郭增鑫,胡彥鑫,辛祥鵬

(聊城大學 數(shù)學科學學院,山東 聊城 252059)

0 引言

自然界很多現(xiàn)象如流體力學,電磁學,種群發(fā)展,量子力學等領域都可以用非線性偏微分方程表述。如今非線性偏微分方程已經(jīng)成為構(gòu)成當代數(shù)學和物理溝通的重要橋梁,近幾十年已經(jīng)有很多方法求解非線性偏微分方程,比如Lax方法[1,2],B?cklund 變換法[3,4],Riccati方程法[5],反演散射法[6],Darbox變換法[7,8],雙線性函數(shù)法[9,10],函數(shù)展開法[11],CK直接約化法[12],Painlevé檢驗方法[13,14],經(jīng)典李群方法[15-17]，并得到了大量的結(jié)果。其中李群方法是構(gòu)造精確解非常有效的方法,近年來很多優(yōu)秀的成果都與李群方法相關。如文獻[13]作者對Zakharov-Kuzentsov方程進行對稱約化并求出其精確解,文獻[15]作者求出2+1維廣義淺水波方程的類孤子解與周期解,文獻[18]作者求出一類Poisson方程的最優(yōu)系統(tǒng)和群不變解。

本文研究一類二階非線性麥克斯韋方程

(1)

其中u(x,t)為x,t的函數(shù),c為由真空電介常量ε0和磁常數(shù)μ0所確定的正數(shù)。麥克斯韋方程作為電磁學理論的基礎,其線性形式和非線性形式在物理及工程領域有著廣泛的應用。線性的麥克斯韋理論已被大眾所熟知,對于非線性麥克斯韋理論,目前大部分學者對該方程的數(shù)值解和誤差分析做了一些研究,如文獻[19]中作者提出了非線性麥克斯韋方程在滿足齊次狄利克雷邊界條件和給定初始值情況下,采用后向歐拉方法進行時域離散化的方法,對利普希茨連續(xù) 情形的誤差進行了計算,并在適當?shù)暮瘮?shù)空間得到了誤差估計。數(shù)值仿真表明,誤差估計結(jié)果依賴于非線性特性,而且能快速收斂。文獻[20]中作者用一種新的有限元法得到非線性麥克斯韋方程的數(shù)值解及誤差估計,并提出了一個線性化的Crank-Nicolson全離散格式,并導出了在L2模意義下的誤差估計,并建立了時間和空間離散系統(tǒng),在適當?shù)臈l件下導出了相應的誤差結(jié)果。文獻[21]中作者利用時間和空間上的有限差分對非線性麥克斯韋方程進行離散化,并給出適當?shù)母道锶~基來求出方程的數(shù)值解,文獻[22]中作者使用松弛近似的方法得到非線性麥克斯韋方程的初邊值問題,并證明了Kerr-Debye模型的輸入波條件解的極限是Kerr模型的解。也有部分學者對該方程行波解進行過討論研究,如文獻[23]中作者研究了柱面非線性麥克斯韋方程在具有任意非線性因子與冪律非均勻因子的非色散介質(zhì)中傳播的柱面電磁波的行波解,得到了電場分量正切函數(shù)形式的解,并討論其物理意義。

本文由以下四個部分組成:第一部分利用李群方法得到方程(1)的對稱群,并得到方程(1)的群不變解;第二部分利用一維最優(yōu)化方法得到方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng);第三部分利用最優(yōu)系統(tǒng)將方程(1)轉(zhuǎn)化為常微分方程,并求得方程(1)的精確解;最后一部分利用方程(1)的對稱群和精確解構(gòu)造出方程(1)的一組新解。

1 方程(1)的李對稱

根據(jù)經(jīng)典Lie群方法，首先考慮方程(1)的單參數(shù)Lie變換群具有下面形式

(2)

其中(x*,t*,u*)為(x,t,u)經(jīng)過變換后的新變量，ε為變換下的參數(shù)。為了構(gòu)造Lie變換，要求方程(1)在變換(2)下是不變的，即滿足條件

(3)

把變換(2)在ε=0處展開，可以得到如下形式的無窮小變換，

(4)

其中X,T,U稱為無窮小變量。為了求得上述變換，設方程(1)的向量場表示為

其中U,X,T為x,t,u的未知函數(shù),即U=U(x,t,u),X=X(x,t,u),T=T(x,t,u)。 由于公式(4)僅是變量(x,t,u)的變換，方程(1)中還包含u的一階和二階導數(shù)項，為了求得這些導數(shù)項的變換，需要把向量場延拓到導數(shù)空間上，其二階延拓記作pr(2)V，即

(5)

其中Ux,Ut表示ux,ut在變換下的無窮小量，Uxt,Uxx,Utt表示uxt,uxx,utt變換下的無窮小量。 用(5)作用到方程(1)得到

(6)

其中延拓向量場的無窮小量由如下公式?jīng)Q定[15]

(7)

關于U,X,T的決定方程組,求解得到

(8)

其中c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7為任意常數(shù)。由(8)式我們可以得到方程(1)有7個基本的向量場

(9)

為了構(gòu)造變換群，對(9)中的7個向量分別求解下面初值問題

得到它們對應如下7個單參數(shù)變換群

即若u=f(x,t)為方程(1)的解,則

(10)

仍為方程(1)的解,這樣可以通過方程的解及(10)構(gòu)造方程(1)的無窮多精確解。

2 李代數(shù)及最優(yōu)系統(tǒng)

含有多個自變量的偏微分方程,對于其封閉李代數(shù)上的所有s(s

由第1部分可得方程(1)的李點對稱(9),由李括號的運算定義[Vi,Vj]=ViVj-VjVi,得到李代數(shù)交換子表如表1所示。

表1 李代數(shù)交換子表

表2 李代數(shù)伴隨表

再依次用Adexp(ε2V3),Adexp(ε3V7),Adexp(ε4V5)作用,并取ε2,ε3,ε4為適當?shù)闹?以此將V5,V7,V3消去,可得向量V等價于生成算子k1V1+k2V2+k4V4。

同理,可求出如下情形。

情形2a1≠0,a2≠0,a3≠0。此時用Adexp(ε5V4)作用到V上并取ε5為適當?shù)闹悼梢詫6消去,再用Adexp(ε6V3),Adexp(ε7V6)依次作用并取適當?shù)摩?,ε7可將V5,V4消去,于是可得向量V和生成算子k1V1+k3V3+k7V7等價。

情形3a1≠0,a2=0,a3=0。此時用Adexp(ε8V4)作用到V上并取ε8為適當?shù)闹悼梢詫9消去,再用Adexp(ε9V3),Adexp(ε10V6)依次作用并取適當?shù)摩?,ε10可將V5,V4消去,于是可得向量V和生成算子k1V1+k7V7等價。

情形4a1=0,a2≠0。此時用Adexp(ε11V4)作用到V上并取ε11為適當?shù)闹迪4,再用Adexp(ε12V6),Adexp(ε13V1)依次作用,并取ε12,ε13為適當?shù)闹?可依次消去V6,V3。于是得到向量V和生成算子k2V2+k5V5+k7V7等價。

情形5a1=a2=0,a3≠0。此時用Adexp(ε14V4)作用到V上并取ε14為適當?shù)闹迪7,再用Adexp(ε15V7)依次作用并取適當?shù)摩?6可將V4消去,于是可得向量V和生成算子k3V3+k5V5+k6V6等價。

情形6a1=a2=a3=0,a5≠0。此時用Adexp(ε17V7)作用到V上并取ε17為適當?shù)闹迪6,再用Adexp(ε18V6)依次作用并取適當?shù)摩?8可將V7消去,于是可得向量V和生成算子k4V4+k5V5等價。

情形7a1=a2=a3=a5=0,a6≠0。此時用Adexp(ε19V5)作用到V上并取ε19為適當?shù)闹迪7,可得向量V和生成算子k4V4+k6V6等價。

情形8a1=a2=a3=a5=a6=0。此時向量V和生成算子k4V4+k7V7等價。

綜上所述,方程(1)的李代數(shù)的一維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)為

其中ki(i=1,...,7)均為任意常數(shù),根據(jù)上述最優(yōu)系統(tǒng),我們可以得到方程(1)的對稱約化。

3 方程(1)的對稱約化及精確解

根據(jù)方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng),取情形1-4進行對稱約化,將方程(1)轉(zhuǎn)化為常微分方程,并求出其精確解。

3.1 對于情形1,k1V1+k2V2+k4V4

(11)

3.2 對于情形2,k1V1+k3V3+k7V7

此時方程對稱為σ=k1ctux+(k1x+k3u)ut-k3ct-k7,求其特征方程

同樣為使計算簡便,不妨取k1=0,可得方程(1)的群不變解為

(12)

3.3 對于情形3,k1V1+k7V7

(13)

2(f′)3θ-cf″θ-cf′=0,

(14)

求解得到方程(14)的解為

(15)

將得到的解(15)代入群不變解(13)可得方程(1)的精確解為

(16)

3.4 對于情形4,k2V2+k5V5+k7V7

此時方程對稱為σ=(k2x+k5u)ux+k2tut-k2u+k5x-k7,求其特征方程

此時利用不變量約化的常微分方程相對比較復雜,為使計算簡便,不妨取k2=0,可得方程(1)的群不變解為

(17)

(18)

其中μ=C5k5(C6+θ)。將該解代入群不變解(17)得到方程(1)的精確解為

其中μ1=C5k5(C6+t),C5,C6為任意常數(shù)。

特別的當C5=2c時,方程(1)有雙曲余弦解

綜上所述,由方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng),可以得到以上四種類型的不變量及對應的精確解。

4 方程(1)新的精確解的構(gòu)造

由方程(1)的單參數(shù)變換群可得,若u=f(x,t)是方程(1)的解,那么

(19)

下面對3中的4個精確解進行討論。

也為方程(1)的精確解。

也為方程(1)的精確解。

為便于計算,不妨取k5=k7=1時的特解

也為方程(1)的精確解。

綜上,根據(jù)方程(1)的李對稱群及精確解可得到如下精確解

5 結(jié)論

本文運用經(jīng)典李群方法研究了非線性麥克斯韋方程,得到了方程的Lie對稱。由于對稱中包含任意常數(shù)，因此包含了無窮多對稱，但由于其中許多對稱是等價的，因此找到一組不等價的對稱就可以得到不同的約化方程。本文利用最優(yōu)化方法構(gòu)造了方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng),即找到了一組不等價的對稱，并利用最優(yōu)系統(tǒng)對該方程進行約化，由于最優(yōu)系統(tǒng)中也包含任意常數(shù)，為了方便求出約化后常微分方程的解，我們適當對參數(shù)做了一些約束條件，令其中的一些參數(shù)為特定常數(shù)，進而得到的精確解是在一定的約束條件下的解析解。最后用該方程的群不變解及單參數(shù)變換群構(gòu)造出一些新的精確解。