吳劍國，王錦琦，葉 帆，傅何琪，申屠晨楠

(1.浙江工業(yè)大學 土木工程學院，浙江 杭州 310023；2.中國船舶及海洋工程設計研究院，上海 200011)

隨著船舶結構的大型化，結構疲勞事故頻出，船舶結構低周疲勞問題引起了業(yè)界的廣泛關注。Urm等[1]于2004年對油船的低周疲勞問題進行了研究，考慮多個因素對結構的損傷累積影響，初步給出了計算船體梁低周疲勞的方法。田雨[2]基于損傷力學和塑性力學，分析了低周疲勞損傷并建立了船體梁剩余強度的評估方法。Ming等[3]基于有限元軟件，分析了非線性有限元模型對循環(huán)荷載下船體梁極限彎矩的影響；Yang等[4]基于Smith的船體梁極限強度計算方法，提出了一種循環(huán)荷載下船體梁極限強度的簡化計算方法；汪丹等[5]針對船體梁基本的加筋板構件，提出了循環(huán)荷載作用下加筋板結構的累積遞增塑性應變模型。余明輝等[6]基于兩端固支的梁-柱模型，建立了循環(huán)載荷作用下加筋板單元力學模型。孟志光等[7]通過引入一種等效材料本構模型，提出了能考慮結構層面損傷累積的加筋板單元力學模型。由此可見：現有工作沒有考慮材料層面的損傷，循環(huán)荷載下加筋板的滯回曲線與實際的尚有較大偏差，計算精度還不夠高，還需要深入研究。

筆者改進材料損傷變量模型，再將其引入加筋板的極限強度集中之中，提出一種能夠考慮材料累積損傷的加筋板單元力學模型。采用VB語言編制加筋板在循環(huán)載荷作用下的的滯回曲線的計算程序，給出一個加筋板的算例，并采用非線性有限元方法進行精度驗證。

1 循環(huán)載荷作用下的鋼材本構模型

加筋板在循環(huán)載荷的作用下，不僅可能會發(fā)生屈服，更可能發(fā)生屈曲。一旦發(fā)生了屈曲，將產生較大的損傷，即使卸載后拉伸也不可能恢復屈曲前性能，這一特點導致加筋板在往復載荷作用下，較一般只考慮屈服強度，不發(fā)生屈曲破壞的結構損傷更大。根據這一特點提出了適用于加筋板屈曲的材料損傷變量定義，并將其引入到材料本構模型[8]中，提出了循環(huán)載荷作用下的加筋板的材料本構模型，即平均應力—應變關系。

如圖1所示，按照平均應力—應變關系，可得到鋼材的加載圖。先壓后拉加載，從O點開始壓縮加載，沿著鋼材壓縮骨架曲線，經過OA彈性段、AB強化段、進入BH損傷段，到達卸載點C點時，彈性卸載至D點。再進行拉伸加載，沿著再加載曲線到達E點，E點在拉伸骨架曲線上取，接著彈性卸載至F點。第2圈時，需考慮上一圈加載所產生的的損傷，根據退化準則峰值點由C點折減至G點，剛度E也發(fā)生折減。此時壓縮則沿著再加載曲線到G點，再進入新損傷段GH，到達第2次卸載點I，按折減后的彈性模量卸載至J點，之后的加載同第1圈。

圖1 循環(huán)荷載下鋼材應力—應變關系

1.1 材料骨架曲線

材料骨架曲線分為壓縮和拉伸骨架曲線，對各種鋼材都適用。

1.1.1 壓縮骨架曲線

壓縮循環(huán)骨架曲線分為OA，AB，BH，HP共4 段，具體的表達式為

(1)

式中：σ為應力；ε為應變；E為彈性模量；σy為屈服應力；σcm為損傷臨界應力；σcu為剩余強度；εy為屈服應變；εcm為損傷臨界應變；εcu為退化終點應變；a1和f為二次函數相關系數，取值與材料強度相關。

1.1.2 拉伸骨架曲線

拉伸循環(huán)骨架曲線分為OM和MN2段，具體表達式為

(2)

1.2 再加載曲線

再加載曲線為卸載曲線起始點到終點的曲線，具體表達式為

σ=E(ε-ε0)+σ0-η(E-Ek)(ε-ε0)

(3)

式中：σ，ε含義同式(1)；ε0，σ0分別為曲線起始點的應變和應力；εP，σP分別為峰值點的應變和應力；η為曲線調調整系數；Ek為割線剛度。

1.3 退化準則

1.3.1 損 傷 量

鋼材在反復荷載作用下的材料損傷的程度用損傷變量表示，其具有如下性質：1)損傷變量D應在[0，1]取值，當D=0時，表示材料沒有損傷；當D=1時，表示材料已經完全破壞。2)損傷變量D是一個單調遞增函數，即隨著損傷發(fā)展不斷增大，不會下降。造成損傷的因素有很多，其中眾多學者從能量、變形、變形和能量的綜合3 個方面著手，提出了多種損傷變量模型，比如：Darwin等[9]和Ibarra等[10]的能量損傷模型，沈祖炎等[11]的變形損傷模型，歐進萍等[12]的變形和能量模型。

通過計算初步分析了以上4 種損傷模型，發(fā)現同時考慮變形和能量的歐進萍等[12]模型對于損傷的預測最為準確，但需不斷積分計算滯回耗散能量，計算效率低；Darwin等[9]模型和Ibarra等[10]模型趨預測趨勢也比較準確，也需要不斷地積分計算滯回能；其中沈祖炎等[11]的模型雖只考慮變形的影響，結構形式簡單，但損傷預測結果準確，且容易在損傷計算程序中實現。因此根據沈祖炎模型，為考慮實現加筋板的屈曲損傷，提出了可以計算加筋板累積損傷的模型，其合理性可能還需進一步的驗證，具體公式為

(4)

式中：εi,max為鋼材發(fā)生的最大塑性應變；εy為鋼材屈服應變；εi為鋼材在第i圈發(fā)生的塑性應變；εu取為加筋板單調加載極限屈曲應變εend；λ=0.008 1；N為循環(huán)荷載的半循周數。

1.3.2 退化公式

根據沈祖炎等[11]的材料損傷退化公式，并結合上述材料骨架曲線和材料的退化準則，分強度退化和剛度的退化，退化公式具體為

σi+1,max=(1-ζ1Di)σi,max

(5)

Ei+1=(1-ζ2Di)E

(6)

式中:σi,max，σi+1,max分別為第i次和i+1次的峰值應力；Ei+1為第i+1次彈性模量；E為彈性模量；系數ζ1=0.42，ζ2=0.12；Di為第i次的損傷量，按式(4)計算。

2 循環(huán)荷載下的加筋板單元力學模型

圖2 循環(huán)荷載下加筋板應力—應變關系

2.1 極限強度

加筋板極限強度是計算應力應變的基礎，求得了極限強度才可以進行應力應變計算。從圖像上看，其決定了AB非卸載區(qū)、EF平臺段這上下邊界的取值，如圖2所示。

2.1.1 壓縮極限強度

根據加筋板單元壓縮失效特點，只考慮其中兩種受壓失效模式，采用Hughs[14]推導的加筋板極限強度公式計算。

1) 面板受壓失效模式為

(7)

式中：σF為上述鋼材損傷折減后的屈服強度；σuf為待求的面板受壓的極限強度；M0，δ0分別為側向荷載作用時跨中的彎矩和撓度；yf為面板厚度中心與截面形心軸之間的距離；I，A分別為橫截面的慣性矩和面積；γ，ν均為撓度系數；Δ為初始偏心；Φ為軸力放大因子。

2) 帶板受壓失效模式為

(8)

(9)

式中：σF同式(7)；σue為待求的帶板受壓的極限強度；yp為帶板厚度中心與截面形心軸之間的距離；Ie，Ae分別為橫截面的有效慣性矩和有效面積；Δp為板的剛度下降引起的偏心距；M0，δ0，γ，ν，Φ，A含義同式(7)。

2.1.2 拉伸極限強度

將上述計算的鋼材屈服強度取負號作為拉伸極限強度，其計算式為

(10)

2.2 平均應力—應變關系

2.2.1 受壓方向平均應力—應變關系

加筋板格單元受壓的平均應力—應變關系，采用Rahman等[13]提出的公式，其平均應力—應變關系曲線有4 段：OA段、AB段、BP段和PQ段，也如圖2所示，公式如下：

1)OA段(0<ε≤εult)計算式為

(11)

2)AB段(εult<ε≤εpl)計算式為

(12)

3)BP段(εpl<ε≤εend)計算式為

(13)

(14)

4)PQ段(εend<ε)計算式為

(15)

2.2.2 受壓單元的卸載

規(guī)定壓縮卸載CD段遵循2 個原則：1) 在任何階段開始卸載都為彈性卸載；2) 卸載剛度用上述鋼材折減后的彈性模量。

2.2.3 受拉方向平均應力—應變關系

加筋板的反向加載會出現剛度軟化現象。前半段為指向峰值點的一條曲線，后半段為平臺直線，分為DE和EF共2 段，公式如下：

1)DE段計算式為

(16)

2)EF段計算式為

(17)

2.2.4 受拉單元的卸載

拉伸卸載FG段同2.2.2節(jié)。每一圈加載均按照壓縮加載、壓縮卸載、拉伸加載、拉伸卸載等4 個順序進行加載，且各圈的計算公式均一致。

3 編程與有限元計算

采用Visual Basic 6.0語言對所提方法編程，并采用Abaqus軟件進行對比計算。程序主要分為材料和加筋板2 個計算循環(huán)，計算流程如圖3所示。

圖3 計算流程圖

3.1 加筋板模型參數

選取一個加筋板單元進行計算，其尺寸如表1所示。其中鋼材屈服強度σs=235 MPa，彈性模量E=2.06×105MPa，泊松比ν=0.3。有限元模型用板單元進行建模，鋼材使用彈塑性本構關系，如圖4所示。

表1 加筋板單元尺寸

圖4 ABAQUS有限元模型示意圖

3.2 計算結果比較

3.2.1 等幅循環(huán)加載

采用加載制度：0～2.5εy的加載應變，雙向等幅加載4 次，先壓縮后拉伸。計算結果的極限強度比值和損傷量匯總如表2所示。計算結果的加筋板格單元和材料平均應力—應變曲線如圖5所示。

表2 等幅荷載下加筋板極限強度比和損傷量

圖5 等幅荷載下鋼材和加筋板滯回曲線

3.2.2 遞增循環(huán)加載

采用加載制度：0～1.0εy，0～2.0εy，0～3.0εy，0～4.0εy的加載應變，雙向等幅加載，每級加載1 次，先壓縮后拉伸。計算結果的極限強度比值和損傷量匯總如表3所示。計算結果的加筋板格單元和材料平均應力—應變曲線如圖6所示。

表3 遞增荷載下加筋板極限強度比和損傷量

圖6 遞增荷載下鋼材和加筋板滯回曲線

綜上可知：1) 鋼材滯回曲線中，不考慮損傷的受壓和受拉屈服點基本不會下降，考慮損傷的屈服點在逐步下降；2) 加筋板滯回曲線中，筆者方法和有限元計算出的極限強度均在逐步下降，不計損傷的方法幾乎沒有下降且拉伸極限強度在逐步增強；3) 等幅和遞增兩種循環(huán)荷載的理論計算結果與有限元結果吻合較好；4) 等幅荷載下的前幾級損傷顯著高于遞增荷載下的材料損傷，但遞增荷載下材料損傷量后續(xù)增加較快，這是因為遞增荷載前幾級加載應變較小則其損傷也?。?) 有限元的壓縮峰值點會略高于筆者結果，因其考慮了一定的鋼材強化；6) 加載應變需達到一定的門檻，才會產生損傷。

4 結 論

分析計算了鋼材損傷，在等效材料本構模型基礎上提出考慮損傷的加筋板格單元力學模型，使用Visual Basic 6.0編程計算。結果表明：引入材料損傷之后，加筋板單元的屈服強度和剛度隨著損傷量變大都在不斷地下降，且與未引用材料損傷力學模型結果相比，具有更好的精度。后續(xù)，筆者還將開展加筋板單元在循環(huán)載荷作用下的結構承載力試驗，進一步驗證所提模型的精度。