常洪偉，吳俊杰，魏佳斯，蔡瀟雨，李洪宇

(1.山東科技大學(xué)海洋科學(xué)與工程學(xué)院，山東青島 266590；2.上海市計量測試技術(shù)研究院，上海 201203)

0 引言

目前接觸式測量的主要方式是工作人員使用測量儀器對工件尺寸進行測量，測量精度低且易造成工件表面損傷，非接觸測量可以有效避免這類問題并可實現(xiàn)快速測量。非接觸測量的主要方式有：三點法、機器視覺法、超聲和電渦流法等[1]。三點測量法在圓度及軸系運動誤差的測量中有廣泛應(yīng)用，1966年，Y. Aoki和S. Ozono開創(chuàng)了三點測量法圓度誤差分離技術(shù)[2]，即按照一定的角度在圓周上放置位移傳感器，并假定3支位移傳感器測量軸線相交于一點，圓零件轉(zhuǎn)動1周，3支傳感器采集到3組若干個測量點，即可測得圓零件的圓度誤差和旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的回轉(zhuǎn)誤差，完成測量任務(wù)[3]。

在三點測量法應(yīng)用初期，大多數(shù)按等間隔角度布置傳感器，并基于傅里葉變換的頻域法對圓度誤差和回轉(zhuǎn)誤差進行分離[4-7]，但傳感器安裝存在一定的角度誤差，造成傳感器存在對心誤差，且頻域法構(gòu)造傳遞函數(shù)時存在分母為零頻率成分的丟失。因此，國內(nèi)外學(xué)者主要從優(yōu)化傳感器角度布局和替換傅里葉變換算法兩方面對其進行改進[8-10]。

目前，國標(biāo)中對三點測量法的規(guī)定和現(xiàn)有三點法測量實例中均未對傳感器的角度偏角誤差進行測量，在測量中忽略對安裝偏角的影響，所以傳感器要損失一部分精度來彌補安裝偏角所引起的誤差，造成傳感器測量精度的浪費，且基于傅里葉變換的頻域法對圓度誤差進行分離會丟失一部分頻域特征[11-13]，丟失一部分特征信息。 因此，本文以國標(biāo)為依據(jù)，針對傳統(tǒng)三點法傳感器布放角度和測量模型進行優(yōu)化，設(shè)計了一種求解傳感器安裝偏角誤差的三點法圓外徑測量方法。該方法對傳感器安裝偏角誤差進行擬合并代入到后續(xù)測量模型中，直接通過解析的方式求解半徑，可以有效避免時/頻變換帶來傳遞函數(shù)分母為零部分的頻域特征損失，得到更高精度的測量結(jié)果。通過建立測量模型，對測量的誤差源進行分析，對模型進行仿真以及開展實驗測量驗證該優(yōu)化方法的有效性。

1 測量模型

GB/T 4380—2004《圓度誤差的評定兩點、三點測量法》中對三點測量法進行了規(guī)定，即在2個固定測量支承和1個可在測量方向上移動的測頭之間所進行的測量[14]。圖1(a)為一種頂式對稱三點法測量示意圖，兩固定支撐點關(guān)于可移動測量方向?qū)ΨQ，且支撐點與移動方向間的夾角為銳角。

在圖1(a)的基礎(chǔ)上，將兩支撐點和測量方向均采用位移傳感器，則構(gòu)成本研究的傳感器布局方案，如圖1(b)所示。建立圖示坐標(biāo)系XOY，假若環(huán)形工件的曲率處處相等，3支傳感器均沒有角度安裝誤差，則傳感器的測量軸線相交于坐標(biāo)系原點O，并且理想情況下還可以假定工件的圓心與坐標(biāo)系原點O重合。設(shè)3支傳感器的安裝點為S1、S2、S3，傳感器的零位為T1、T2、T3，工件與測量軸線的交點為A、B、C，并令S1T1=t1、S2T2=t2、S3T3=t3、AT1=m1、BT2=m2、CT3=m3、OS1=s1、OS2=s2、OS3=s3，工件半徑為r0。在沒有安裝誤差的情況下，有si=r0+mi+ti(i為傳感器的標(biāo)號)，此時通過設(shè)定si，用已知半徑的標(biāo)準(zhǔn)工件結(jié)合傳感器的測量值mi，可標(biāo)定實驗臺，得出系統(tǒng)參數(shù)ti，而后用標(biāo)定過的系統(tǒng)參數(shù)ti進行測量，即可方便地計算出待測工件的半徑r。

(a) (b)

然而，在實際情況中，工件肯定會存在圓度誤差，因此工件的外輪廓截面為一個不規(guī)則的多邊形，如圖2所示。在圓度誤差較小的工件中，這種不規(guī)則性可以忽略，本研究在實際使用中，所測工件圓度誤差較小，因此在建立測量模型時認為工件的外輪廓為理想的規(guī)則圓。

圖2 環(huán)形工件輪廓截面

另外，傳感器安裝時必然會產(chǎn)生安裝偏角，且工件圓心也往往與坐標(biāo)系原點不重合，實際操作中可以通過調(diào)整工件位置，使工件圓心P(x0,y0)和坐標(biāo)系原點O盡可能靠近，一般初始狀態(tài)可使圓心和坐標(biāo)系原點的偏離距離小于30 μm，一種可能的測量位置如圖3所示。

圖3中，虛線圓輪廓為理想情況下工件所在位置，實線圓輪廓為一種可能的工件所在位置，實心矩形和空心矩形分別代表傳感器實際安裝位置和理想安裝位置，兩者軸線與定義的傳感器安裝點間的夾角用α1、α2、α3表示。

圖3 一種可能的測量位置

在圖3所示情況下，直角坐標(biāo)系XOY中，取傳感器1和傳感器2之間的夾角均為45°，構(gòu)建系統(tǒng)的測量模型。設(shè)A點坐標(biāo)為(x1,y1)，B點坐標(biāo)為(x2，y2),C點坐標(biāo)為(x3,y3)，根據(jù)圖3所示幾何關(guān)系可構(gòu)建方程為：

(1)

式中α1、α2、α3為傳感器安裝偏角。

通常在輔助微調(diào)時可將α1、α2、α3控制在1°以內(nèi)，根據(jù)標(biāo)定時的標(biāo)定點可將傳感器安裝點與坐標(biāo)系原點間的距離設(shè)定s1、s2、s3，通過標(biāo)定實驗臺可以得到系統(tǒng)參數(shù)t1、t2、t3和α1、α2、α3，測量中根據(jù)工件圓心坐標(biāo)P(x0,y0)和傳感器的測量值m1、m2、m3即可確定環(huán)形工件半徑r0。

將式(1)中的傳感器測量值m1、m2、m3作為變量，其余參數(shù)作為已知量，則式(1)可表示為：

(2)

式中測量值mi為關(guān)于參數(shù)si、ti、αi、x0、y0、r0的一元二次方程。

mi通解表達式為

(3)

式中a、b、c均為關(guān)于m的一元二次方程的系數(shù)。

2 誤差分析與仿真設(shè)計

2.1 誤差分析

本方案的誤差來源主要有測量儀器的誤差和傳感器的誤差，測量儀器的誤差主要包括儀器誤差、信號轉(zhuǎn)換誤差等，傳感器的誤差主要有傳感器的平均值效應(yīng)、信號傳輸過程的隨機噪聲以及傳感器的安裝角度誤差等[15]。其中，平均值效應(yīng)主要是因為實際中傳感器的測量軸線會有一定的寬度，在垂直測量平面時，因為各處距離相等，不會產(chǎn)生影響，但測量曲面時會有圖4所示的距離不等問題，傳感器實際測量時會感應(yīng)到一個圓形區(qū)域的被測物面，而只輸出一個平均化的結(jié)果，因此在測量曲面時會存在平均值效應(yīng)，引入一定的誤差。

圖4 傳感器的平均值效應(yīng)

從圖4中也可看出，當(dāng)工件的曲率越大時，這種平均值效應(yīng)所引起的誤差也越大，而該方法測量的工件半徑不能過小，實際使用中，該項誤差應(yīng)根據(jù)實際測量需求和傳感器的設(shè)計以及安裝環(huán)境等具體設(shè)計和選用型號，保證該誤差對測量結(jié)果的誤差影響可以進行補償或忽略。

在進行模/數(shù)轉(zhuǎn)換時，會損失一部分原始信號值，造成所轉(zhuǎn)換的數(shù)字量不等于傳感器真實電壓，引入一定的誤差，根據(jù)測量精度需求，如果器件選用得當(dāng)，該誤差可以抑制到遠小于傳感器分辨力或需求的測量精度。另外，進行實驗臺標(biāo)定時，三坐標(biāo)測量機自身亦有絕對精度，該精度的高低影響實驗臺標(biāo)定結(jié)果的準(zhǔn)確性，直接影響測量模型求解的精度，因此，三坐標(biāo)測量機的測量精度也是儀器誤差引入的一種原因。

此外，空間中存在多種電磁波，而傳感器輸出的信號為電信號，在信號傳輸過程中，會疊加空間中的電磁波噪聲，所以傳感器輸出的結(jié)果中會存在隨機誤差，影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確性，實際使用中，當(dāng)噪聲影響較大時，還需要對傳感器輸出信號進行濾波設(shè)計。

2.2 仿真設(shè)計

為驗證本研究所提出方法的有效性，結(jié)合2.1節(jié)誤差分析的研究，對方案內(nèi)容進行仿真驗證，仿真主要過程包括生成傳感器數(shù)據(jù)、標(biāo)定模型的系統(tǒng)參數(shù)和半徑測量3部分，各部分待求參數(shù)如圖5所示。

圖5 仿真過程

第1部分，生成理論的測量值m1、m2、m3，通過給定s1、s2、s3、t1、t2、t3、α1、α2、α3、x0、y0、r0，將式(1)變換為式(2)形式，即可得出傳感器的測量值m1、m2、m3；第2部分，給定s1、s2、s3、x0、y0、r0，并結(jié)合第1部分生成的測量值m1、m2、m3，將式(1)變換為圖5中第1部分的函數(shù)形式，即可求得系統(tǒng)參數(shù)t1、t2、t3、α1、α2、α3，完成標(biāo)定仿真過程；第3部分，根據(jù)第1部分生成的測量值m1、m2、m3和給定的s1、s2、s3、x0、y0，結(jié)合第2部分求得的系統(tǒng)參數(shù)t1、t2、t3、α1、α2、α3，將式(1)整理為圖5中第3部分的函數(shù)形式，可以實現(xiàn)求解工件半徑r的測量目標(biāo)，還可評定r和r0之間的誤差關(guān)系，完成整個仿真過程。

在不添加2.1節(jié)所述誤差和噪聲的情況下，按照圖5仿真過程中的步驟得到的誤差值為0，而實際測量中存在誤差，并且誤差影響的參數(shù)為m1、m2、m3和P(x0,y0)，在仿真過程的第2部分中對這5個參數(shù)引入標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 μm的隨機誤差，按照圖5所示流程，分別進行了100組、1 000組、5 000組、10 000組和20 000組重復(fù)仿真，所得系統(tǒng)參數(shù)的平均標(biāo)定誤差如表1所示。

表1 不同組數(shù)系統(tǒng)參數(shù)的誤差

表1中：n表示測量組數(shù)；δti=t測-t真；δαi=α測-α真；t測和α測表示仿真后所得的值(測量值)，t真和α真表示仿真前給定的值(真值)。從表1中可以看出，在含有測量噪聲的情況下，傳感器安裝點到傳感器零點距離的求解偏差均小于0.01 μm，安裝角度誤差的求解偏差均小于0.01°。仿真數(shù)據(jù)表明：該方法有效抑制了測量中的隨機誤差，能較準(zhǔn)確地求解出系統(tǒng)參數(shù)。

為驗證程序的穩(wěn)定性和可靠性，對求解程序求取“誤差放大系數(shù)”，即將仿真結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差與輸入標(biāo)準(zhǔn)差進行除法運算，若該系數(shù)絕對值小于1，則證明求解程序?qū)υ肼曈幸种谱饔?，反之，則說明程序不穩(wěn)定，會對誤差產(chǎn)生放大作用[16-17]。對此，分別進行了100組、1 000組、5 000組、10 000組和20 000組重復(fù)仿真，求得上述不同組數(shù)重復(fù)實驗的標(biāo)準(zhǔn)差，通過與仿真時引入的標(biāo)準(zhǔn)差求商，所得的誤差放大系數(shù)情況如圖6所示。

圖6 誤差放大系數(shù)

從圖6中可以看出，誤差放大系數(shù)的絕對值均小于1，說明此程序在進行運算過程中對誤差有抑制作用，可以驗證本計算方法的穩(wěn)定性和可靠性。

驗證系統(tǒng)參數(shù)求解的穩(wěn)定性后，用標(biāo)定過的系統(tǒng)參數(shù)對最終求解目標(biāo)——工件半徑r進行求解。為驗證求解程序的穩(wěn)定性和重復(fù)性，對同一標(biāo)定結(jié)果進行100組、1 000組、5 000組、10 000組和20 000組重復(fù)測量，計算完成后分別將不同組數(shù)的半徑誤差平均值進行記錄，所得半徑誤差平均值如圖7所示。

圖7 半徑誤差的標(biāo)準(zhǔn)差

從圖7可以看出，不同組數(shù)半徑重復(fù)測量結(jié)果的誤差標(biāo)準(zhǔn)差均小于0.01 μm，和實驗中擬采用電容傳感器的分辨力處于同一量級，說明應(yīng)用該方法進行測量是有效的，并且半徑測量的誤差標(biāo)準(zhǔn)差小于設(shè)定的誤差標(biāo)準(zhǔn)差，也說明該方法在半徑求解時對測量噪聲有抑制作用，可以實現(xiàn)測量需求。

3 實驗驗證

根據(jù)理論分析部分和仿真部分的設(shè)計，對實際應(yīng)用進行轉(zhuǎn)化，設(shè)計加工并搭建了一套實驗裝置，如圖8所示，本實驗裝置主要由支撐平臺和3支高精度電容傳感器構(gòu)成，結(jié)合數(shù)據(jù)采集卡可以實現(xiàn)數(shù)字式測量計算，用以驗證本文提出的三點法半徑測量方法的可行性。

圖8 實驗裝置

本實驗臺遵循的測量原理與GB/T 4380—2004中鞍式對稱測量原理一致，但改進為3個測量點均為非接觸式測量，可以有效避免工件和頂針(或傳感器)間的接觸，保護工件不受損傷，延長傳感器的使用壽命，實現(xiàn)無損測量。

應(yīng)用此實驗臺進行工件半徑測量前需完成實驗臺標(biāo)定[18]，標(biāo)定過程主要為：

(1)用三坐標(biāo)測量機對實驗臺進行建模后，分別對3支傳感器的某一垂直軸線方向的輪廓進行多點測量，得到3組輪廓上的坐標(biāo)，通過對測量的坐標(biāo)進行計算可以推導(dǎo)出坐標(biāo)系原點坐標(biāo)。

(2)取傳感器軸線上一點為傳感器的安裝點，并計算該點到實驗臺坐標(biāo)系原點的距離，將該距離定義為s1、s2、s3。

(3)將標(biāo)準(zhǔn)工件放在實驗臺上，固定工件的位置，啟動三坐標(biāo)測量機對環(huán)形工件的某一圓界面進行輪廓掃描，得出該截面的半徑值r0和圓心坐標(biāo)P(x0,y0)。同時，記錄此時傳感器的測量值m1、m2、m3。

(4)將步驟(3)重復(fù)至少3次，然后將測量數(shù)據(jù)代入到系統(tǒng)參數(shù)求解程序中，即可得到系統(tǒng)參數(shù)t1、t2、t3和α1、a2、α3，實驗臺標(biāo)定過程即可完成。

(5)實驗臺標(biāo)定后，將工件置于實驗臺上，記錄此時傳感器的測量值m1、m2、m3，將其輸入到工件半徑測量程序中，即可得到此工件的半徑r。

按照上述實驗步驟，將搭建的實驗臺放置于三坐標(biāo)測量機上進行標(biāo)定實驗，實物圖如圖9所示。

圖9 實驗實物圖

按照上述步驟對坐標(biāo)系原點進行測量以及調(diào)整了6次工件圓心位置并對工件的每一位置進行測量，對測量數(shù)據(jù)進行運算，擬合系統(tǒng)參數(shù)。擬合時設(shè)定傳感器安裝點到坐標(biāo)系原點的距離s1=s2=s3=55 mm，得出本系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)，如表2所示。

表2 標(biāo)定的系統(tǒng)參數(shù)

將標(biāo)定結(jié)果代入半徑測量程序中，對標(biāo)定時記錄的傳感器測量數(shù)據(jù)進行逆運算，反推標(biāo)定時對應(yīng)每個狀態(tài)下工件半徑的測量值r，并求每次測量的半徑誤差r-r0。同樣，將實驗中6組傳感器的測量值代入到未標(biāo)定的模型中，按照傳統(tǒng)三點法中未標(biāo)定的模型進行求解，同樣得出6組未標(biāo)定時的工件半徑r，求取每次測量的半徑誤差r-r0，計算兩種方式半徑測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，并將上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計于表3中。

表3 半徑測量結(jié)果統(tǒng)計表

表3中，δr=r測-r真，從表3所測結(jié)果可見，6次未標(biāo)定傳感器安裝偏角時半徑測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為11.9 μm，標(biāo)定傳感器安裝偏角后半徑測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為2.2 μm，標(biāo)定傳感器安裝偏角的測量結(jié)果明顯優(yōu)于未標(biāo)定時的測量結(jié)果。實驗結(jié)果表明：本文提出的測量方法會顯著降低測量誤差和重復(fù)性誤差，提高測量精度和穩(wěn)定性。

為進一步研究傳感器安裝點的設(shè)定對測量結(jié)果的影響，設(shè)置不同傳感器安裝點到坐標(biāo)系原點的距離s1、s2、s3，再次對系統(tǒng)參數(shù)t1、t2、t3、α1、α2、α3進行標(biāo)定。研究過程中依然取s1=s2=s3，并對其設(shè)定為25、35、45、55、65、75、105 mm進行標(biāo)定，所得系統(tǒng)參數(shù)以及對應(yīng)的半徑測量標(biāo)準(zhǔn)差如表4所示。

表4 不同標(biāo)定狀態(tài)及測量結(jié)果

從表4的標(biāo)定結(jié)果可得，傳感器安裝點到坐標(biāo)系原點的距離s值設(shè)定越大，即定義的安裝點離坐標(biāo)系原點越遠，則求解的傳感器安裝偏角越小，且傳感器安裝點到傳感器零點的距離t值會近似等幅度跟隨s值變化。表4中半徑標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果表明，對同一臺實驗儀器，利用該測量方法所得測量結(jié)果的半徑標(biāo)準(zhǔn)差均為2.2 μm，不同s值的設(shè)定均能較好地保持半徑測量結(jié)果的誤差，證明使用本方法所得半徑測量結(jié)果具有較好的求解準(zhǔn)確性和重復(fù)性。

4 結(jié)束語

本文對三點法半徑測量原理進行研究和改進，設(shè)計了一種求解傳感器安裝偏角誤差的三點法半徑測量方法，該方法無需進行正反兩次傅里葉變換，避免了傳遞函數(shù)分母為0的頻率成分丟失問題，將傳感器設(shè)置在裝置的測量坐標(biāo)系Y軸同側(cè)，保證二次方程的解唯一，直接通過解析的方式求解測量模型。按照該方法進行仿真計算，仿真結(jié)果表明該方法求得傳感器安裝偏角的誤差小于0.01°，工件半徑測量結(jié)果的誤差小于0.01 μm。按照該方法設(shè)計加工了一套實驗裝置并用三坐標(biāo)測量機建立標(biāo)定坐標(biāo)系，擬合出裝置上3支電容位移傳感器的安裝偏角誤差等，完成三點法圓外徑測量裝置的系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定。標(biāo)定之后使用該裝置對同一工件進行了6組不同位置的測量實驗，得到修正傳感器安裝偏角誤差后測量的最大偏差為3.3 μm，未考慮傳感器安裝偏角誤差時測量的最大偏差為19.6 μm，用貝塞爾公式對6組重復(fù)性實驗結(jié)果進行計算，得到修正傳感器安裝偏角后的半徑標(biāo)準(zhǔn)差為2.2 μm，未考慮安裝偏角誤差時的半徑標(biāo)準(zhǔn)差為11.9 μm，通過仿真計算和實驗測量的方式驗證了該方法可顯著提高測量精度。