寧迎智，吳偉，楊全亮

橫向地震作用下車輛?板式無(wú)砟軌道系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析

寧迎智1，吳偉1，楊全亮2

(1. 中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量研究所，北京 100081；2. 中國(guó)國(guó)家鐵路集團(tuán)有限公司 科技和信息化部，北京 100844)

地震波本質(zhì)為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。為了準(zhǔn)確分析地震波對(duì)車輛?軌道系統(tǒng)非線性振動(dòng)行為及動(dòng)力可靠度的影響，基于車輛?軌道動(dòng)力相互作用模型、軌道不平順概率模型和概率密度演化方程，建立考慮軌道隨機(jī)不平順作用的橫向地震?車輛?軌道系統(tǒng)隨機(jī)分析及可靠度計(jì)算模型。以地震波演化功率譜模型為例，峰值加速度取為1.96 m/s2，對(duì)地震和軌道不平順聯(lián)合作用下的車輛?軌道系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值分析。研究結(jié)果表明：當(dāng)考慮軌道不平順和地震波的聯(lián)合作用時(shí)，車體橫向加速度和輪軌橫向力較僅考慮地震波作用下的系統(tǒng)響應(yīng)增大約10.92%和24.97%；軌道隨機(jī)不平順與地震隨機(jī)波的耦合將進(jìn)一步增大結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的離散性，故而開展地震和軌道隨機(jī)不平順的聯(lián)合分析是必要的。

車輛?軌道耦合系統(tǒng)；地震；軌道隨機(jī)不平順；隨機(jī)分析；可靠度

中國(guó)地震活動(dòng)頻度高、強(qiáng)度大、分布廣，是一個(gè)震災(zāi)較為嚴(yán)重的國(guó)家。而我國(guó)鐵路干線分布廣、運(yùn)量大、負(fù)荷高，是我國(guó)交通運(yùn)輸?shù)拇髣?dòng)脈，對(duì)沿線地帶經(jīng)濟(jì)及社會(huì)發(fā)展有重要影響[1]。故而，在地震發(fā)生時(shí)，車輛－軌道系統(tǒng)的動(dòng)力可靠性評(píng)估是一個(gè)較為重要的課題。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)地震作用下的車輛、軌道動(dòng)態(tài)行為做了許多的研究。Kazuhiko等[2]提出一個(gè)計(jì)算車輛搖擺的動(dòng)力模型，并采用全尺寸試驗(yàn)分析了大地面振動(dòng)時(shí)防脫軌護(hù)欄的工作機(jī)制；Cheng等[3]研究了軌道不平順和地震共同作用時(shí)擺式列車在曲線軌道上的脫軌問(wèn)題；Zarfam等[4]評(píng)述了移動(dòng)荷載和隨機(jī)橫向激勵(lì)(如地震)下彈性地基上梁的振動(dòng)控制方法；凌亮等[5?7]研究了地震作用下車輛?軌道系統(tǒng)脫軌條件及動(dòng)力分析方法。而針對(duì)地震作用下車?線?橋振動(dòng)問(wèn)題，王少林等[8?12]亦做了大量的計(jì)算分析。一般認(rèn)為地震動(dòng)屬于非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程[13]，可以用較為成熟的譜方法表示之，而在車輛－軌道系統(tǒng)的非線性隨機(jī)地震分析時(shí)，應(yīng)該將地震動(dòng)從頻域信號(hào)轉(zhuǎn)化為時(shí)域信號(hào)，以隨機(jī)激振源的形式輸入車輛－軌道系統(tǒng)中進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。而另一方面，對(duì)于車輛－軌道系統(tǒng)而言，軌道隨機(jī)不平順是另一種客觀存在的隨機(jī)激勵(lì)源。在地震過(guò)程中，軌道隨機(jī)不平順的影響如何，是否需要進(jìn)行聯(lián)合分析及在地震－軌道不平順作用下車輛－軌道系統(tǒng)的隨機(jī)分析方法等問(wèn)題還亟待研究論證。文獻(xiàn)[12]在計(jì)算中，采用虛擬激勵(lì)法進(jìn)行地震譜和軌道不平順統(tǒng)計(jì)譜聯(lián)合作用時(shí)的車－橋系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力分析。然而，鐵路線路沿線地質(zhì)條件、環(huán)境氣候及動(dòng)荷載等具有隨機(jī)特征，導(dǎo)致軌道隨機(jī)不平順亦有顯著的空時(shí)變化特征[14]。此外，地震動(dòng)在線路上的出現(xiàn)位置是隨機(jī)的，那么其對(duì)應(yīng)的軌道不平順狀態(tài)也將是隨機(jī)的。顯然，僅用一條代表性的線路譜(或?qū)崪y(cè)不平順)與隨機(jī)地震動(dòng)進(jìn)行聯(lián)合分析將無(wú)法完整展示隨機(jī)地震－軌道不平順作用下車輛－軌道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)全貌?；谏鲜稣J(rèn)識(shí)，本文提出一種地震－軌道隨機(jī)不平順聯(lián)合作用的車輛－軌道隨機(jī)分析模型，綜合考慮了地震與不同幅?頻狀態(tài)的軌道隨機(jī)不平順聯(lián)合作用時(shí)的車輛－軌道動(dòng)力相互作用特性，可以更為全面的反映地震隨機(jī)作用下的車輛－軌道系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力特性及可靠度。

1 車輛－軌道系統(tǒng)激振源隨機(jī)模擬

1.1 地震波隨機(jī)模擬

將地震動(dòng)視為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，而對(duì)于均值為零的一維單變量非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程0()(為時(shí)程參數(shù))可用如下離散積分形式表達(dá)[15?17]

式中：為離散頻率點(diǎn)；為整數(shù)，表達(dá)離散序列或參數(shù)；Δ為頻率間隔；()和()為0()的譜過(guò)程。

式中：[?]為數(shù)學(xué)期望算子；δ為Kronecker記號(hào)。

由式(2)~(3)，可將式(1)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

式中：()通過(guò)前項(xiàng)逼近原隨機(jī)過(guò)程0()，使原無(wú)限隨機(jī)度過(guò)程轉(zhuǎn)化為2隨機(jī)度過(guò)程。

2) 構(gòu)造高斯的標(biāo)準(zhǔn)正交(獨(dú)立)隨機(jī)變量，令

1.2 軌道不平順隨機(jī)模擬

XU等[20?21]提出了一種軌道不平順概率模型，通過(guò)將軌道不平順時(shí)域隨機(jī)信號(hào)功率譜密度化，然后導(dǎo)出軌道不平順功率譜密度函數(shù)的概率分布，引入概率選點(diǎn)法實(shí)現(xiàn)軌道隨機(jī)不平順的全概率?幅頻模擬。具體的實(shí)現(xiàn)方法可參考文獻(xiàn)[21]。

1.3 地震－軌道不平順聯(lián)合激勵(lì)源的代表樣本選取

從1.1和1.2節(jié)可知，若僅考慮橫向地震波、軌道高低、方向、水平和軌距不平順等5種隨機(jī)因素，則此車輛－軌道系統(tǒng)的隨機(jī)域可用6個(gè)隨機(jī)變量表達(dá)，即

式中：1和2為地震波模擬的隨機(jī)變量；3，4，5和6為軌道高低、方向、水平和軌距不平順模擬的隨機(jī)變量。

進(jìn)行系統(tǒng)可靠度分析，必須考慮不同隨機(jī)變量的隨機(jī)組合問(wèn)題，若采用蒙特卡洛(MC)法，則其組合樣本數(shù)目將十分巨大，這將造成車輛－軌道這一復(fù)雜多自由度系統(tǒng)的極低分析效率。文獻(xiàn)[22]基于華羅庚和王元分圓域思想，提出了數(shù)論選點(diǎn)法(Number Theory Method, NTM)。引入此方法，可將不同類型的軌道不平順視為相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程，通過(guò)單位超立方體內(nèi)的均勻散布點(diǎn)集選取相應(yīng)的地震和軌道不平順隨機(jī)樣本。

點(diǎn)列如下

式中：=1,2,…,，表示隨機(jī)變量，=6；=1,2,…,，和h構(gòu)成整數(shù)矢量(,1,2,…,h)，具體推導(dǎo)見文 獻(xiàn)[21]。

2 車輛?軌道動(dòng)力可靠度分析模型

由于輪/軌相互作用、車輛懸掛和激勵(lì)源等因素的隨機(jī)非線性，使得車輛?軌道動(dòng)力相互作用為隨機(jī)非線性過(guò)程。對(duì)于隨機(jī)結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力響應(yīng)，即便是其二階統(tǒng)計(jì)量的求取也是相當(dāng)復(fù)雜的，增加了可靠度分析中概率密度分布計(jì)算的難度。

本文在建立車輛?軌道動(dòng)力可靠度分析模型時(shí)，主要建議如下方法：

1) 建立車輛?軌道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)激勵(lì)源樣本與確定性動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程的銜接；

2) 引入概率密度演化方法，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)激勵(lì)源概率密度與動(dòng)力響應(yīng)概率密度間的傳遞。

2.1 地震?軌道不平順聯(lián)合作用的車輛?軌道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

采用多剛體動(dòng)力學(xué)方法建立車輛動(dòng)力學(xué)子模型，采用有限元方法建立軌道子模型(以CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道為例)，而在考慮地震對(duì)車輛－軌道系統(tǒng)的影響時(shí)，將地震的運(yùn)動(dòng)(包括位移、速度和加速度)等效為路基層的運(yùn)動(dòng)。具體的建模方法可參考文獻(xiàn)[23?26]。

對(duì)于軌道子系統(tǒng)，將受到2種力的作用：

2) 地震力，{}。地震波的激勵(lì)輸入方法，一般為直接法、大質(zhì)量法和擬靜力法等。文獻(xiàn)[7]做了較為詳細(xì)的對(duì)比研究，認(rèn)為直接法和大質(zhì)量法均適合車輛－軌道非線性動(dòng)力系統(tǒng)，本文采用直接法實(shí)現(xiàn)地震波激勵(lì)的輸入。由于路基層、鋼軌?軌道板系統(tǒng)已通過(guò)彈簧－阻尼單元偶聯(lián)為一個(gè)系統(tǒng)，故而可將地震的位移、速度(通過(guò)卡爾曼濾波狀態(tài)空間法[27]，由地震加速度估計(jì)獲得)和加速度視為邊界條件的已知響應(yīng)時(shí)程。可同樣采用類同式(9)的方法計(jì)算地震力。

2.2 概率密度演化方法(PDEM)

設(shè)()的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(,)，其中= (1,…,2n,)T為的實(shí)值向量，為動(dòng)力系統(tǒng)的離散自由度數(shù)；為與對(duì)應(yīng)的實(shí)值向量。將車輛?軌道系統(tǒng)視為概率保守系統(tǒng)，用概率密度演化方程表達(dá)為[28?29]

3 數(shù)值分析

3.1 計(jì)算條件

由上述內(nèi)容可知，基于車輛?軌道耦合動(dòng)力可靠度計(jì)算模型和激振源的隨機(jī)模擬方法，我們可以完成地震?軌道隨機(jī)不平順聯(lián)合作用下的車輛?軌道動(dòng)力可靠度分析，其計(jì)算流程可進(jìn)一步表示如圖1。

此計(jì)算流程的可行性證明可參考文獻(xiàn)[14]。

對(duì)于地震加速度隨機(jī)過(guò)程，采用文獻(xiàn)[30]提出的演變功率譜模型

圖1 地震?軌道隨機(jī)不平順聯(lián)合下的車輛?軌道系統(tǒng)隨機(jī)分析流程

(a) 加速度；(b) 速度；(c) 位移

對(duì)于軌道隨機(jī)不平順的模擬，以某高速鐵路實(shí)測(cè)軌道不平順為數(shù)據(jù)源，采用1.2節(jié)給出的軌道不平順概率模型及NTM選取代表性隨機(jī)樣本，截止波長(zhǎng)范圍1～100 m，采樣間距0.25 m/點(diǎn)。

車輛系統(tǒng)為CRH-3型動(dòng)力車，軌道系統(tǒng)為CRTSⅡ型直線板式無(wú)砟軌道，行車速度350 km/h。為了分析橫向地震波和軌道隨機(jī)不平順的激擾作用，采用如下計(jì)算工況：

1) 工況1：僅隨機(jī)地震波作為激擾源，表示為1；

2) 工況2：僅軌道隨機(jī)不平順作為激擾源，表示為2；

3) 工況3：地震波和軌道隨機(jī)不平順同時(shí)作用，表示為3。

3.2 結(jié)果分析

圖1為車體橫向加速度和輪軌橫向力在不同計(jì)算工況下的概率密度分布。

(a) 車體橫向加速度；(b) 輪軌橫向力

從圖3可知，地震波對(duì)各指標(biāo)的動(dòng)力影響十分顯著。3工況的計(jì)算結(jié)果表明，相較于1工況，地震和軌道隨機(jī)不平順聯(lián)合作用時(shí)的車體橫向加速度和輪軌橫向力響應(yīng)極值將分別增加約10.92%和24.97%，這一結(jié)果說(shuō)明在地震波對(duì)車輛－軌道系統(tǒng)動(dòng)力激擾時(shí)，軌道隨機(jī)不平順的協(xié)同參振作用增加了系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的離散性，對(duì)系統(tǒng)具有較大的動(dòng)力影響，表明了開展地震－軌道不平順聯(lián)合作用下的車輛?軌道系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力分析工作是必要的。圖4給出了不同動(dòng)力指標(biāo)響應(yīng)的概率密度分布，根據(jù)公式(11)可以得到各動(dòng)力指標(biāo)的可靠度。

表1給出了不同動(dòng)力指標(biāo)的計(jì)算最大值及可靠度。

由表1可知，在橫向地震波作用下，車體橫向加速度及輪軌橫向力均出現(xiàn)了動(dòng)力失效情況，即可靠概率＜1.0。特別是車體橫向加速度的失效概率較大，達(dá)到4.36%，行車舒適性受到較大的影響。同時(shí)，雖然輪軌橫向力出現(xiàn)了超限情況，但仍然保證了99.1%以上的可靠度，可見此系統(tǒng)在當(dāng)前地震烈度下仍然具有相當(dāng)?shù)陌踩?。地震的發(fā)生對(duì)軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力影響尤為顯著，相較于軌道隨機(jī)不平順激擾下的軌道系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)，地震作用下的響應(yīng)幅值可增加數(shù)十倍。此外，橫向地震波對(duì)車輛、軌道系統(tǒng)的垂向振動(dòng)亦能造成一定的影響，但其作用不如軌道隨機(jī)不平順顯著。

表1 動(dòng)力指標(biāo)計(jì)算最大值及可靠度

注：由于軌道系統(tǒng)位移及加速度限值尚不明確，暫不給出可靠度。

4 結(jié)論

1) 在給定的計(jì)算條件下，當(dāng)考慮軌道不平順和地震波的協(xié)同激勵(lì)時(shí)，車體橫向加速度和輪軌橫向力將分別較地震波作用下的系統(tǒng)響應(yīng)增大約10.92%和24.97%，表明在車輛?軌道系統(tǒng)地震激勵(lì)計(jì)算時(shí)，進(jìn)行軌道不平順激勵(lì)的聯(lián)合分析可顯著影響系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的評(píng)估結(jié)果。

2) 在橫向地震波作用下，系統(tǒng)易出現(xiàn)動(dòng)力失效情況。本計(jì)算工況下，車體橫向加速度和輪軌橫向力的失效概率分別達(dá)4.36%和0.6%。

3) 對(duì)于處在地震環(huán)境中的車輛?軌道系統(tǒng)而言，顯然軌道系統(tǒng)受到的動(dòng)力沖擊最為直接及顯著。若僅考慮橫向地震波作用，軌道結(jié)構(gòu)的橫向位移量和波形均與地震位移時(shí)程接近，而軌道隨機(jī)不平順與地震隨機(jī)波的耦合可進(jìn)一步增大結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的離散性。

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Vehicle-ballastless slab track stochastic analysis subjected to lateral earthquakes

NING Yingzhi1, WU Wei1, YANG Quanliang2

(1. Standards & Metrology Research Institute, China Academy of Railway Sciences Corporation Limited, Beijing 100081, China;2. Department of Science, Technology and Information Technology, China Railay, Beijing 100844, China)

The seismic waves are non-stationary random processes in essence. Based on the vehicle-track dynamic interaction model, track irregularity probabilistic model and probability density evolution model, a stochastic analysis and reliability assessment model for vehicle-track coupled system subjected to earthquakes and track random irregularities was proposed to accurately analyze the influence of stochastic seismic waves on the nonlinear vibrational behaviors and dynamic reliability of vehicle-track systems. Set the evolutionary power spectrum model of seismic waves and the peak value of acceleration 1.96 m/s2as examples, a numerical analysis was conducted for the random response analysis of vehicle-track systems subjected to earthquakes and track irregularities. Summarily it can be concluded that the vehicle lateral acceleration and wheel-rail lateral force have been increased by about 10.92% and 24.97% if track irregularities are also considered as excitation except for the lateral earthquakes, besides, the coupling effects of the track random irregularities and lateral earthquakes will further increase the dispersion of structural responses. It is therefore a necessity to conduct the dynamics analysis where earthquakes and track random irregularities should be jointly considered.

vehicle-track coupled system; earthquakes; track random irregularities; stochastic analysis; reliability

U21

A

1672 ? 7029(2021)03 ? 0630 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20200747

2020?08?06

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目(2018YFF0214100)

吳偉(1978?)，男，遼寧莊河人，高級(jí)工程師，從事鐵路標(biāo)準(zhǔn)化研究；E?mail：tkww@rails.cn

(編輯 蔣學(xué)東)