李蕾

【編者按】HPM，意指研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的領(lǐng)域。隨著發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)理念的逐步深入，越來越多的教師意識到，將對數(shù)學(xué)史的相關(guān)研究融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不但有利于厘清數(shù)學(xué)知識演化脈絡(luò)、協(xié)助學(xué)生完成知識建構(gòu)等傳統(tǒng)教學(xué)中較為棘手的問題，對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的成長亦有十分顯著的幫助。本期話題圍繞HPM與學(xué)生數(shù)學(xué)思維成長展開探討。

教學(xué)史展現(xiàn)了不同方法的成敗得失，教師通過歷史來獲取教學(xué)啟示，在教學(xué)中合理融入數(shù)學(xué)史，能幫助學(xué)生獲取最佳學(xué)習(xí)路徑，拓寬思維，更深刻地理解數(shù)學(xué)，獲得真知灼見，并讓數(shù)學(xué)變得人性化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，數(shù)學(xué)史是有效的教學(xué)工具。分數(shù)除法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點，《九章算術(shù)》及魏晉時期劉徽的《九章算術(shù)注》中就蘊藏了中國古代關(guān)于分數(shù)除法計算的先進思想方法，利用史料，重構(gòu)學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生深度理解“顛倒相乘”法的來歷，實現(xiàn)算理融通，算法融合，促進學(xué)生思維進階，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、解析教材，厘清教材編排的順序

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在五年級下冊安排了分數(shù)除法相關(guān)內(nèi)容，教材編排分兩步，第一步探究分數(shù)除以整數(shù)的情況，溝通乘除法之間的聯(lián)系。第二步探究分數(shù)除以分數(shù)單位的情況，歸納出運算法則。其中，第二步的探究選擇了整數(shù)除以分數(shù)單位的情況，這是分數(shù)除法中比較好理解的一種特殊類型，把從特殊類型中研究得來的計算方法在具有普適性的算理圖中驗證，設(shè)計思路很好，可惜在驗證環(huán)節(jié)除數(shù)仍然選擇了分數(shù)單位這種特殊分數(shù)。整體探究上欠缺了對除數(shù)是一般分數(shù)類型的研究，就把從特例中發(fā)現(xiàn)、驗證得到的計算方法推廣為一般分數(shù)除法的運算法則。這個推理過程屬于不完全歸納，從特殊到一般，邏輯上不嚴密，加上探究沒有涵蓋分數(shù)除法的所有類型，沒有體現(xiàn)分數(shù)除法通法通則的推導(dǎo)過程，給學(xué)生的知識構(gòu)建留下思維“縫隙”，也使分數(shù)除法成為教學(xué)難點。

二、回溯歷史，明晰算法產(chǎn)生的順序

在世界數(shù)學(xué)史上，中國是最早形成分數(shù)理論的國家，公元1世紀前后成書的《九章算術(shù)》就記載了分數(shù)通分、約分、大小比較和四則運算的規(guī)定?！胺教铩闭碌?7、18題中出現(xiàn)的“經(jīng)分術(shù)”，記載了帶分數(shù)除法的計算方法，即把帶分數(shù)先化成假分數(shù)，再通分，把被除數(shù)和除數(shù)都化成同分母分數(shù)，只把兩個數(shù)的分子相除即可。這個計算過程運用了轉(zhuǎn)化思想，把較難計算的分數(shù)除法轉(zhuǎn)化成容易計算的整數(shù)除法，算理理解容易，算法過程清晰。事實上，《九章算術(shù)》中介紹的分數(shù)加、減、除三種運算都采用“有分者通之”的方法，即先通分，再計算，思維過程清晰易懂。

劉徽在為《九章算術(shù)》做注解時，在“經(jīng)分術(shù)”的基礎(chǔ)上提出“散分”。他解釋“散分”就是“令兩分母相乘法實也”，用字母表達就是：

可見“散分”就是給被除數(shù)和除數(shù)通分。書中還說到這樣的計算過程：“又以法分母乘實，實分母乘法。此謂法、實俱有分，故令分母各乘全內(nèi)子，又令分母互乘上下?！边@句話的意思用字母表達就是：

這就是分數(shù)除法計算“顛倒相乘”法的來歷。劉徽提出的“顛倒相乘”法優(yōu)化了“經(jīng)分術(shù)”的計算過程，使運算更合理簡潔，此后廣為流傳。

現(xiàn)行大多數(shù)教材都汲取了我國古代算學(xué)思想的精華，編排了分數(shù)計算中最合理簡潔的算法。但部分教材在編排中缺失了“經(jīng)分術(shù)”的介紹，導(dǎo)致“顛倒相乘”法的探究過程思維跨度大，邏輯推理欠嚴密，給學(xué)生深度理解算理、正確掌握算法帶來困難。浙教版教材和臺灣地區(qū)教材中都編排了借助通分計算分數(shù)除法的方法，這就是對“經(jīng)分術(shù)”的傳承。通分法不用借助算理圖就能說清楚分數(shù)除法的算理，還體現(xiàn)了先統(tǒng)一分數(shù)計數(shù)單位再運算的思路，與整數(shù)、小數(shù)四則運算的算理一脈相承。

三、以史為鑒，重構(gòu)教學(xué)設(shè)計的順序

基于HPM理念的分數(shù)除法教學(xué)重構(gòu)力圖緊密結(jié)合教材編排序，科學(xué)嵌入數(shù)學(xué)知識發(fā)展序，精準把握學(xué)生認知序，實現(xiàn)“三序合一”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分數(shù)除法計算方法發(fā)生、發(fā)展的關(guān)鍵步驟，感受知識演變的思維歷程，跨越思維障礙，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的方法思考、用數(shù)學(xué)的語言表達，借助知識學(xué)習(xí)，促進思維發(fā)展，落實數(shù)學(xué)學(xué)科育人的總目標。教學(xué)重構(gòu)主要環(huán)節(jié)設(shè)計如下：

（一）復(fù)習(xí)回顧，激活經(jīng)驗，設(shè)疑啟思，從整體入手思考

由分數(shù)加、減、乘法復(fù)習(xí)導(dǎo)入，體會先通分后計算的步驟，經(jīng)歷約分、通分的過程，喚醒舊知。再拋出問題：分數(shù)除法怎樣計算？啟發(fā)學(xué)生從分數(shù)四則運算的整體入手思考，帶著已有經(jīng)驗走進新知識的學(xué)習(xí)。

（二）動手操作，探究新知，歸納數(shù)學(xué)思考，學(xué)會數(shù)學(xué)表達

創(chuàng)設(shè)故事情境，引出問題一“42”，采用“做中

學(xué)”的教學(xué)理念，讓學(xué)生利用直觀學(xué)具操作，在“分一分”和“算一算”中探究出分數(shù)除以整數(shù)的第一種情況（分子能除盡）的計算方法。再引出問題二號，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)直觀操作，探究分數(shù)除以整數(shù)的第二種情況（分子除不盡）的計算方法。探究中教師要注重引導(dǎo)學(xué)生理解計算的意義，借助操作進行思考，以算理圖直觀呈現(xiàn)思考過程，并學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)語言初步總結(jié)出計算方法：除以一個整數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。隨后追問：所有分數(shù)除法算式都能這樣算嗎？把學(xué)生的思考引向深處，啟發(fā)學(xué)生驗證自己的發(fā)現(xiàn)是否具有普適性，并進一步完善數(shù)學(xué)表達為“除以一個不為零的數(shù)，相當于乘這個數(shù)的倒數(shù)”。本環(huán)節(jié)設(shè)計重在讓學(xué)生在具有現(xiàn)實意義的情境中思考，在動手操作中體會算理，在自主探索與合作交流中發(fā)現(xiàn)算法，在利用直觀算理圖和數(shù)學(xué)語言表達中深化思維，積累探究與發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展探究和思考的能力。

（三）對話歷史，深度思考，明晰算法淵源，感受數(shù)學(xué)思想

繼續(xù)引出問題三“號÷二”，讓學(xué)生利用學(xué)具動手操作，探究同分母分數(shù)相除的計算方法，概括出：同分母分數(shù)相除，可以直接把分子相除，也可以乘除數(shù)的倒數(shù)。最后引出問題四“號：？”，先啟發(fā)學(xué)生現(xiàn)，這是異分母分數(shù)相除的類型。再放手獨立探究，組織全班交流算法，理解不同方法的道理。其間根據(jù)時機呈現(xiàn)中國古代分數(shù)除法“經(jīng)分術(shù)”和“顛倒相乘”法的計算方法?！毒耪滤阈g(shù)》中“經(jīng)分術(shù)”的計算過

劉徽在《九章算術(shù)注》中“顛倒相乘”法的計算過程是：

教師引導(dǎo)學(xué)生將自己的算法和古代數(shù)

學(xué)家的進行比較，通過算式變形進行形式化推理：

就是“顛倒相乘”法的算理，“顛倒相乘”法就是“經(jīng)分術(shù)”的進階，并舉例驗證，把直觀感知歸納得來的經(jīng)驗提升到理性思考水平，在形式化推理中發(fā)現(xiàn)“通分”和“顛倒”之間的關(guān)聯(lián)。這樣的設(shè)計能幫助學(xué)生深入理解“顛倒相乘”法的來歷，并在對比中體驗到“經(jīng)分法”雖然道理好理解，但是在數(shù)字較大時，通分會使數(shù)字變得更大，計算起來比較繁瑣，這就是劉徽改進“經(jīng)分術(shù)”的起因，也是它最終退出歷史舞臺的原因。

個體知識的發(fā)生遵循人類知識的發(fā)生過程。數(shù)學(xué)史上分數(shù)除法先有“經(jīng)分術(shù)”，后來才經(jīng)過優(yōu)化產(chǎn)生了“顛倒相乘”法。本環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計遵循歷史發(fā)生原理，引入“經(jīng)分術(shù)”，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索算法、合作交流多樣算法的過程，在古今算法比較中實現(xiàn)自主優(yōu)化，領(lǐng)悟算法更替中蘊含的數(shù)學(xué)思想，感受“知識之諧”和“方法之美”。在同分母分數(shù)除法的探究中，學(xué)生是通過直觀操作歸納出算法的;在異分母分數(shù)除法的探究中，學(xué)生既運用了“轉(zhuǎn)化”思想，把異分母分數(shù)通分轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)來計算，還采用了歸納法，發(fā)現(xiàn)了“顛倒相乘”的計算方法;在兩種方法的對比中，學(xué)生運用算式變形進行推理，這種方法對所有分數(shù)除法都適合，具有一般性，屬于演繹論證的方法。在這里，學(xué)生的思維路徑不是線性的，而是多角度的。學(xué)生在數(shù)學(xué)思考中綜合運用歸納和演繹論證的方法，既實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展了思維能力，又有利于體會“探究之樂”。以劉徽為代表的中國古代數(shù)學(xué)家對計算方法“合理、簡潔”的追求，會激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，數(shù)學(xué)精神的教育也滲透其中。

（四）放眼世界，發(fā)散思維，感受算法流變，激發(fā)文化自信

教師提問啟思：計算分數(shù)除法你還有什么好辦法？世界上其他國家是怎樣計算分數(shù)除法的呢？然后結(jié)合學(xué)生討論，出示世界地圖，介紹公元12世紀印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《麗羅娃提》中記載的方法：

讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這與我國的“顛倒相乘”法一致，了解古代中國先進文化流傳到印度的歷史推斷。接著介紹公元15世紀阿拉伯數(shù)學(xué)家阿爾·卡西關(guān)于分數(shù)除法的計算方法：

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，該算法的算理與我國《九章算術(shù)》中的“經(jīng)分術(shù)”完全相同。教師通過介紹不同時期的有關(guān)分數(shù)計算的數(shù)學(xué)史料，讓學(xué)生體會分數(shù)除法計算方法在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史中的源流。最后介紹公元13世紀意大利數(shù)學(xué)家斐波那契《計算之書》中記載的幾種分數(shù)除法：0D（同乘法）號

讓學(xué)生感受同一問題的不同思考角度將產(chǎn)生不同的計算方法。

本環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)史料的融入重在讓學(xué)生放眼世界，發(fā)散思維，從人類文明的角度審視不同方法背后蘊含的文化內(nèi)涵，感受到數(shù)學(xué)知識不是寫在教科書中一成不變的教條，而是充滿人情味，有傳承也有發(fā)展，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“文化之魅”，同時進一步了解中國古代數(shù)學(xué)先進的思想方法曾遠播世界并為世界數(shù)學(xué)發(fā)展做出巨大貢獻的真實歷史，落實學(xué)科育人的“德育之效”。

（五）構(gòu)建關(guān)聯(lián)，融通融合，體會運算本質(zhì)，發(fā)展多維思考

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧整數(shù)四則運算，感受運算要在相同計數(shù)單位下才能進行的本質(zhì)。再把學(xué)生的思考引向曾經(jīng)學(xué)過的小數(shù)四則運算以及今天學(xué)習(xí)的分數(shù)四則運算，打通整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)四則運算的壁壘，理解所有運算的本質(zhì)都是“對同一計數(shù)單位的運算”這一道理。這樣的重構(gòu)可以跳出淺表學(xué)習(xí)和機械運用，深化學(xué)生對分數(shù)除法算理的理解，內(nèi)化學(xué)生對算法的掌握，幫助學(xué)生構(gòu)建分數(shù)除法與之前學(xué)習(xí)過的其他運算之間的聯(lián)系，從知識統(tǒng)整的角度構(gòu)建學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，將方法層面的感性認知提升到整體規(guī)律性的理性感悟，把單一知識的學(xué)習(xí)導(dǎo)向“數(shù)的運算”這一大概念的整體構(gòu)建，深化學(xué)生對運算的理解，實現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)四則運算的“算理融通，算法融合”，促進深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生多維度思考問題的能力。

（作者單位：長安大學(xué)附屬小學(xué)）