丁文旭，李 瑩，王 棟，王 濤

(聊城大學 數學科學學院，山東 聊城 252059)

0 引言

對于多線性乃至非線性系統(tǒng)問題計算的數值方法,矩陣表示一直是一個無法繞行的瓶頸問題。對此,程代展研究員提出了矩陣半張量積這一有利工具。相比矩陣普通乘法,矩陣半張量積打破了矩陣維數的限制,并且滿足準交換性。 目前,矩陣半張量積的應用越來越廣泛,函數矩陣微分、非線性多元映射的泰勒展式、向量場和函數等運算都可通過矩陣半張量積來實現[1]。此外,在非線性控制系統(tǒng)的對稱性[2,3]、非正規(guī)反饋線性化[4]、布爾網絡的拓撲結構[5,6]、系統(tǒng)的能控能觀性的判斷[7]、布爾網絡的穩(wěn)定和鎮(zhèn)定設計最優(yōu)問題[8]、圖染色[9]以及博弈論的邏輯動態(tài)過程和策略最優(yōu)化[10]等問題的研究中均體現出矩陣半張量積的合理性、有效特殊型矩陣在許多領域有廣泛的應用,其中形如性和優(yōu)越性。本文將半張量積的應用范圍進一步拓展到復線性矩陣方程的特型解的計算問題中。

的矩陣被稱為Toeplitz矩陣,其在工程中有大量應用。例如,在雷達、聲吶探測等目標定位領域,有賴于利用Toeplitz矩陣將陣列觀測數據的相干函數進行重排,構造一滿秩的Toeplitz矩陣,再利用奇異值分解來提高對相干信源的DOA估計性能[11]; 利用四元數Toeplitz矩陣重構算法解決電磁矢量陣列的相干信源波達方向估計[12],此外,在偏微分方程和卷積型積分方程的求解、pade逼近和控制理論中的最小實現問題中也起著十分重要的作用[13]。

線性矩陣方程可以被用來解決結構設計、振動分析、自動控制等諸多實際問題,關于矩陣方程的理論及算法已有大量的文獻[14-16]。例如對于矩陣方程的Toeplitz解,應用格點濾波理論導出了一種遞推解法[17],利用矩陣的Kronecker積、Vec算子和MP廣義逆給出了AXB+CYD=E的Toeplitz矩陣解和對稱Toeplitz矩陣解的表達式等[18]。本文利用矩陣半張量積研究復矩陣方程AX=B的下上三角形Toeplitz解。

本文內容安排,第1部分給出所需的預備知識,第2部分提出關于復向量、復矩陣的新的實向量表示并研究其運算性質,第3部分,結合復矩陣的實向量表示和矩陣半張量積研究問題1、2的解，第4部分,給出算法及數值例子檢驗方法的有效性,最后,第5部分總結全文。

1 預備知識

定義1[19]設A∈Rm×n,B∈Rp×q,n與p的最小公倍數為t=lcm(n,p),則A與B的半張量積定義為A×B=(A?It/n)(B?It/p)。

當n=p時,A與B的半張量積轉化成A與B的普通乘積。

半張量積具有如下性質。

定理1[20]設x∈Rm,y∈Rn,則x×y=x?y。

定理2[21]設x∈Rm,A為任意實矩陣,則x×A=(Im?A)×x。

MF稱為F的結構矩陣。

2 復矩陣的實向量表示及性質

本節(jié)我們將提出復矩陣的實向量表示的概念。為此,首先定義復數的實向量表示。

定義3 設x=x1+x2i∈C,記vR(x)=(x1,x2)T,稱vR(x)為復數x的實排列式。

利用矩陣半張量積,可將兩復數相乘的實排列式利用兩復數的實排列表示。

相仿地,可以定義復向量的實排列。

定義4設x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)T為復向量,分別稱

為復向量x和y的實排列。

下面利用復向量的實排列定義復矩陣的實向量表示的概念。

定義5設A∈Cm×n,Colj(A)(1≤j≤n),Rowi(A)(1≤i≤m)分別表示A的第j列和第i行,稱

分別為復矩陣A的實列排及實行排。

我們提出并證明復向量和復矩陣的實向量表示的如下性質。

(2)vR(ax)=avR(x),

證明(1),(2)顯然成立。下面僅證性質(3)。利用定理4,可得

vR(xy)=vR(〗x1y1+x2y2+…+xnyn)

=MC×v(x1)×vR(y1)+…+MC×vR(xn)×vR(yn)

=MC×[v(x1)×vR(y1)+…+vR(xn)×vR(yn)]

其中

證明(1)-(3)顯然成立,僅證(4)。記

則有

3 問題1、2的解

定理8設A,B∈Cm×n,AX=B有下三角Toeplitz解當且僅當

(1)

(2)

證明X為復矩陣方程AX=B的下三角Toeplitz解,可以得到

‖AX-B‖=0,

利用MP逆的性質得

類似的可以得到問題2的解,證明過程省略。

定理9設A,B∈Cm×n,AX=B有上三角Toeplitx解當且僅當

(3)

極小范數上三角Toeplitz解XU滿足

(4)

4算法及數值例子

算法1(問題1)設AX=B滿足具有下三角Toeplitz解的條件，本算法用于計算極小范數下三角Toeplitz解。

(2) 輸入G,T,輸出矩陣M;

(3) 根據(2),輸出問題1的極小范數下三角Toeplitz解XL的有效元素實排列結果,可進一步得到XL。

算法2(問題2)設AX=B滿足具有上三角Toeplitz解的條件，本算法用于計算極小范數上三角Toeplitz解。

(3) 根據(4),輸出問題2的極小范數上三角Toeplitz解XU的有效元素實排列結果,可進一步得到XU。

算例1考慮復矩陣方程AX=B的下、上三角形Toeplitz解,不妨令m=n。A在Matlab中利用‘rand’隨機生成:A=rand(n)+rand(n)i。 隨機生成兩個向量,利用‘Toeplitz’及Tril(Triu)生成下上三角形Toeplitz矩陣XL(XU)。計算B=AX,n=5k(k=1:8)。

圖1 下三角形Toeplitz解的誤差

圖2 上三角形Toeplitz解的誤差

由圖中數據可以看出,利用算法1和2所得的不同規(guī)模的矩陣方程的解的誤差的數量級均小于-13,充分說明了該算法的有效性。

5 結論

本文介紹了基于矩陣半張量積求解復線性系統(tǒng)AX=B的三角形Toeplitz解的新方法。利用復矩陣的實向量表示,將復矩陣方程轉化為實矩陣方程,進而給出AX=B的上、下三角形Toeplitz通解的表達式。利用數值例子驗證了這種方法的有效性。該方法還可以應用于其他多種代數結構上線性系統(tǒng)的特型解的計算,為矩陣半張量積在數值分析領域尋找到了新的應用價值。