王藝楠，田 銳，王義惠，龍思慧，李 璇

（1.北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044；2.中國(guó)國(guó)家鐵路集團(tuán)有限公司 調(diào)度指揮中心，北京100844；3.北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；4.中鐵第五勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司 線路運(yùn)輸設(shè)計(jì)研究院，北京 102627)

0 引言

高速鐵路由固定設(shè)施、移動(dòng)設(shè)備和運(yùn)營(yíng)控制系統(tǒng)組成。作為一種速度快、正點(diǎn)率高、可靠性強(qiáng)、經(jīng)濟(jì)環(huán)保的現(xiàn)代化出行方式，高速鐵路列車在正常環(huán)境下按圖行車，但在遇到由人員因素、自然環(huán)境因素、固定設(shè)施移動(dòng)設(shè)備因素等帶來(lái)的擾動(dòng)時(shí)，會(huì)造成列車晚點(diǎn)、旅客出行滿意度下降、鐵路通過(guò)能力降低、運(yùn)輸效益下降。高速鐵路列車調(diào)度的目標(biāo)即是使列車運(yùn)行盡快恢復(fù)到正常狀態(tài)，降低性能損失。因此，研究擾動(dòng)下的高速鐵路列車運(yùn)行調(diào)整理論具有重要意義。文中主要研究惡劣天氣下的高速列車運(yùn)行調(diào)整。

在列車計(jì)劃編制與調(diào)整和多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域，孟令云等[1]提出了一種以改變到發(fā)時(shí)刻、改變次序、改變股道、改變路徑為手段的同步優(yōu)化列車時(shí)刻表和列車路徑的精細(xì)化混合整數(shù)規(guī)劃模型；周曉昭等[2]建立了高速鐵路列車運(yùn)行圖智能調(diào)整模型；雷艷紅[3]研究了不同大風(fēng)預(yù)警提前時(shí)間和不同的風(fēng)速預(yù)警值下廣義費(fèi)用最小的高速列車運(yùn)行調(diào)整方案；孫少軍等[4]建立了以晚點(diǎn)時(shí)間和晚點(diǎn)列數(shù)加權(quán)和為目標(biāo)的城市軌道交通列車運(yùn)行調(diào)整模型；章優(yōu)仕等[5]研究了列車運(yùn)行調(diào)整綜合滿意度目標(biāo)體系；陳彥如等[6]研究了復(fù)線列車運(yùn)行調(diào)整的滿意優(yōu)化問(wèn)題；Keivan 等[7]用ε-約束法解決了旅客旅行時(shí)間最小和列車能耗最小的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。金煒東[8]提出了滿意度函數(shù)的數(shù)學(xué)描述和公式描述(線性滿意度)。滿意優(yōu)化方法通過(guò)設(shè)定直接影響目標(biāo)綜合滿意度的滿意度函數(shù)，使得指標(biāo)的變化對(duì)目標(biāo)值的影響更合理，更能準(zhǔn)確地反映綜合滿意度與各單目標(biāo)滿意度的關(guān)系。

傳統(tǒng)的調(diào)度模型目標(biāo)函數(shù)多為單目標(biāo)，如最小化總晚點(diǎn)時(shí)間或其絕對(duì)值、最小化總旅行時(shí)間或其絕對(duì)值等，或是不同目標(biāo)直接加權(quán)，而不是將滿意度加權(quán)。為了更加合理地評(píng)價(jià)列車運(yùn)行，必須建立更為科學(xué)的列車運(yùn)行調(diào)整模型。為提高調(diào)度工作的質(zhì)量和旅客出行滿意度，文中建立基于總晚點(diǎn)時(shí)間最小和晚點(diǎn)列數(shù)最小的列車運(yùn)行調(diào)整混合整數(shù)規(guī)劃模型，在此基礎(chǔ)上提出基于滿意優(yōu)化的線性滿意度加權(quán)、梯形滿意度加權(quán)和傳統(tǒng)多目標(biāo)加權(quán)模型。

1 模型建立

1.1 問(wèn)題描述

當(dāng)由于惡劣天氣需要臨時(shí)限速時(shí)，分散自律調(diào)度集中系統(tǒng)(CTC)擬定臨時(shí)限速命令控制列車限速運(yùn)行。臨時(shí)限速命令主要包含限速里程(起止范圍)、限速值、限速時(shí)段等信息。為了研究臨時(shí)限速下的最優(yōu)列車運(yùn)行調(diào)整計(jì)劃，將路網(wǎng)抽象為微觀行車資源，建立混合整數(shù)規(guī)劃模型描述列車的運(yùn)行狀態(tài)。列車運(yùn)行需要滿足最早發(fā)車時(shí)間、最小運(yùn)行時(shí)間、區(qū)段最小停留時(shí)間、安全時(shí)間間隔等約束條件，受限速影響的列車還要滿足限速約束。將計(jì)劃時(shí)刻表和限速信息作為輸入，通過(guò)調(diào)整列車在各站到發(fā)時(shí)刻、運(yùn)行徑路和次序，就可以得到總晚點(diǎn)時(shí)間和晚點(diǎn)列數(shù)最小的列車運(yùn)行調(diào)整計(jì)劃。

1.2 約束條件

模型約束條件如下。

（1）流量平衡約束。該組約束表示列車在起點(diǎn)、終點(diǎn)和中間點(diǎn)的流量平衡。

式中：l表示列車編號(hào)；L表示列車集合；i，j，k表示節(jié)點(diǎn)編號(hào)；P表示節(jié)點(diǎn)集合；ol/dl表示列車l的始發(fā)/終到節(jié)點(diǎn)；(i，j)、(j，k)表示區(qū)段；表示起始于節(jié)點(diǎn)ol的區(qū)段的集合；Bl表示列車l可能經(jīng)過(guò)的區(qū)段集合；表示終止于節(jié)點(diǎn)dl的區(qū)段的集合；xl(i，j)是0-1 變量，如果列車l經(jīng)過(guò)區(qū)段(i，j),則xl(i，j) = 1，否則xl(i，j) = 0；xl(j，k)同理。

（2）區(qū)段間轉(zhuǎn)換約束。該約束表示2 個(gè)相鄰區(qū)段的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即如果列車相繼經(jīng)過(guò)2 個(gè)連續(xù)區(qū)段，則列車離開(kāi)前一區(qū)段的時(shí)間等于列車到達(dá)后一區(qū)段的時(shí)間。

（3）時(shí)空網(wǎng)絡(luò)映射約束。該組約束表示如果列車經(jīng)過(guò)某區(qū)段，則它在該區(qū)段的到達(dá)、離開(kāi)時(shí)間都大于0，反之等于0。

式中：(i，j)表示列車l實(shí)際離開(kāi)區(qū)段(i，j)的時(shí)間；LB表示列車l和它可能經(jīng)過(guò)的區(qū)段共同構(gòu)成的集合；M表示一個(gè)充分大的數(shù)。

（4）離開(kāi)時(shí)間窗約束。該約束表示列車離開(kāi)起始站的時(shí)間不早于計(jì)劃離開(kāi)時(shí)間，即列車不能早發(fā)，保證按時(shí)刻表到達(dá)的旅客可以趕上列車。

式中：(ol，j)表示列車l可能經(jīng)過(guò)的起始于起點(diǎn)的區(qū)段集合；表示列車l實(shí)際離開(kāi)區(qū)段(ol，j)的時(shí)間；el表示列車l在起點(diǎn)的最早發(fā)車時(shí)間構(gòu)成的集合。

（5）限速約束。臨時(shí)限速下的列車運(yùn)行示意圖如圖1 所示。其中黃色區(qū)域表示限速區(qū)域，位于限速區(qū)域2 個(gè)邊界的運(yùn)行線是不受限速影響的。列車在限速開(kāi)始時(shí)間之前離開(kāi)限速區(qū)域或在限速結(jié)束時(shí)間之后進(jìn)入限速區(qū)域均不會(huì)受到限速的影響。因此，列車受限速影響的條件為列車在限速結(jié)束之前進(jìn)入限速區(qū)域且在限速開(kāi)始之后離開(kāi)限速區(qū)域，用不等式 ⑻ 表示列車受限速影響的時(shí)空條件。引入變量表示列車是否受限速影響，得到限速約束 ⑾—⒂，又將約束 ⒂ 線性化處理轉(zhuǎn)化為約束 ⒃—⒅。

圖1 臨時(shí)限速下的列車運(yùn)行示意圖Fig.1 Train operation diagram under temporary speed limit

式中：tl(i，j)表示列車l在區(qū)段(i，j)上的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間；LWB表示經(jīng)過(guò)限速區(qū)域的列車l與限速區(qū)段(i，j)共同構(gòu)成的集合；s(i，j)表示限速區(qū)段(i，j)上限速的開(kāi)始時(shí)間；e(i，j)表示限速區(qū)段(i，j)上限速的結(jié)束時(shí)間；tl(i，j)表示列車l在區(qū)段(i，j)上的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間；αl(i，j)、βl(i，j)為引入的中間變量，當(dāng)列車在臨時(shí)限速開(kāi)始后離開(kāi)限速區(qū)域時(shí)，αl(i，j) = 1，反之，αl(i，j) = 0；當(dāng)列車在限速結(jié)束前離開(kāi)限速區(qū)域時(shí)，βl(i，j) = 1，反之，βl(i，j) = 0；o代表0.1；ηl(i，j)為限速表征變量，只有當(dāng)αl(i，j)與βl(i，j)均為1 時(shí)，ηl(i，j)才為1，也就是該列車受限速的影響。

（6）運(yùn)行時(shí)間約束。列車在非限速區(qū)段運(yùn)行時(shí)，運(yùn)行時(shí)間大于等于最小停留時(shí)間加計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間。列車在限速區(qū)段運(yùn)行時(shí)，如果受限速的影響，列車在限速區(qū)段的計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間變?yōu)橄匏賲^(qū)段長(zhǎng)度除以限速；如果不受臨時(shí)限速的影響，列車實(shí)際運(yùn)行時(shí)間的取值范圍等同列車在非限速區(qū)段的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間取值范圍。

式中：ltl(i，j)表示列車l 在區(qū)段(i，j)上的最小運(yùn)行時(shí)間；ωlmin(i，j)表示列車l 在區(qū)段(i，j)上的最小停留時(shí)間；st (i，j)表示列車l 在限速區(qū)段(i，j)受到限速影響時(shí)的最小運(yùn)行時(shí)間。

（7）能力約束。在同一區(qū)段上經(jīng)過(guò)的相鄰列車要滿足安全間隔，這一安全間隔是前一列車離開(kāi)區(qū)段與區(qū)段信號(hào)設(shè)備解鎖和區(qū)段信號(hào)設(shè)備鎖閉與列車到達(dá)區(qū)段的間隔時(shí)間總和。該組約束保證在同一時(shí)間同一區(qū)段上只有一列車占用。

式中：δ (l，l"，i，j)和δ (l"，l，i，j)是區(qū)段占用順序變量，如果列車l 比列車l"先到達(dá)區(qū)段(i，j)，則δ (l，l"，i，j) = 1，否則δ (l，l"，i，j) = 0；如果列車l"比列車l 先到達(dá)區(qū)段(i，j)，則δ (l"，l，i，j) = 1，否則δ (l"，l，i，j) = 0；p 表示列車占用某區(qū)段與到達(dá)該區(qū)段的時(shí)間間隔；q 表示列車離開(kāi)某區(qū)段與釋放該區(qū)段的時(shí)間間隔。

（8）晚點(diǎn)約束。如果列車實(shí)際到達(dá)時(shí)間小于或等于計(jì)劃到達(dá)時(shí)間，則列車晚點(diǎn)時(shí)間為0；如果列車實(shí)際到達(dá)時(shí)間大于計(jì)劃到達(dá)時(shí)間，則列車晚點(diǎn)時(shí)間為實(shí)際到達(dá)時(shí)間減計(jì)劃到達(dá)時(shí)間。

式中：Tl表示列車l 的晚點(diǎn)時(shí)間；Nl為晚點(diǎn)變量, 如果列車l 晚點(diǎn)，則Nl= 1，否則Nl= 0；T 為總晚點(diǎn)時(shí)間；N 為晚點(diǎn)列數(shù)；Vl表示列車l 實(shí)際到達(dá)終點(diǎn)dl的時(shí)間；Hl表示列車l 圖定到達(dá)終點(diǎn)dl的時(shí)間。

（9）其他約束。為了更方便地描述列車實(shí)際到達(dá)終點(diǎn)站的時(shí)間，引入此約束。

2 目標(biāo)函數(shù)分析

2.1 線性滿意度加權(quán)

滿意優(yōu)化方法包含了線性加權(quán)法的思想，是一種多目標(biāo)優(yōu)化方法，可以將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題解決。

晚點(diǎn)列數(shù)和列車總晚點(diǎn)時(shí)間是相向變化的，若僅以總晚點(diǎn)時(shí)間作為目標(biāo)函數(shù)，可能會(huì)為了減少晚點(diǎn)時(shí)間而增加晚點(diǎn)列數(shù)，降低正點(diǎn)率。只有將總晚點(diǎn)時(shí)間和晚點(diǎn)列數(shù)2 個(gè)指標(biāo)綜合考慮，才能更好地適應(yīng)和反映實(shí)際中列車調(diào)整計(jì)劃執(zhí)行的滿意情況。滿意優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)由總晚點(diǎn)時(shí)間和晚點(diǎn)列數(shù)2個(gè)指標(biāo)構(gòu)成，每個(gè)指標(biāo)單獨(dú)作為目標(biāo)時(shí)都有對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解和最劣解。

由于每個(gè)指標(biāo)都是線性函數(shù)，因而依照線性插值建立獨(dú)立滿意度，并按照線性加權(quán)法形成綜合滿意度。

公式(29)表示總晚點(diǎn)時(shí)間的獨(dú)立滿意度，列車總晚點(diǎn)時(shí)間越短，滿意度越高。

式中：Tmax，Tmin分別表示總晚點(diǎn)時(shí)間的最劣解和最優(yōu)解；s1表示總晚點(diǎn)時(shí)間滿意度。

公式(30)表示晚點(diǎn)列數(shù)的獨(dú)立滿意度，晚點(diǎn)列數(shù)越少，滿意度越高。

式中：Nmax，Nmin分別表示晚點(diǎn)列數(shù)的最劣解、最優(yōu)解；s2表示晚點(diǎn)列數(shù)滿意度。

公式(31)表示綜合滿意度目標(biāo)函數(shù)。

式中：s 表示列車延誤的綜合滿意度；ω1表示總晚點(diǎn)時(shí)間的權(quán)重；ω2表示晚點(diǎn)列數(shù)的權(quán)重。

2.2 梯形滿意度加權(quán)

以陳方南[9]提到的降半梯形滿意度函數(shù)構(gòu)造綜合滿意度。降半梯形滿意度是常用的滿意度函數(shù)之一，當(dāng)指標(biāo)在一定范圍內(nèi)滿意度為1；當(dāng)指標(biāo)超過(guò)此范圍而在另一范圍之內(nèi)時(shí)，滿意度以線性的方式由1 逐漸降為0；當(dāng)指標(biāo)更大時(shí)，滿意度為0。

公式(32)表示總晚點(diǎn)時(shí)間的獨(dú)立滿意度。

式中：a1表示梯形滿意度中滿意度為1 的最大總晚點(diǎn)時(shí)間；a2表示梯形滿意度中滿意度為0 的最小總晚點(diǎn)時(shí)間；s"1表示總晚點(diǎn)時(shí)間滿意度。

公式(33)表示晚點(diǎn)列數(shù)的獨(dú)立滿意度。

式中：b1表示梯形滿意度中滿意度為1 的最大晚點(diǎn)列數(shù)；b2表示梯形滿意度中滿意度為0 的最小晚點(diǎn)列數(shù)；s"2表示晚點(diǎn)列數(shù)滿意度。

公式(34)表示綜合滿意度。

式中：s"表示列車延誤的綜合滿意度。

2.3 傳統(tǒng)多目標(biāo)加權(quán)

線性加權(quán)法是一種常見(jiàn)的多目標(biāo)優(yōu)化方法。線性加權(quán)同樣存在滿意解的情況。

公式(35)表示總晚點(diǎn)時(shí)間的獨(dú)立滿意度。

3 算例分析

3.1 場(chǎng)景搭建

設(shè)計(jì)單向調(diào)度區(qū)段進(jìn)行仿真試驗(yàn)。該區(qū)段中運(yùn)行列車共10 列。其中，動(dòng)車組列車4 列，高速鐵路列車6 列。

算例使用的路網(wǎng)拓?fù)鋱D如圖2 所示，共有125個(gè)節(jié)點(diǎn)。

原始時(shí)刻表的設(shè)計(jì)滿足以下原則：①安全間隔至少為4 min；②經(jīng)過(guò)某站的車一定在該站的正線通過(guò)，在某站停站的車一定在該站的到發(fā)線通過(guò)；③車站到發(fā)線的數(shù)量滿足在該站同時(shí)停車的列車數(shù)量要求。

設(shè)計(jì)一個(gè)臨時(shí)限速場(chǎng)景，惡劣天氣導(dǎo)致的臨時(shí)限速場(chǎng)景設(shè)計(jì)如表1 所示。

圖2 路網(wǎng)拓?fù)鋱DFig.2 Railway network topology

3.2 計(jì)算結(jié)果

總晚點(diǎn)時(shí)間和晚點(diǎn)列數(shù)的最優(yōu)解和最劣解如表2 所示。

線性滿意度線性加權(quán)和傳統(tǒng)多目標(biāo)加權(quán)計(jì)算結(jié)果如表3所示，通過(guò)改變權(quán)重，得到了一組非劣解。

線性滿意度和傳統(tǒng)多目標(biāo)線性加權(quán)模型總晚點(diǎn)時(shí)間與晚點(diǎn)列數(shù)的帕累托關(guān)系圖如圖3 所示，從圖3 中可以看出，隨著晚點(diǎn)列數(shù)權(quán)重的減少，晚點(diǎn)列數(shù)增加，總晚點(diǎn)時(shí)間減小。滿意優(yōu)化的帕累托前沿優(yōu)于線性加權(quán)的帕累托前沿。權(quán)重為0.5 的不同梯形滿意度線性加權(quán)構(gòu)造方法計(jì)算結(jié)果如表4 所示。綜合表3 和表4，可以看出權(quán)重為0.5 時(shí)梯形滿意度線性加權(quán)方法的計(jì)算時(shí)間優(yōu)于權(quán)重為0.5 時(shí)傳統(tǒng)多目標(biāo)線性加權(quán)方法。

晚點(diǎn)列數(shù)最小、總延誤最大的調(diào)整后運(yùn)行圖如圖4 所示。從圖4 中可以看出，臨時(shí)限速導(dǎo)致G3，G5，G6 共3 列列車晚點(diǎn)，分別晚點(diǎn)3 113 s，2 140 s，1 289 s。臨時(shí)限速直接影響D3，G3，D4，G5，G6 共5 列列車，間接影響D2。在B 站，D3 和G3 的發(fā)車順序交換；在C 站，D4 和G5 的發(fā)車順序交換；在D站，D2和G3的發(fā)車順序交換，D4 和G6 的發(fā)車順序交換。總延誤最小、晚點(diǎn)列數(shù)最大的調(diào)整后運(yùn)行圖如圖5 所示。

表1 惡劣天氣導(dǎo)致的臨時(shí)限速場(chǎng)景設(shè)計(jì)Tab.1 Scenario design of temporary speed limit caused by bad weather

表2 總晚點(diǎn)時(shí)間和晚點(diǎn)列數(shù)的最優(yōu)解和最劣解Tab.2 The optimal solution and the inferior solution of the total late time and the number of late trains

表3 線性滿意度線性加權(quán)和傳統(tǒng)多目標(biāo)加權(quán)計(jì)算結(jié)果Tab.3 Linear satisfaction with linear weighting and traditional multi-objective weighting calculation results

圖3 線性滿意度和傳統(tǒng)多目標(biāo)線性加權(quán)模型總晚點(diǎn)時(shí)間與晚點(diǎn)列數(shù)的帕累托關(guān)系圖Fig.3 The Pareto diagram between the total late time and the number of late trains in linear satisfaction and traditional multi-objective linear weighted models

表4 權(quán)重為0.5 的不同梯形滿意度線性加權(quán)構(gòu)造方法計(jì)算結(jié)果Tab.4 Calculated results of different trapezoidal satisfaction linear weighted construction method with weight of 0.5

從圖5 中可以看出，臨時(shí)限速導(dǎo)致D3，G3，D4，G4，G5，G6 共6 列列車晚點(diǎn)，各晚點(diǎn)350 s，560 s，785 s，387 s，1 138 s，287 s。臨時(shí)限速直接影響D3，G3，D4，G5，G6 共5 列列車，間接影響D2。在B 站，D3 和G3 的發(fā)車順序交換；在C 站，D4 和G6 的發(fā)車順序交換；在D 站，D2 和G3 的發(fā)車順序交換。

綜上，綜合3 種列車運(yùn)行調(diào)整滿意優(yōu)化模型的計(jì)算結(jié)果，采用滿意度線性加權(quán)模型比傳統(tǒng)線性加權(quán)模型具有更好的計(jì)算結(jié)果和更短的計(jì)算時(shí)間，可以滿足臨時(shí)限速下列車運(yùn)行調(diào)整的實(shí)時(shí)性和有效性的要求，與預(yù)期相符。

4 結(jié)束語(yǔ)

面對(duì)復(fù)雜環(huán)境中的列車運(yùn)行調(diào)整問(wèn)題，結(jié)合實(shí)際運(yùn)行情況和列車運(yùn)行調(diào)整中各約束條件特點(diǎn)，從旅客出行服務(wù)品質(zhì)和鐵路系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)效能等2 個(gè)主要角度出發(fā)，選用列車總延誤、晚點(diǎn)列數(shù)2 個(gè)性能指標(biāo)，對(duì)指標(biāo)進(jìn)行滿意度分析，建立列車運(yùn)行調(diào)整方案的綜合延誤滿意度函數(shù)，通過(guò)滿意度函數(shù)及綜合滿意度函數(shù)來(lái)對(duì)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行滿意評(píng)價(jià)，以綜合延誤滿意度最大為目標(biāo)，分別建立了線性滿意度加權(quán)模型、梯形滿意度線性加權(quán)模型和傳統(tǒng)多目標(biāo)加權(quán)列車運(yùn)行調(diào)整模型，通過(guò)一個(gè)仿真實(shí)例場(chǎng)景驗(yàn)證了文中提出的滿意度線性加權(quán)模型在計(jì)算結(jié)果和計(jì)算時(shí)間上的優(yōu)勢(shì)，可以滿足調(diào)度的實(shí)時(shí)性要求。相比于傳統(tǒng)加權(quán)模型，滿意度線性加權(quán)模型以函數(shù)刻畫(huà)滿意度，使?jié)M意度與相應(yīng)指標(biāo)具有更具體的映射關(guān)系，而多目標(biāo)滿意優(yōu)化模型也可以更加適用于評(píng)價(jià)列車運(yùn)行，為列車運(yùn)行實(shí)時(shí)調(diào)整問(wèn)題的求解提供一種新的思路和方法。

圖4 晚點(diǎn)列數(shù)最小、總延誤最大的調(diào)整后運(yùn)行圖Fig.4 The adjusted train diagram with the minimum number of late trains and the maximum total delay

圖5 總延誤最小、晚點(diǎn)列數(shù)最大的調(diào)整后運(yùn)行圖Fig.5 The adjusted train diagram with the maximum number of late trains and the minimum total delay