錢衛(wèi)剛

[摘? 要] PISA測試是由OCED（世界經(jīng)濟合作與發(fā)展組織）開發(fā)與實施的一項輻射全世界的大型國際教育成效評估研究，它主要針對處于義務(wù)教育階段的15周歲學(xué)生，評測他們在閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)這三個領(lǐng)域的素養(yǎng)及能力，以此來反射出各國教育的成果，展現(xiàn)各國教育發(fā)展?fàn)顩r，從而促進各國間相互學(xué)習(xí)、共同進步. PISA從2000年第一次正式實施起就吸引多個國家的參與，在全球引起較大的反響，它的價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出傳統(tǒng)意義上的成就測試.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);PISA測試;問題;技能

我國自2009年起每隔三年便會派遣學(xué)生參加PISA測試，在2009年和2012年均獲得了3個領(lǐng)域的第一名，在2015年成績稍有下滑，但是2018年重回巔峰，再次包攬3個領(lǐng)域的第一名. 這個結(jié)果在世界范圍內(nèi)產(chǎn)生了不小的影響，吸引了多個國家的學(xué)習(xí)與效仿. 筆者是一名初中數(shù)學(xué)教師，長期關(guān)注該測試，為中國孩子在測試中的卓越表現(xiàn)喝彩的同時也從專家們的深度點評中獲得了關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的最新認(rèn)知. 對此，筆者最大的感悟就是教學(xué)要促進學(xué)生的全面發(fā)展. 以數(shù)學(xué)中最具代表性的解決問題來說，其中的思維過程所涉及的數(shù)學(xué)技能就包括了“交流”“數(shù)學(xué)化”“表達”“推理與論證”“運用數(shù)學(xué)語言并運算”“設(shè)計策略”“運用數(shù)學(xué)工具”這七個方面，如何在教學(xué)中落實并發(fā)展這些技能是教師需要反復(fù)思考與斟酌的. 對此，筆者結(jié)合自身的教學(xué)實際，就如何在解決問題中體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本技能及如何培養(yǎng)學(xué)生各方面能力來談一談看法.

展示問題：交流技能

交流技能是學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程中最基本的技能，即學(xué)生能夠閱讀與解碼數(shù)學(xué)問題，從而清晰地解答問題，為交流、解釋和論證數(shù)學(xué)問題做好準(zhǔn)備. 交流技能滲透于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，而非突然體現(xiàn)在某個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中. 如學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)問題時能準(zhǔn)確獲知問題的已知信息，清楚理解所要求解的對象;在運用數(shù)學(xué)方法時能夠清晰地展示或表達解決問題的方法，并總結(jié)和提供所需的內(nèi)容知識及數(shù)學(xué)思想;在解釋和應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)果時能夠構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，論證數(shù)學(xué)方法.

交流技能不僅體現(xiàn)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，而且貫穿于其他學(xué)科學(xué)習(xí)或日常生活中. 在常態(tài)教學(xué)中，交流技能沒有固定的教法，教師也無法通過機械地指導(dǎo)學(xué)生來提高他們在該方面的技能，而應(yīng)該更多地給予學(xué)生交流與表達的機會，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中自然而然地提高交流技能.

看待問題：數(shù)學(xué)化技能

數(shù)學(xué)化技能就是學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問題的技能，也是我們通常所講的“數(shù)感”，從心理學(xué)的角度來看，數(shù)感一部分源于先天，是人和動物與生俱來的一種心理品質(zhì)，另一部分來自后天的學(xué)習(xí)與培養(yǎng). 在初中數(shù)學(xué)解決問題的過程中，數(shù)感的最明顯體現(xiàn)在于數(shù)學(xué)模型的建立過程中.

例1 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中有一個等腰直角三角形ABC，∠B=90°，點A在x軸上，點B在y軸上，已知點A（4，0），B（0，3），求點C的坐標(biāo).

該問題的解決只需過C點作y軸的垂線，垂足為D，根據(jù)“一線三等角”模型可以證出△AOB≌△BDC，從而根據(jù)AO=BD，BO=CD的結(jié)論求出點C的坐標(biāo). 在這個問題中，數(shù)學(xué)化技能得以體現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)隱藏其中的一線三等角模型是關(guān)鍵.

通俗地理解，數(shù)學(xué)化技能就是用數(shù)學(xué)的眼光來看待問題、看待世界的技能，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有意識地強化學(xué)生對數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，這樣可以于無形中促進學(xué)生數(shù)學(xué)化技能的提升.

理解問題：表達技能

表達技能建立在數(shù)學(xué)化技能的基礎(chǔ)上，即能夠在數(shù)學(xué)問題中用不同的方式揭示或表達數(shù)學(xué)結(jié)果的能力. 該能力很大程度上體現(xiàn)于對問題的理解上，這是解決問題過程中極其重要的一步，是問題得以解決的重要保障.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常說的數(shù)學(xué)語言包括三種：文字語言、圖形語言、符號語言. 如表達三角形全等可以采用這三種語言，文字語言為“兩個能夠完全重合的三角形叫做全等三角形”，圖形語言如圖3所示，符號語言為“△ABC≌△A′B′C′”. 淺層次的表達技能是能夠在這三種語言之間進行切換，深層次的表達技能是能夠理解這三種語言之間的內(nèi)在聯(lián)系.

數(shù)學(xué)表達技能不僅對于數(shù)學(xué)問題的解決，而且對于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)定理的理解及幾何圖形的解讀都有著積極的促進作用. 在課堂中，教師大膽放手，給學(xué)生更廣闊的空間及更寬泛的時間，讓學(xué)生有更多深入理解問題及表達想法的機會，促進表達技能的發(fā)展.

分析問題：推理與論證技能

推理與論證是在數(shù)學(xué)教學(xué)中談及較多的一項技能，即學(xué)生在解決問題的過程中運用數(shù)學(xué)知識進行解釋、辨析、概括及證明的過程，它是解決問題的中心環(huán)節(jié)，是學(xué)生理解問題、分析問題所必需的.

例2 甲、乙兩人晨跑鍛煉身體，同時同地出發(fā)，所跑路程y（米）與所用時間t（分）之間的關(guān)系如圖4所示，當(dāng)時間為多少時兩人相距的路程為50 m？

分析過程 解決該問題的關(guān)鍵在于讀懂圖像，由圖像可以獲知的信息有：甲始終勻速前進，8分鐘跑了800米;乙2分鐘之前的速度比甲快，2分鐘后的速度比甲慢，8分鐘共跑了700米;甲、乙在跑步過程中相遇一次. 根據(jù)觀察可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)0<t<2、2<t<5及5<t<8時均會出現(xiàn)兩人相距50米的情況. 由于問題中甲、乙均涉及了路程和時間這兩個變量，且路程隨時間的變化而變化，因此可以用函數(shù)的相關(guān)知識來解釋，甲對應(yīng)的是連續(xù)函數(shù)，乙對應(yīng)的是分段函數(shù)，列出兩個函數(shù)解析式，在對應(yīng)的t取值范圍內(nèi)進行加減即可求解相關(guān)問題.

分析問題的能力就是會靈活利用數(shù)學(xué)知識“解鎖”問題的能力，分析的過程依托了推理與論證技能. 在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視解決問題的過程，強化過程，弱化結(jié)果，讓學(xué)生形成分析問題的能力.

規(guī)劃問題：運用數(shù)學(xué)語言并運算的技能

運用數(shù)學(xué)語言并運算是較為高級的數(shù)學(xué)技能，它對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有著較高的要求，要求學(xué)生能夠基于數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)規(guī)則、數(shù)學(xué)體系來理解和使用數(shù)學(xué)語言及數(shù)學(xué)技能.

例如“3.1 勾股定理”（蘇科版八年級上冊第三章）的教學(xué)中，對勾股定理的證明是教學(xué)重點，也是教學(xué)難點. 在定理“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的探索中，學(xué)生將文字命題轉(zhuǎn)化為“已知：如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，求證：a2+b2=c2”就是運用數(shù)學(xué)語言并運算的技能的落實.

運用數(shù)學(xué)語言并運算的技能是建立在數(shù)學(xué)化技能及表達技能基礎(chǔ)之上的一次發(fā)展，是解決問題中的高級能力. 在教學(xué)中，變式問題的編制、一題多解的引導(dǎo)及發(fā)散思維的激發(fā)，都是提高該能力的有效途徑.

解決問題：設(shè)計策略技能

設(shè)計策略技能就是常說的數(shù)學(xué)方法，它體現(xiàn)于在通向數(shù)學(xué)解答、數(shù)學(xué)論證或數(shù)學(xué)歸納的過程中，學(xué)生選擇或指定計劃及策略的技能，它是解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

接著以上述勾股定理的證明為例，將文字命題轉(zhuǎn)化成由符號語言和圖形語言構(gòu)成的幾何證明題是對問題的規(guī)劃，依托了運用數(shù)學(xué)語言并運算的技能，那么實現(xiàn)該定理的證明便需要踐行設(shè)計策略的技能. 在這個過程中，我們需要選擇合適的方法并設(shè)計出證明的策略，如課本的證法（圖6）、畢達哥拉斯證法（圖7）、總統(tǒng)證法（圖8）等. 設(shè)計策略技能在證明的過程中真正得以最完整的體現(xiàn).

設(shè)計策略的技能不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的技能，更是學(xué)習(xí)其他學(xué)科及我們生活所必備的技能. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)突出方法及策略的作用，重視總結(jié)與歸納，在潛移默化中鍛煉學(xué)生的設(shè)計策略技能.

描繪問題：運用數(shù)學(xué)工具的技能

運用數(shù)學(xué)語言描繪問題建立在表達技能之上，它要求學(xué)生能夠了解并能正確使用各種數(shù)學(xué)工具（包括有形的和無形的），從而對數(shù)學(xué)問題進行合理的描繪.

如常見的有形數(shù)學(xué)工具包括三角板和量角器等簡單學(xué)具或計算器、計算機等，無形的數(shù)學(xué)工具包括自身儲備的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號等. 在現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，好的使用計算機的技能顯得尤為重要，如利用計算機中的“幾何畫板”可以直觀體現(xiàn)紙筆無法實現(xiàn)的圖形，促進學(xué)生對相關(guān)問題的理解;使用Mathematica可以解決各類數(shù)學(xué)運算及數(shù)學(xué)實驗;MathCAD可以完美呈現(xiàn)立體圖形，幫助學(xué)生建立空間感.

各類數(shù)學(xué)工具的運用不僅是教師必備的技能，也應(yīng)該讓學(xué)生有所觸及. 在新時期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，倡導(dǎo)教師將數(shù)學(xué)工具的運用也落實成為學(xué)生學(xué)習(xí)的日常需要，發(fā)展該技能的同時讓學(xué)生擁有最全、最新的資源，從而進行更深、更廣的數(shù)學(xué)探索.

PISA測試是一項轟動全球的大型測試，大部分師生無法親歷，但它并非遙不可及、高不可攀，它的問題不追求“難”，而追求“全”，以樸實常規(guī)的問題反映出學(xué)生的日常. 從某個程度來講，PISA就滲透于常態(tài)教學(xué)的每一個環(huán)節(jié). PISA測試給教師呈現(xiàn)了一次完整的涵蓋知識、能力及素養(yǎng)的測試，也給師生提供了一個共同學(xué)習(xí)及改進的范本，那就是教學(xué)的視角要高、看待問題的眼光要遠(yuǎn)、知識及能力的覆蓋要全，追求更高、更遠(yuǎn)、更全的教學(xué).

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