呂佳琪

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育關(guān)于“直觀想象能力”的內(nèi)涵更多是基于高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)所提出的，但是當(dāng)我們將其回溯到小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》十大核心詞中的“空間觀念”和“幾何直觀”恰恰是“直觀想象能力”在小學(xué)階段的直接映射和基本組成部分。甚至可以說(shuō)，直觀想象能力是前兩者數(shù)學(xué)內(nèi)涵協(xié)同發(fā)展、拓展延伸之后的有機(jī)融合。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)直觀想象能力的培養(yǎng)不可或缺。

一、澆筑感知基石，讓空間想象“看得見”“摸得著”

心理學(xué)的研究表明，小學(xué)生直觀形象思維的發(fā)展程度優(yōu)于抽象邏輯思維。而數(shù)學(xué)知識(shí)本身卻有著邏輯嚴(yán)密、高度抽象的學(xué)科特性，尤其是高度概括的定義、性質(zhì)、概念等，更是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成了一定的阻礙。因此，小學(xué)生的思維認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)學(xué)科特性之間的內(nèi)在矛盾讓小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教育不得不回溯本源，積極尋找并凸顯蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)抽象本質(zhì)背后的現(xiàn)實(shí)直觀，讓學(xué)生能真正觀察、觸碰到數(shù)學(xué)的生活來(lái)源，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，積累感知經(jīng)驗(yàn)，從而更深刻地理解知識(shí)本質(zhì)，靈活地進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用。

如教學(xué)“三角形的認(rèn)識(shí)”的內(nèi)容，教師往往會(huì)通過(guò)呈現(xiàn)紅領(lǐng)巾、交通標(biāo)志、三角尺等實(shí)物或圖片讓學(xué)生進(jìn)行觀察，利用實(shí)物直觀激發(fā)學(xué)生對(duì)三角圖形共同特征的提取和分析，從而初步建立三角形結(jié)構(gòu)特征的模象直觀。在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)這些三角圖形的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行歸納概括，使其能夠結(jié)合模象直觀和語(yǔ)言直觀進(jìn)行空間想象，抽象建構(gòu)出三角形的表象。最后學(xué)生借助學(xué)具，憑借腦海中對(duì)三角形的空間想象制作出各種類型的三角形，以動(dòng)作直觀呈現(xiàn)對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)。

在經(jīng)歷了上述實(shí)物直觀、語(yǔ)言直觀、模象直觀以及動(dòng)作直觀后，三角形的基本結(jié)構(gòu)，即“有三條直的邊、三個(gè)角、三個(gè)頂點(diǎn)”已潛移默化地根植于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知中，而“三條線段依次首尾相連”這一關(guān)鍵要素也在實(shí)踐操作中得到了深刻感悟和理解?？梢?，借助物化模型能讓數(shù)學(xué)表象的建立更顯直觀，同時(shí)也能讓學(xué)生對(duì)圖形的空間想象和抽象理解有據(jù)可依，這較大地促進(jìn)了學(xué)生直觀想象能力的發(fā)展。小學(xué)生在關(guān)于圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的性質(zhì)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)，能否有效經(jīng)歷這些“看得見”“摸得著”的直觀過(guò)程正是培養(yǎng)其直觀想象能力的關(guān)鍵。

二、善用直觀經(jīng)驗(yàn)，讓幾何思維“能溝通”“能推理”

徐利治教授認(rèn)為：直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。筆者基于教學(xué)實(shí)踐中的所見所聞，對(duì)此定義深以為然。

如在學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”時(shí)，許多學(xué)生就能主動(dòng)地以其出色的直觀感知將平行四邊形進(jìn)行割補(bǔ)，分割成一個(gè)三角形和一個(gè)直角梯形或分割成兩個(gè)直角梯形進(jìn)而轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。這種感知能力是基于學(xué)生已有的對(duì)平行四邊形的直觀經(jīng)驗(yàn)之上進(jìn)行的。還有學(xué)生能夠憑借直觀想象，用圖1的方式將其轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，并進(jìn)行平行四邊形面積公式的推導(dǎo)。可見，如果能鼓勵(lì)學(xué)生善用這些難能可貴的直觀經(jīng)驗(yàn)，積極觀察、類比想象，對(duì)其幾何思維的發(fā)展大有裨益。

此外，本單元其他多邊形面積的計(jì)算都是以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，借助對(duì)已學(xué)圖形的直觀理解，通過(guò)轉(zhuǎn)化來(lái)建立新圖形的幾何直觀，推導(dǎo)出圖形面積的計(jì)算公式（圖2）。這個(gè)過(guò)程需要學(xué)生運(yùn)用幾何思維積極聯(lián)想不同圖形的內(nèi)在聯(lián)系，充分進(jìn)行想象和推理，再通過(guò)剪、拼、擺等實(shí)踐操作將新圖形轉(zhuǎn)化成已知圖形，最終實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移。這種以直觀經(jīng)驗(yàn)為依托對(duì)圖形的判斷和分析是直觀想象的思維基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)之上結(jié)合空間想象和推理來(lái)進(jìn)行幾何圖形間的溝通和聯(lián)系，便能將直觀想象思維推向更高層次。

三、搭建數(shù)形橋梁，借幾何直觀“簡(jiǎn)化問(wèn)題”“深化理解”

幾何直觀并不是“圖形與幾何”領(lǐng)域的專屬，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，它所占的地位還要更勝一籌。這是由幾何直觀自身內(nèi)涵所決定的，它要發(fā)揮其“簡(jiǎn)化問(wèn)題”“直觀理解數(shù)學(xué)”的作用就必須要搭建數(shù)形橋梁，讓形使數(shù)更直觀。

如在教學(xué)“整數(shù)乘法運(yùn)算定律”時(shí)，教師往往會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行多組數(shù)據(jù)的計(jì)算，通過(guò)觀察每組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和計(jì)算結(jié)果來(lái)進(jìn)行不完全歸納，進(jìn)而用字母概括運(yùn)算規(guī)律。從某種意義上講，這也是一種直觀理解水平上的概括，但是數(shù)字直觀始終不如圖形直觀那樣直接和形象，如果能借助圖形再度進(jìn)行演繹推理，讓歸納和演繹“殊途同歸”，便能讓學(xué)生從不同方向去深刻領(lǐng)悟運(yùn)算的規(guī)律。如圖3所示，將算式直觀、直觀示意圖、長(zhǎng)方形圖三種表征方式建立聯(lián)系，學(xué)生不僅能在數(shù)學(xué)計(jì)算中發(fā)現(xiàn)并歸納乘法分配律，還能運(yùn)用幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行逆向的演繹推理，從不同方向去理解和驗(yàn)證運(yùn)算定律?？梢?，幾何直觀促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)得以凸顯，使得學(xué)生數(shù)學(xué)思維層次更加豐富，數(shù)學(xué)思想方法更加多元。

四、融會(huì)兩種素養(yǎng)，讓直觀想象“活躍于腦”“根植于心”

在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決上，空間觀念和幾何直觀

兩者的融會(huì)貫通才能使得立體與平面相互印證，直覺與思維相互補(bǔ)充，空間與幾何相互促進(jìn)。如學(xué)習(xí)“觀察物體”時(shí)，從不同方向觀察組合體并進(jìn)行空間想象后，學(xué)生能夠借助幾何直觀畫出三視圖來(lái)加以印證。抑或根據(jù)平面的三視圖，學(xué)生便能夠想象并推理出幾何體的空間形狀。這個(gè)立體與平面雙向生成的過(guò)程需要學(xué)生的幾何直覺和空間思維相互補(bǔ)充才能準(zhǔn)確完成。

作為高中數(shù)學(xué)學(xué)科所提出的核心素養(yǎng)，直觀想象更多的內(nèi)涵指向或許不是為小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而服務(wù)的。甚至有的觀點(diǎn)認(rèn)為在已有幾何直觀和空間觀念兩種核心素養(yǎng)的背景下，直觀想象能力對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)難免不合時(shí)宜或者多此一舉。而筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科能力的發(fā)展是一以貫之、螺旋向上的，高中階段能否實(shí)現(xiàn)直觀想象能力的發(fā)展需要在小學(xué)階段對(duì)這種能力有所感悟。而最佳的培養(yǎng)方式是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中融會(huì)空間想象和幾何直觀兩種素養(yǎng)，使兩者能夠協(xié)同發(fā)展，甚至拓展延伸出更高層次的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，讓直觀想象真正作為一種活躍于腦，根植于心的意識(shí)和能力，用以促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，助力問(wèn)題的解決。

（作者單位：福建省廈門市同安區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)責(zé)任編輯：王振輝）