李雪霞，劉漢澤

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引 言

本文研究一類廣義三階KdV方程

(1)

其中u=u(x,t),ai(i=1,2,3)是任意常數(shù)，方程(1)既可以表示在重力作用下的淺水中的長波運動，同時也是研究量子力學(xué)和非線性光學(xué)的一個重要模型[11-13]。2020年，李奇芳將方程(1)轉(zhuǎn)化為了多個簡單的常系數(shù)高階微分方程，然后通過求解轉(zhuǎn)化后簡單的微分方程進而得到了方程(1)的精確解。本文中，作者將利用動力學(xué)系統(tǒng)方法得到方程(1)的分岔和相位圖，并對在不同區(qū)域下時方程的分岔和相圖進行探討，最后給出了系統(tǒng)孤立波解、周期波解的顯式參數(shù)表示。

1 行波變換與首次積分

在本節(jié)中，通過將方程(1)轉(zhuǎn)換為平面動力系統(tǒng)得到方程的首次積分，然后利用首次積分方法研究了參數(shù)空間中矢量場的所有的分岔和相位圖。

為了求方程(1)的行波解，我們設(shè)

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ct，

(2)

其中c為傳播波速，我們將式(2)代入方程(1)中，得到

(3)

對(3)進行積分得

(4)

且(4)式等價于下列二維系統(tǒng)[14-15]

(5)

則(5)式有首次積分

(6)

其中h是任意常數(shù)。

在下文中，我們將研究行波解的分岔和相位圖，并給出有界行波解的所有可能的精確顯式參數(shù)表示。

2 方程分岔與相位圖

(7)

(8)

2.1 情形1：當(dāng)a2>0 時

2.2 情形2：當(dāng)a2<0時

圖1 當(dāng)a2>0 時的相圖

3 廣義三階KdV方程的精確解

在本節(jié)中，利用平面動力系統(tǒng)(5)和第一積分H(u,y)進行計算，給出在圖1和圖2中給定的參數(shù)條件下方程(1)的顯示行波解。

3.1 當(dāng)a2>0 時

(i) 設(shè)a1>1,c>1,且a3<0時，我們考慮如圖1(a)所示的情況,令H(u,y)=h,則式(6)可以寫為

(9)

圖2 當(dāng)a2<0 時的相圖

利用上述公式(9)可以得到系統(tǒng)(5)的第一個方程即

(10)

求解(10)式可得方程(1)的行波解如下

(11)

(ii) 設(shè)01,且a3>0時,我們考慮如圖1(f)所示的情況,令H(u,y)=h,則式(6)可以寫為

(12)

利用上述公式(12)可以得到系統(tǒng)(5)的第一個方程即

(13)

求解(13)式可得方程(1)的行波解如下

(14)

3.2 當(dāng)a2<0時

(iii) 設(shè)a1=1,c>1,且a3<0時,我們考慮如圖2(m)所示的情況,令H(u,y)=h,則式(6)可以寫為

(15)

利用上述公式(15)可以得到系統(tǒng)(5)的第一個方程即

(16)

求解(16)式可得方程的如下孤立波解

(17)

其中k2是任意常數(shù)，其中u1為圖2(m)中選取的研究軌線與x軸的交點，且滿足u1<0。

(iv) 當(dāng)a1=1,c>1,且a3>0時，我們考慮如圖2(o)所示的情況,令H(u,y)=h，則式(6)可以寫為

(18)

利用上述公式(18)可以得到系統(tǒng)(5)的第一個方程即

(19)

求解(19)式可得方程的如下光滑周期波解

(20)

4 結(jié)語

本文利用動力系統(tǒng)方法研究了一類三階KdV方程在不同區(qū)域下的所有分岔和相位圖，然后給出了該方程的光滑孤立波解、光滑周期波解等4個精確解，并給出了它們的精確表達式，這些精確解是新的，可能有助于解釋一些實際的物理問題。