馬園園

【摘要】在初中階段的數(shù)學教學中，幾何圖形的學習是非常重要的.它可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、推理能力和論證能力.然而，幾何嚴密的邏輯性使不少學生感到很難學.結合學生在學習幾何時遇到的問題，本文探討了如何在變式中進行解題教學，引導學生進行思維的發(fā)散和收斂，通過思維可視化解決幾何書寫的難題.

【關鍵詞】幾何圖形教學;思維多樣;思維可視化

一、問題提出

初一學生在學習“平面圖形的認識”時，接觸到了分類、轉化、類比、歸納等常見的數(shù)學思想方法.在教授章節(jié)復習課時，為了讓學生回顧、思考本章所學的知識及思想方法，我設計了這樣一道例題：

已知下列三幅圖中，AB∥CD，探索∠A、∠C和∠E之間的數(shù)量關系.

我的教學預設是：期望學生在研究圖1時利用“轉化”思想，然后模仿圖1的輔助線作法，在圖2、圖3中“過點E作輔助線MN，使MN ∥AB”，從而解決問題.但在實際課堂教學中，學生的思維觸角延伸到了多個方向，運用多種方法解決了問題，這一過程促使我對幾何教學進行了反思.

二、教學片段回顧

1.多種解法，順勢追問

已知下列三幅圖中，AB∥CD，探索∠A、∠C和∠E之間的數(shù)量關系.

生1：如圖1，過點E作輔助線MN，使得MN ∥AB，進而得到∠A=∠AEM，∠C=∠MEC.∠AEC=∠AEM +∠MEC=∠A+∠C.

師：∠A和∠C可看成什么？它們怎樣和∠AEC產(chǎn)生聯(lián)系？

生1：∠A和∠C可看成∠AEM和∠MEC的內錯角，通過內錯角相等，得到∠A、∠C和∠AEC的關系.

生2：如圖4，連接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4=180°.又∵∠2+∠3+∠E=180°，∴∠1+∠4=∠E.

師：∠A和∠C可看成什么？它們怎樣和∠AEC產(chǎn)生聯(lián)系？

生2：∠A和∠C可分別看成同旁內角的一部分，通過三角形的內角和等于180°，得到∠A、∠C和∠AEC的關系.

生3：如圖5，延長AE交CD于點F.∵AB∥CD，∴∠A=∠AFC，∴∠AEC=∠C +∠AFC=∠C +∠A.

師：比較一下，這幾種解法你更喜歡哪一種？這三種解法有什么聯(lián)系？

生4：這幾種解法都是把要研究的角集中在一起.

師：我們通過平行線的性質將三個目標角集中在同一個頂點或同一個三角形內，化分散為集中，從而解決問題.

2.預設之外，尋找聯(lián)系

已知圖2中，AB∥CD，探索∠A、∠C和∠E之間的數(shù)量關系.

生1：如圖6，∵AB∥CD，∴∠1=∠A.∵∠1=∠C +∠E，∴∠A=∠C +∠E.

師：除了用三角形外角的性質，有沒有其他解答方法？回顧圖1，我們通過構造平行線將∠E轉化為∠A+∠C，你能用這種解法解決圖2的問題嗎？

生2：如圖7，過點E作AB∥MN，得到∠AEM=∠A.易證CD∥MN，得到∠C=∠CEM.∠A=∠AEM=∠AEC +∠CEM=∠AEC +∠C.

師：圖2和圖1的區(qū)別在于點E的位置不同，但是解題思路是相似的，所以我們在平時解決一類問題時要注意尋找問題之間的聯(lián)系和方法的遷移.

3.模型應用，解決問題

已知圖3中，AB∥CD，探索∠A、∠C和∠E之間的數(shù)量關系.

大多數(shù)學生非常順利地解決了圖3的問題.課堂測試顯示，全班41人中約30人采用了“過點E作輔助線”.我詢問學生是否有不同解法.幾名學生受張同學解決圖1思路的啟發(fā)，利用三角形內角和定理或多邊形內角和定理解決了圖3的問題，輔助線作法如下：

我正準備做小結，孫同學非常激動地舉手：“老師，我和他們的方法都不一樣，我能把圖3變成圖1！”我和其他學生在那一瞬間都愣住了.孫同學走向黑板，在圖3上延長BA、DC，并在圖3上畫了一個圓，如圖10所示：

孫同學說：“我圈出來的部分向右翻折就變成了圖1，所以可以直接用圖1的結論∠E=∠1+∠2，又因為∠1=180°-∠BAE，∠2=180°-∠ECD，所以得到∠E=360°-∠BAE-∠ECD.”我和其他同學恍然大悟，無不稱妙！孫同學的數(shù)學素養(yǎng)非常不錯，能運用模型思想.我點評：“孫同學在圖3中分離出了圖1的模型，然后直接運用圖1的結論，這就是模型思想.”

4.總結策略、落實書寫

師：這三道題我們都構造了輔助線來解決問題，你能總結一下有哪些構造輔助線的方法嗎？

生1：作已知直線的平行線和連接線段.

生2：還有延長線段.

師：我們借助思維導圖來梳理一下思路，以第二題為例.

教師板書：

學生根據(jù)圖11寫出解題過程.

師：思維導圖對你寫解題過程有什么幫助？

生3：思路更清晰，思維導圖很直觀.

師：思維導圖非常直觀，讓思維可視化.

三、幾何解題教學中的思考與實踐

1.應多設計變式題組

在設計例題時，若多以題組的方式呈現(xiàn)，或設計幾個有關聯(lián)的幾個小題，或設計條件發(fā)生變化的幾個小題，或設計解題方法類似的幾個小題，則能給學生“整體”的感覺.教學時，教師應引導學生前后聯(lián)系，類比解題方法.

教師應鼓勵學生敢于聯(lián)想，一題多解.在研究圖1時，給出的輔助線使學生思考的路徑變得單一，不利于學生發(fā)散思維.張同學這樣的學生是少見的，他能放著現(xiàn)成的提示不用，堅持不同的解法.在研究圖3時，一些學生的思維已經(jīng)活化，解題方法多樣.

2.應多總結基本模型

在做題中積累經(jīng)驗，總結一類題的解題方法，注重基本模型的提取.孫同學在解決圖3時分離出圖1的模型的做法體現(xiàn)了較高的思維品質，教師在教學中應強化學生應用模型的能力，提升學生的思維品質.

3.應接納思維的差異性和多樣性

在幾何解題教學中，教師應該關注學生怎么想、為什么這樣想、怎樣才能想到.從條件到結論，思考途徑的產(chǎn)生和優(yōu)化是幾何解題教學的價值所在.教師應該在實際學情的基礎上及時調整預設目標，接納學生的不同思維成果，引導學生比較解法和尋找最優(yōu)解法，讓學生的思維經(jīng)歷發(fā)散和收斂的過程.教師的預設絕不能強加給學生，教師也不能替代學生思考.

4.應該借助思維導圖讓思維可視化

解決數(shù)學問題的一般步驟是：整理條件、制訂計劃、執(zhí)行計劃、回顧反饋.教師可引導學生梳理條件，然后考慮從每個條件出發(fā)可以得到什么新結論，條件組合后可以得到什么新結論，這些新結論和目標結論之間有什么關系，怎樣構建與目標的關系等.

從條件出發(fā)，從已知到可知，由未知找需知，不斷在已知和未知之間尋找聯(lián)系.思維導圖體現(xiàn)了思維的發(fā)散和收斂.先打開思維，從一到多;再收斂思維，從多到一.

學生在可視化的思維導圖的幫助下形成書寫邏輯，讓思路更加清晰有序.在長期訓練下，學生的幾何解題思路逐漸清晰，并且學生在發(fā)散和收斂思維的過程中自覺優(yōu)化解題思路.

基于上述反思，課后我設計了這樣的題目：

（1）如圖12，在△ABC中，如果BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，易知∠A與∠BPC的數(shù)量關系是∠BPC=90°+12∠A.

（2）請利用（1）中的結論解決以下問題：

如圖13，在△ABC中，如果BE平分∠ABC，那么CE平分△ABC的外角∠ACD.探索∠A與∠E的數(shù)量關系并說明理由.

【參考文獻】

[1]金盼.變式在數(shù)學教學中的應用[J].初中數(shù)學教與學，2019（14）：15-16.