11所示。

圖10 多目標方位分辨概率與幅相誤差的關(guān)系Fig.10 Relationship between azimuth resolution probability of multiple targets and amplitude and phase errors

圖11 多目標方位估計誤差與幅相誤差的關(guān)系Fig.11 Relationship between multi-target azimuth estimation error and amplitude-phase error

如圖11可以發(fā)現(xiàn)，在不同的壓縮倍數(shù)下，子陣壓縮互質(zhì)陣的多目標方位估計誤差均會隨著幅相誤差的增大而增大，此時高壓縮比的陣型分辨概率明顯更強。且相比于子陣壓縮互質(zhì)陣，均勻直線陣的估計誤差明顯增大，當幅相誤差大于一定閾值時均勻直線陣的估計誤差大于子陣壓縮互質(zhì)陣。

3.2 陣元位置誤差條件下的多目標方位估計

陣列導向向量是陣列對空間單位功率信源的空間響應，它與陣元的空間位置密切相關(guān)，不同的空間位置對應導向向量中不同的傳播時延從而造成不同的空間響應，所以當陣元位置出現(xiàn)擾動時，可以等效為陣列導向向量中存在方向依賴的相位擾動。

理想陣元位置表示為：

Pos=[(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xM,yM)]

(9)

陣元位置誤差表示為：

ΔPos=[(Δx1,Δy1)，(Δx2,Δy2)，…，(ΔxM,ΔyM)]

(10)

實際陣元位置表示為：

(11)

式中：Δxm、Δym為第m陣元的x、y軸坐標誤差。

假設Δxm、Δym服從均值為0、均方差為0.1 m的高斯分布，模擬互質(zhì)陣M1=7、M2=10，分別取p=2，5，10，同時模擬原型互質(zhì)陣與均勻直線陣。分析幅相誤差存在情況下的多目標方位分辨概率與信號源方位間隔的關(guān)系。假設存在2個目標，第1個目標位于50°固定不變，第2個目標從50.6°到60°變化，兩目標間隔從0.6°到10°變化，經(jīng)過1 000次蒙特卡洛試驗，統(tǒng)計得到不同方位間隔下各陣型的多目標方位分辨概率結(jié)果如圖12所示。

圖12 陣元位置誤差存在情況下的多目標方位分辨概率與信號源方位間隔的關(guān)系Fig.12 Relationship between multi-target azimuth resolution probability and signal source azimuth interval in the presence of array element position error

如圖12可以發(fā)現(xiàn)，原型互質(zhì)陣的多目標方位分辨能力要強于均勻直線陣，此外，相比于原型互質(zhì)陣，子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標方位分辨能力更高，且壓縮倍數(shù)越大多目標方位分辨能力越高。對比圖6可發(fā)現(xiàn)，陣元位置誤差存在情況下，原型互質(zhì)陣與均勻直線陣的多目標方位分辨概率明顯下降，而子陣壓縮的互質(zhì)陣則性能保持較好。

具體分析子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標方位分辨概率隨著陣元位置誤差增大的變化趨勢。假設第1個目標位于50°，第2個目標位于51.3°，逐漸增大位置誤差，陣型參數(shù)不變，經(jīng)過蒙特卡洛試驗，統(tǒng)計得到不同誤差下各陣型的多目標方位分辨概率結(jié)果如圖13所示。

如圖13可以發(fā)現(xiàn)，在不同的壓縮倍數(shù)下，子陣壓縮互質(zhì)陣的多目標方位分辨能力均會隨著陣元位置誤差的增大而減弱，此時高壓縮比的陣型分辨概率明顯更強。

繼續(xù)分析陣元位置誤差對多目標方位估計誤差的影響，假設存在5個目標，在-60°～60°均勻分布，逐漸增大陣元位置誤差，保持陣型參數(shù)不變，經(jīng)過蒙特卡洛試驗，統(tǒng)計得到不同陣元位置誤差下各陣型的多目標方位估計誤差結(jié)果如圖14所示。

圖14 多目標方位估計誤差與陣元位置誤差的關(guān)系Fig.14 Relationship between multi-target azimuth estimation error and array element position error

如圖14可以發(fā)現(xiàn)，在不同的壓縮倍數(shù)下，子陣壓縮互質(zhì)陣的多目標方位估計誤差均會隨著陣元位置誤差的增大而增大，此時高壓縮比的陣型分辨概率明顯更強。且相比于子陣壓縮互質(zhì)陣，均勻直線陣的估計誤差明顯增大，當陣元位置誤差大于一定閾值時均勻直線陣的估計誤差大于子陣壓縮互質(zhì)陣。

4 結(jié)論

1)結(jié)果表明子陣壓縮的互質(zhì)陣能夠有效地估計多目標方向，且壓縮倍數(shù)越大能估計的目標數(shù)目越多。

2)在低信噪比條件下，不同壓縮倍數(shù)下子陣壓縮互質(zhì)陣的性能均高于均勻直線陣與原型互質(zhì)陣，且壓縮倍數(shù)越大多目標方位分辨能力越高、估計誤差越低。

3)隨著陣列誤差的增大，基于子陣壓縮的互質(zhì)陣列受陣列誤差的影響小于均勻直線陣，性能下降更慢，在抗陣列誤差影響方面具有更高的的穩(wěn)健性。