馬笑遇，袁宗浩，戴凱鑫，蔡袁強，羅 軍，李旭東，孫宏磊

(1.杭州市地鐵置業(yè)有限公司，浙江 杭州 310014；2.浙江工業(yè)大學 土木工程學院，浙江 杭州 310023；3.浙江萬科南都房地產有限公司，浙江 杭州 310014)

目前，地鐵列車引起的環(huán)境振動問題日益嚴重，公眾對此類環(huán)境污染問題的敏感度日益提升。為了預測和評估環(huán)境振動對周邊建筑物及居民的影響，學者們提出了許多分析模型對地鐵列車運行引起的地基振動進行預測。Metrikine等[1]將隧道模擬為一根嵌入在黏彈性半平面內的歐拉梁，提出了一個較為簡單的二維地下梁模型，用于研究歐拉梁上移動荷載引起的地面振動問題；Balendra等[2]提出了一個二維解析分析模型，用于研究平面應變條件下地鐵列車荷載激勵下的隧道-土體動力響應問題；在假設隧道直徑遠遠小于土中波長的基礎上，Krylov[3]將每一個枕木處傳遞的列車軸重作為埋置于三維半空間中點荷載，研究了地下列車運行引起半空間中波動傳遞特性。上述模型對地鐵引起環(huán)境振動問題的模擬過于簡化，有的將其考慮為二維問題，沒有考慮波動在第3 個方向上的傳播；有的未計入襯砌的幾何尺寸，忽略了襯砌隧道的波導效應。后來，在圓柱形彈性理論的基礎上，Forrest等[4-5]提出了一種“管中管”(Pipe-in-pipe, PIP)模型，內層管模擬中空的圓形襯砌隧道，外層管模擬襯砌周邊土體，由于外層管考慮為全空間，該模型無法考慮地表反射作用對動力響應計算結果的影響；Hussein等[6]為了將“管中管”模型拓展至半空間中，提出了隧道位移不受地基表面影響的假設，并據此建立了半空間中圓形襯砌隧道動力響應的近似解析解；高廣運等[7]基于Biot理論建立了2.5維地鐵列車-隧道-飽和地基動力相互作用模型，研究了地鐵荷載引起的飽和地基動力響應；Lu等[8]將圓形襯砌隧道分段處理，將襯砌管片視為彎曲梁，建立了考慮管片接頭剛度弱化的隧道振動預測模型，數值結果表明管片接頭處的剛度差對襯砌內力有較大影響；徐斌等[9]提出了移動荷載下層狀飽和土地基的動力響應解析解，數值結果表明移動荷載作用下含有軟弱夾層的層狀地基比均質地基具有更大的動力響應水平。除了上述研究外，在地下隧道靜和動力特性方面，蒲軍平等[10]對公路隧道沖擊響應問題，采用2D有限元進行了分析研究；王哲等[11]對淺埋暗挖隧道地面沉降槽寬度系數如何取值，開展了一系列數值模擬和試驗研究；王克忠等[12]研究了滲流-應力耦合下，深埋引水隧洞變形的穩(wěn)定性問題。

現有的研究成果尚缺乏移動荷載下成層半空間中圓形襯砌隧道動力響應的解析閉合解，為此，筆者提出一種適用于成層地基中淺埋隧道地基振動預測的解析模型，該方法可解決以往近似解析解[6]只適用于深埋隧道環(huán)境振動預測的問題，為地鐵列車運行引起的地基振動計算提供新的預測手段。首先，將隧道模擬為中空圓柱體，將隧道周圍土體模擬為具有圓柱形孔洞的(成層)半空間，帶有圓柱形孔洞的半空間中總波場由外行的柱面波和下行的平面波構成，圓形襯砌隧道中的總波場由奇異的柱面波和非奇異的柱面波獲得；其次，利用平面波和柱面波矢量波函數間的變換特性解決模型中直角坐標和柱坐標不匹配的問題；最后，通過數值算例研究荷載速度、荷載頻率、土體阻尼比和土體成層性(地下水位變化)等因素對地表動力響應的影響。

1 控制方程與求解

半空間中圓形襯砌隧道模型示意圖(x—y—z，三維)如圖1所示。其中隧道模擬為中空圓柱體，隧道周圍土體模擬為含有圓形孔洞的半空間，襯砌結構為黏彈性介質，周圍土體為黏彈性介質或飽和彈性介質，土骨架材料參數為：密度ρ，Lamé常數λ和μ，襯砌結構材料參數為：密度ρ1，Lamé常數λ1和μ1。隧道內半徑為a，外半徑為b(襯砌厚度為h=b-a)，隧道中心距離地面距離為d。由圖1可知：在隧道仰拱處施加荷載頻率為f0，速度為c的單位豎向移動荷載。

圖1 均質半空間中圓形襯砌隧道模型示意圖

在具有圓柱形孔洞的半空間中，波動的傳播是一個涉及到兩個散射面(地基表面、襯砌-土體界面)間多重散射作用的問題，含有圓形孔洞的半空間中總波場可以用外行的柱面波和下行的平面波之和表示，分別在直角坐標系和柱坐標系中描述平面波和柱面波，并通過施加地表和襯砌-土體界面上的邊界條件獲得含有圓形孔洞地基中的總波場。直角坐標系和柱坐標系間的不匹配問題可以利用不同波函數間轉換性質得到解決。筆者首先給出平面波函數和柱面波函數以及二者之間的轉換特性。

各向同性彈性體用位移表示的控制方程式為

(1)

式中u表示土體位移。

以ex為法向的平面上的應力矢量為

(2)

以er為法向的圓柱面上的應力矢量為

(3)

如圖1所示，該問題是關于x—z平面的對稱性問題，所以ux，uz，ur為關于y的偶函數；uy，uφ為y的奇函數。對于該對稱性問題，平面坐標系下式(1)的完整解可表示為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

關于該對稱性問題，式(1)在柱坐標系中的解可表示為Hankel函數、三角函數和指數函數的乘積，由此可定義外行柱面矢量波函數為

(10)

(11)

(12)

以er為法向的圓柱面上的應力分量為

(13)

(14)

(15)

帶有圓柱形孔洞的半空間中總波場可表示為

(16)

為施加地基表面的邊界條件(x=d)，需將外行的圓柱面波轉換為上行的平面波，波形轉換可通過Hankel函數的積分形式實現，即

(17)

(18)

式中sinαs,p=p/gs,p。

將式(17，18)代入式(10～12)，外行圓柱波將轉換為上行平面波，可表示為

(19)

(20)

將式(19)代入式(16)中右端第二項，總位移場寫為下行和上行平面波之和，可表示為

(21)

地基表面應力邊界可表示為

(22)

通過求解包含3 個等式(x,y,z方向)的式(22)，未知數A1，A2，A3可表示為Bjm的函數，即

(23)

其中地表自由邊界的反射系數Rjj為

如何把村部的資源供給與村民的服務需求聯結起來？筆者認為，關鍵在于管理者要改進村部管理方式，跳出把村部作為“固定資產”管理的慣性思維。不妨“敞開門”服務，從滿足村民需求的角度開展工作，努力讓村民有需求能想著村部、想辦事能進得了村部、事不辦結能依靠住村部。

同樣，為了在隧道-土界面處施加邊界條件，下行平面波應變換為奇異的圓柱波，從平面波到圓柱波的基本轉換為

(24)

(25)

式中：εm為Neumann因子，ε0=1，當m≥1時，εm=2。

把式(24，25)代入式(4～6)，下行的平面波轉換為奇異的圓柱波，可表示為

(26)

將式(26)代入式(16)右邊的第一項，總位移場可以用外行波和奇異的圓柱波表示為

(27)

將式(23)代入式(27)，可消去未知變量Aj，總位移場可由未知變量Bjm在柱面坐標系中描述，即

(28)

其中Qjmj′m′(q)可以用數值積分得到

(29)

如圖1所示，圓柱形襯砌隧道嵌入彈性半空間中，并在隧道仰拱處施加單位移動點載荷，襯砌結構內部位移場可表示為

(30)

在隧道仰拱處(r=a,φ=π)施加單位移動點荷載，并用Dirac delta函數進行描述，荷載速度為c，頻率為f0，函數式為

F=δ(φ-π)δ(z-ct)e-i2πf0ter

(31)

在頻域中，F可以擴展為三角級數和關于q的傅里葉積分為

(32)

(33)

式中：對于每個m可推導出3 個等式(r，φ，z分量)，從而Cjm可以用Djm來表示(j=1, 2, 3)。

根據式(29，30)可得到隧道-土界面處(r=b)的位移連續(xù)條件為

(34)

(35)

式(33～35)為計算未知變量Bjm(q)，Cjm(q)，Djm(q)的3 組方程，任一組方程中對于每一個m均有3 個等式(r，φ和z分量)，可給出了一個與未知數個數完全相同的線性方程組，從而完成求解。由式(23)可知未知常數Aj(q,p)可以由Bjm(q)得到。至此，所有的系數(Aj(q,p)，Bjm(q)，Cjm(q)，Djm(q))都可通過相同數目的線性方程完成求解。最后，把Aj(q,p)，Bjm(q)代入式(23)可獲得隧道周圍土體的位移場，同樣把Cjm(q)，Djm(q))代入式(30)可得到襯砌隧道內的位移場，時域中的數值結果可以通過關于ω的Fourier逆變換得到。

圖2 成層半空間中圓形襯砌隧道模型示意圖

2 數值結果與討論

2.1 模型驗證

為驗證筆者提出解法的正確性，本節(jié)與文獻[6]中的近似解析法計算結果進行對比，選取文獻[6]中的工況5作為對比的參照。文獻[6]中的成層半空間由5 層地基土組成(圖2)，5 層地基土層厚由上至下分別為1，3，1，20 m和∞(下臥半空間)，5 層地基土的彈性參數如表1所示，圓形襯砌隧道埋置在第4 層土中，隧道中心距離地表(埋深)為d=20 m，隧道襯砌為混凝土材料，楊氏模量E1=50 GPa、泊松比ν1=0.3、密度ρ1=2 500 kg/m3、阻尼系數為0.03。

表1 成層地基的土體參數

圖3給出了在襯砌仰拱處作用單位簡諧點荷載(c=0，f=1～80 Hz)，地表觀察點(坐標為x=20 m，y=0，z=0)的豎向位移響應。由圖3可知：當隧道埋深較大時，筆者提出的解法與文獻[6]中給出的近似解析解結果吻合較好，進而驗證了筆者解法的正確性。應指出，文獻[6]提出的近似解析法只適用于隧道埋深大于2倍的隧道直徑的情形，對于淺埋隧道近似解析法與真實解間存在較大誤差，而筆者解法考慮了地表與隧道間的多重散射作用，對深、淺埋隧道均適用。

圖3 筆者計算結果與文獻[6]計算結果對比

2.2 荷載速度的影響

本節(jié)將通過數值算例說明筆者解法用于成層地基波動特性分析的適用性，首先建立如圖1所示的均質半空間模型，研究荷載移動速度對地表振動響應的影響(f0=0)，隧道中心至地表的距離選取為d=5 m，隧道外徑b=3 m、內徑a=2.75 m，襯砌的楊氏模量E1=50 GPa、泊松比ν1=0.3、密度ρ1=2 500 kg/m3、阻尼系數0.03。同時，均質半空間選取為軟土地基參數：橫波波速cs=100 m/s、縱波波速cp=200 m/s、密度ρ=1 500 kg/m3、阻尼系數為0.04。在隧道仰拱處垂直施加一個單位力(1 N)，并以速度c沿隧道延伸方向移動，荷載頻率為f0。為展示計算結果，選擇兩個地表觀察點，A點的坐標為(5 m, 10 m, 0)(隧道左側地表)，B點坐標為(5 m, 0, 0 )(隧道中軸線正上方)。

圖4給出了不同荷載速度c(f0=0)下地表觀察點A在單位移動點荷載作用下的最大位移和最大速度響應，計算了豎向(x)、水平(y)和軸向(z)等3 個方向的響應分量。由圖4可知：當荷載移動速度接近地基土的剪切波速時，豎向和軸向的位移、速度響應達到峰值，體系發(fā)生共振；對于橫向動力響應，當荷載移動速度小于剪切波速時，響應緩慢增加，一旦荷載速度超過剪切波速，荷載動力響應迅速增大。上述現象可解釋為：剪切波速作為孔洞表面的面波波速，當荷載移動速度達到該面波波速時，體系內會激發(fā)衰減較弱的行進波傳播，體系發(fā)生共振，進而動力響應顯著增大。

圖4 地表A點的最大位移和最大速度響應

圖5給出了不同荷載速度下(f0=0)地表位移和速度響應沿空間(橫向)的衰減情況。選取了4 個速度工況，荷載移動速度c分別為30，60，95，110 m/s。當荷載移動速度c=95 m/s時，荷載速度最為接近面波速度(地基剪切波速100 m/s)。由圖5可知：此時地表顯示出了最大的振動響應，且當荷載移動速度在剪切波速附近時(c分別為95，110 m/s)，地基動力響應的空間衰減率顯著降低，速度響應衰減率則更明顯。

圖5 不同荷載速度下地表響應沿空間衰減

2.3 地基成層的影響

如前所述，筆者提出的解法適用于成層地基，可以分別在隧道上方和下方添加解析土層單元，獲得多層成層地基中圓形襯砌隧道解析模型(圖2)。通常成層地基土體為上軟下硬或上硬下軟結構，為研究地基成層特性對地表振動特性的影響，采用如圖6所示的兩層土半空間模型用于分析地基土成層特性。隧道埋深d=5 m，上覆土層厚度d-d1=2 m，下臥半空間和襯砌材料參數同2.2節(jié)，上覆土層剛度參數以下臥半空間剛度參數為基準分別減小50%和放大50%，用以描述上軟下硬(工況1)和上硬下軟(工況3)成層地基，并將兩土層剛度參數一致構成的均質半空間作為參考工況(工況2)。上覆較軟土層具有剪切波速cs2=70.7 m/s和縱波波速cp2=141.4 m/s，上覆較硬土層具有剪切波速cs2=122.5 m/s和縱波波速cp2=245 m/s，上覆土層的密度和阻尼比與下臥半空間相同。

圖6 成層地基中圓形襯砌隧道模型示意圖

3 種工況下地表A點和B點位移響應的比較如圖7所示。其中工況1為上覆較軟土層，工況2為均質土層，工況3為上覆較硬土層。由圖7可知：在低頻范圍內，上述3種工況之間的差別較小，這是因為此時波長較大，振動波并未明顯地感知到地基土的成層特性；隨著荷載頻率的增大，3 種工況間的差異逐漸增大，最大差異幅值可達20 dB；正如預期的那樣，在總體規(guī)律上，上覆軟土層(工況1)由于地基剛度較小，地表振動響應最大，反之，上覆硬土層(工況3)給出了最小的位移響應。通過圖7各子圖的對比還可以發(fā)現，地基上覆土層剛度變化對豎向位移的影響大于對水平位移的影響。

圖7 上覆較軟和較硬土層對A，B點位移的影響

2.4 地下水位的影響

上述2.2和2.3節(jié)中地基土考慮為單相介質，并未計入孔隙流體的存在對地基振動的影響，筆者提出的解法可以通過引入P2波和水力邊界條件，建立飽和成層地基中圓形襯砌隧道模型，進而分析水相參數、地下水位變化等因素對地表波動傳播的影響。地下水位的變化可通過改變上覆干土層厚度實現，下臥半空間為飽和兩相介質，如圖8所示。

圖8 考慮地下水位的成層半空間模型示意圖

為研究地下水位變化對地表振動響應的影響，比較了以下3 種工況，工況I：水位位于地表(均質飽和半空間)；工況II：水位位于地下2 m(上覆干土層厚2 m+飽和下臥半空間)；工況III：不考慮地下水(干土均質半空間)。干土層密度ρe=1 500 kg/m3，阻尼系數0.04，Lamé常數λe=3×107Pa，μe=1.5×107Pa，下臥飽和兩相介質的固體骨架和干土層具有相同的Lamé常數，固體顆粒密度ρs=2 500 kg/m3，孔隙流體密度ρf=1 000 kg/m3，孔隙率n=0.4，土相、流相混合密度ρ=ρs(1-n)+ρfn=1 900 kg/m3，滲透系數K=1×10-6(m3·s)/kg，曲折因子a∞=1，流體可壓縮系數M=6.125×109N/m2，土顆粒壓縮系數α=1。

不同地下水位下(工況I，II，III)地表觀察點A和B的位移響應隨荷載頻率的變化規(guī)律如圖9所示。由圖9可知：在荷載頻率較低時(低于15 Hz)，3 條曲線基本重合，說明地下水位的變化對低頻地基振動影響較??；隨著荷載頻率的增大，可以發(fā)現當地下水位下降(工況I—工況II—工況III)時，地表振動響應呈現增大的趨勢，工況I(水位位于地表)給出的地表響應最小。

圖9 地下水位變化對地表A，B點位移響應的影響

為了進一步刻畫地下水位變化對地表波動傳播的影響，隧道正上方地表20 m×20 m范圍內的豎向位移響應等高線云圖如圖10所示，荷載頻率選取f0=40 Hz。由圖10可知：隨著地下水位下降(工況I—工況II—工況III)，整個地表的豎向位移響應顯著增大，這是由于孔隙流體的飽和作用，降低了土體的可壓縮性，使得地下水位較高時地基剛度較大，因此地下水位下降，地表振動響應增大。另外，3 種工況下地表均呈現出了規(guī)則的橢圓形波振面，這是由于波動在襯砌內的傳播速度比在土體中快，因而隧道延伸方向波長較長，垂直于隧道方向的波長較短，表現出了規(guī)則的橢圓形波振面。

圖10 地下水位變化對地表波動傳播的影響

3 結 論

提出了地下移動荷載作用下成層半空間(彈性、飽和)中圓形襯砌隧道動力響應解析閉合解，該解適用于淺埋隧道的地鐵環(huán)境振動預測，解決了以往近似解析解只適用于深埋隧道振動預測的問題。該解法顯著優(yōu)于現有的近似解析解，為地下交通荷載引起的環(huán)境振動問題提供了一套兼顧計算效率和精度的分析方法。通過數值算例，主要得出以下結論：1) 當地下移動荷載速度接近土體剪切波速時，三維半空間中襯砌隧道體系會發(fā)生共振，地表振動響應顯著增大；2) 地基成層特性在高頻范圍內對地表振動響應具有顯著影響；3) 在低頻范圍內，地下水位變化對地表振動影響較小，隨著荷載頻率的增大，地下水位下降可導致地表振動響應顯著增加，在地鐵振動預測中需要考慮地下水位變化對地基中波動傳播的影響，以獲得準確的振動預測值。