唐斌?付興容

摘 要 計(jì)算思維是基于計(jì)算手段，以數(shù)據(jù)推理為核心的思維習(xí)慣與能力，包含計(jì)算的合理性、準(zhǔn)確性、簡約性、靈活性、創(chuàng)造性等。將計(jì)算教學(xué)恰當(dāng)?shù)刂糜谏顔栴}大情境之中，沿著提出問題-分析問題-解決問題之路，著力探究“用什么”“為什么”“怎么樣”“還可以怎么樣”等系列問題，幫助學(xué)生掌握問題解決策略，提高學(xué)生思維能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞 問題解決 計(jì)算思維 思維能力

“數(shù)學(xué)教育中的計(jì)算思維，是指從計(jì)算角度思考問題，把問題數(shù)量化，化歸或遞歸為可計(jì)算的問題，用數(shù)據(jù)來進(jìn)行推理?！盵1] 因此，計(jì)算思維是一種從計(jì)算的角度，提出問題、分析問題、解決問題的思維習(xí)慣與能力，包含了計(jì)算的合理性、準(zhǔn)確性、簡約性、靈活性、創(chuàng)造性等。計(jì)算是尋求合理計(jì)算途徑解決問題，計(jì)算思維能力是在問題解決過程中得以發(fā)展。

一、問題情境，抽象算式，合理思維

計(jì)算的目的是合理地解決數(shù)學(xué)問題，算式是回答“用什么”解決問題的問題。計(jì)算教學(xué)，需要在具體情境中讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)的運(yùn)算到式的運(yùn)算、從具體數(shù)到數(shù)量關(guān)系的抽象過程[2]。創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知及心理發(fā)展規(guī)律的問題情境，可以激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。單純的計(jì)算教學(xué)常是枯燥無味，如將計(jì)算情境融入學(xué)生真實(shí)生活，學(xué)生就容易在生活中感受事物間的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，將生活情境轉(zhuǎn)化為計(jì)算問題情境，憑借已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，合理分析問題，把數(shù)量關(guān)系抽象建模后用算式表達(dá)。

例如小數(shù)除法“精打細(xì)算”中，學(xué)生根據(jù)情境圖收集數(shù)學(xué)信息：笑笑要去買牛奶，佳佳超市8袋牛奶共18.4元;樂福超市7袋牛奶共14.7元。提出結(jié)構(gòu)性問題：佳佳超市每袋牛奶多少錢？樂福超市每袋牛奶多少錢？笑笑會去哪家超市買牛奶，為什么？……在解決“佳佳超市每袋牛奶多少錢”這一問題時，學(xué)生由于思維方式不合理、不會從生活情境抽象出“18.4里面包含了幾個8”，導(dǎo)致不能正確應(yīng)用單價、數(shù)量、總價之間的關(guān)系列出算式。那么如何算？引出了新的問題。

正確的算式是數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式，是問題解決的前提條件，同時也是培養(yǎng)學(xué)生思維合理性的主要方法之一。借助日常生活情境，能使學(xué)生在情境中思考，在問題解決過程中進(jìn)一步感知和增強(qiáng)對數(shù)的認(rèn)識，促進(jìn)對數(shù)的思考，加深對數(shù)量關(guān)系的理解，同時培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維的合理性。教學(xué)中借助問題教學(xué)調(diào)動學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)與學(xué)生已有的生活體驗(yàn)、知識經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，讓他們帶著探究的眼光解決問題，感受知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于理解和建構(gòu)新知結(jié)構(gòu)，抽象出算式，提高問題解決的能力。日常生活中，買東西是每位學(xué)生常常經(jīng)歷的事情，他們需要“貨比三家”，用最少的錢買同質(zhì)量的物品，這是求牛奶單價之必須，建立總價、數(shù)量、單價間的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的價值，便會自主地激發(fā)問題意識，調(diào)動學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，有效地增強(qiáng)他們自主探究問題的意識，提升問題解決的能力。

二、問題分析，演繹算理，準(zhǔn)確思維

小學(xué)生在解決計(jì)算問題時，需要借助已有生活經(jīng)驗(yàn)和知識經(jīng)驗(yàn)理解算式，嘗試計(jì)算、探究算理，分析“為什么”要這樣算。現(xiàn)代信息加工心理學(xué)認(rèn)為：問題分析屬于問題表征，即審題、了解題意的過程。計(jì)算教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)具操作中分析問題、感悟算理，溝通算理與算法的聯(lián)系。動手操作，學(xué)生不僅要觀察、分折、比較，還要抽象、概括、歸納、總結(jié)，把抽象、復(fù)雜的算理形象化、簡單化，演繹算理模型，提高問題解決的能力，提升思維的準(zhǔn)確性。如“樹上有16只小鳥，又飛來了7只，現(xiàn)在樹上共有多少只小鳥？”列式“16+7”計(jì)算時，學(xué)生以小棒代替小鳥，以擺小棒、撥計(jì)數(shù)器等直觀操作模型，在頭腦中建立起算理與算法的橋梁，能直觀感悟、理解“滿十進(jìn)一”的算理。流暢的思維、有序的操作讓學(xué)生在腦中進(jìn)行形象和抽象的對位，有效幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從形象思維到抽象思維的過渡。這種方法常用于小學(xué)低段計(jì)算教學(xué)，以便于學(xué)生以形象方式理解抽象的算理，將算理與算法結(jié)合。

到了小學(xué)中段計(jì)算教學(xué)時，通過畫格子圖、點(diǎn)子圖、面積圖等數(shù)形結(jié)合的方式理解計(jì)算的原理。這些方式常用于小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算中。例如小數(shù)乘法“買文具”中的問題：3枝鉛筆需要多少錢？列式：3×0.3。有學(xué)生結(jié)合小數(shù)的意義，采用畫圖的方法計(jì)算（如圖1）。

用直觀圖幫助學(xué)生還原最簡單、最直觀的道理，使算理與算法有機(jī)融合，明確算理與算法的對應(yīng)。學(xué)生通過畫圖明白：0.3是3個0.1，3個0.3就是有3×3個0.1，也就是9個0.1，結(jié)果是0.9。在操作活動中，學(xué)生思維清晰，調(diào)動多種感官參與學(xué)習(xí)、自主探究，從多層面、多角度發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題，以提高解決問題的能力。

計(jì)算的準(zhǔn)確率除了與計(jì)算習(xí)慣有關(guān)，還與計(jì)算思維的縝密性相關(guān)。只有準(zhǔn)確而深刻地理解了算理，算法才有嚴(yán)密的邏輯關(guān)系;將算法與算理有機(jī)融合，才能讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上，更深入地理解數(shù)學(xué)核心概念，計(jì)算方法才有可行性，計(jì)算結(jié)果才可能正確。

三、問題解決，歸納算法，簡約思維

算法，是解決“如何算”的問題，是從算理中概括出的計(jì)算方法，是一種抽象的過程，包括了計(jì)算順序、計(jì)算的法則及計(jì)算的定律。一般在問題分析的環(huán)節(jié)，學(xué)生從不同的角度，探索算理，掌握多種計(jì)算方法，更重要的是比較深刻地明白了“為什么”的問題，讓算理融入算法之中，由多種算理中歸納出一種簡潔的算法。

1.從算理中歸納計(jì)算順序

為什么用豎式計(jì)算時，加法、減法、乘法是從低位開始，而豎式除法從高位開始？口算的順序與豎式計(jì)算又有什么不同？四則混合運(yùn)算中，為什么先算括號內(nèi)，再算括號外？為什么先算乘除，后算加減呢？……這一系列問題，都需要從算理入手，結(jié)合具體的生活情境，在問題解決的過程中，明確計(jì)算的順序。

2.從算理中抽象算法

（1）從多種方法中優(yōu)化算法。計(jì)算方法看起來簡潔、用起來簡化、說起來簡單，因此教師需要引導(dǎo)學(xué)生在解決問題后及時歸納、總結(jié)算法，這樣才能有效地提升問題解決的能力，促進(jìn)思維的發(fā)展。例如：小數(shù)除法中，學(xué)生計(jì)算14.7÷7，呈現(xiàn)了以下三種方法：

學(xué)生觀察、對比這三種算法后發(fā)現(xiàn)：除計(jì)算結(jié)果相同外，它們都將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)計(jì)算，再借助小數(shù)的意義，將結(jié)果轉(zhuǎn)化成小數(shù)。歸納的算法如下：小數(shù)除法中除數(shù)是整數(shù)時，先按整數(shù)除法的法則計(jì)算，最后商的小數(shù)點(diǎn)要對齊被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)。三種方法對比、歸納、推理出小數(shù)除法的計(jì)算法則，不僅能提高他們解決問題的效率，還能促進(jìn)思維的發(fā)展。

（2）從過程中概括計(jì)算的法則。計(jì)算分?jǐn)?shù)乘整數(shù)時，將乘法轉(zhuǎn)化為加法，理解算理;在轉(zhuǎn)化的過程中，抽象出算法。如從過程：×3=++=

==中，得到×3=。在此過程中，學(xué)生從中可以發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)乘法其實(shí)就是同分母分?jǐn)?shù)相加的簡便計(jì)算，從而得出分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算法：分母不變，分子乘整數(shù)作積的分子。

在問題情境中理解運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)，建立常見計(jì)算模型。加法（乘法）交換律與結(jié)合律、乘法分配律、商不變性質(zhì)、積不變性質(zhì)等，均需要在解決生活情境問題中建立運(yùn)算模型。如“三套衣服，上衣300元，褲子200元，一共多少元？”在解決此問題中抽象出乘法分配律：（上衣300元+褲子200元）×3套=上衣300元×3+褲子200元×3。

四、問題延伸，拓展算模，靈活思維

解決了“用什么”“為什么”“怎樣做”等三個問題，并不意味著問題解決已經(jīng)結(jié)束，計(jì)算教學(xué)任務(wù)完成，還需要進(jìn)一步拓展問題，思考“還可以怎樣做”“用這些方法還能解決哪些類似問題”“計(jì)算的方法還能解決哪些非計(jì)算類的問題”等，深入分析算理，拓展算法。知識的獲得是學(xué)生思維碰撞的結(jié)果，是學(xué)生智慧的結(jié)晶，因此要讓學(xué)生不再陷入個人教條或自己信念的泥沼中，不要落入非此即彼的陷阱;而應(yīng)將同類問題延伸，不同類問題建立聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突的問題，以激發(fā)思維的靈活性。

1.一題多解，同中求異，多模固本

學(xué)生在解決問題的認(rèn)知沖突中，可以引發(fā)他們思維的矛盾——同中求異。結(jié)果相同，而過程不同，通過思考形成數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)本質(zhì)性思維。在疑問中學(xué)生會追根溯源的想法，能打破那些阻礙自己的習(xí)慣思考，突破思維上不合理的定勢，使思想不再保守，在思維碰撞中不斷獲得新的靈感。

例如用多種簡便方法計(jì)算9.6×2.5。學(xué)生呈現(xiàn)了以下兩種計(jì)算方法：

由于學(xué)生的認(rèn)知及思維水平不同，思考簡算的方法也不一樣。學(xué)生通過觀察、對比發(fā)現(xiàn)，方法二可以使計(jì)算更準(zhǔn)確、更簡便。通過問題的延伸讓學(xué)生的思維產(chǎn)生了認(rèn)知沖突：這兩種方法的異同是什么？為什么第二種方法更簡便？……在追問中，進(jìn)一步思考簡便計(jì)算的根本在運(yùn)用規(guī)律“簡”化算法。

2.此問題到彼問題，異中求同，“?！倍鵁o“?！?/p>

計(jì)算，不是機(jī)械的、簡單的、程式化的練習(xí)，而需要深入思考，由此及彼，不受某種方法、模型、框架的限制，能將不同類的事物建立起聯(lián)系，發(fā)展結(jié)構(gòu)性思維，形成數(shù)學(xué)思想。一是同一算式解決多個問題。根據(jù)算式編寫不同的應(yīng)用題，或以一個算式解決多種問題。如用13-7這個算式，可以解決“多多少”“少多少”“余下多少”“還差多少”等問題。二是同一算法解決多個問題。學(xué)了整數(shù)加減法數(shù)位對齊的法則后，同樣用于乘法、除法等，建立聯(lián)系或轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。三是算法靈活而合理跨界。除法豎式，同樣也可以先從低位除，從“少”的開始分，不夠分時從“多”的借來分;交叉相乘法，同樣可用于異分母加法等。如此就可以培養(yǎng)數(shù)感，發(fā)展類比的思想，從有序計(jì)算，發(fā)展到有序思考，由計(jì)算方法發(fā)展到數(shù)學(xué)思想。

拓展計(jì)算模型有助于提高學(xué)生的計(jì)算能力、問題解決能力，促進(jìn)邏輯思維能力的發(fā)展。正確的計(jì)算方法，是得到正確答案的路徑，計(jì)算中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想才是靈魂，沒有思想的方法僅是呆板的工具，蘊(yùn)含思想的方法才具有強(qiáng)大生命力。

教學(xué)中創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知及身心發(fā)展的活動，讓學(xué)生愛學(xué)、會學(xué)，在掌握計(jì)算方法、明晰算理的同時，還鍛煉了學(xué)生思維、啟迪了學(xué)生智慧。計(jì)算教學(xué)屬于解決數(shù)學(xué)問題的教學(xué)，將計(jì)算教學(xué)恰當(dāng)?shù)刂糜谏顔栴}的大情境之中，沿著提出問題、分析問題、解決問題之路，著力探究“用什么 ”“為什么”“怎樣”“還可以怎樣”等系列問題，幫助學(xué)生掌握問題解決策略，提高學(xué)生思維能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想。

參考文獻(xiàn)

[1] 吳潔瑩，徐章韜.面向未來的核心素養(yǎng)：從運(yùn)算能力到計(jì)算思維[J].湖南教育（A），2017（05）.

[2] 吳正憲，張秋爽，李惠玲.和吳老師一起讀數(shù)學(xué)新課標(biāo)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013.

[責(zé)任編輯：陳國慶]