李 敬，萬(wàn)志威，李天勻,3，朱 翔,3

（1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢430074；2.船舶和海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430074；3.高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海200240）

聲學(xué)黑洞(ABH)是通過(guò)冪律裁剪結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)阻抗的漸變，引起結(jié)構(gòu)彎曲波相速度與群速度的變化，從而實(shí)現(xiàn)波的能量聚集與操控。在梁或薄板中，若厚度變化為h(x)=εxm(m≥2)，則彎曲波波速會(huì)隨著厚度減小而減小[1]。很多研究[2-5]表明敷設(shè)阻尼的黑洞對(duì)于抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)或降低聲輻射能達(dá)到更好的效果，之后有學(xué)者[6]指出此為綜合阻尼層的阻尼與剛度效應(yīng)，在黑洞中心1/4長(zhǎng)度內(nèi)敷設(shè)阻尼材料效果最佳。

但是聲學(xué)黑洞的應(yīng)用也存在不足，Conlon 等[7]計(jì)算了帶阻尼的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的輻射聲功率，其結(jié)果顯示在1 000 Hz以下時(shí)效果與不帶聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)響應(yīng)相似，表明聲學(xué)黑洞作用頻帶存在截止頻率，低于該頻率時(shí)聲學(xué)黑洞作用效果較小。Li等[8]研究了聲學(xué)黑洞梁的振動(dòng)與聲輻射效應(yīng)，結(jié)果也體現(xiàn)出聲學(xué)黑洞的截?cái)嘈?yīng)。并指出適當(dāng)增加黑洞長(zhǎng)度可以增強(qiáng)黑洞對(duì)低頻作用的效果。

目前聲學(xué)黑洞向低頻帶拓展的方式主要有非線性與周期性排列兩種。Gusev 等[9]考慮微觀非均勻材料的非線性對(duì)聲學(xué)黑洞板中的彎曲波的影響，發(fā)現(xiàn)非線性吸收隨著波幅的減小而逐漸消失，導(dǎo)致大多數(shù)聲學(xué)黑洞中的聲波完全衰減。周期性排列[10-12]則是通過(guò)多個(gè)黑洞的組合達(dá)到拓寬頻帶的作用，聲學(xué)黑洞屬于變截面結(jié)構(gòu)，其周期性排列已經(jīng)屬于聲子晶體的范疇。通過(guò)合理設(shè)置黑洞參數(shù)與排列方式以及材料的分布等可以得到結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的帶隙特性。但這方面的研究仍很匱乏，本文研究了周期性分布的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)，選擇合適的晶胞對(duì)彎曲波能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析并對(duì)有限周期的聲子晶體梁振動(dòng)傳遞特性進(jìn)行分析，在較寬頻帶內(nèi)得到了彎曲波帶隙，與等長(zhǎng)度的恒定截面梁及周期楔形梁相比，振動(dòng)位移傳遞曲線在帶隙區(qū)間出現(xiàn)極大衰減。并且通過(guò)改變黑洞區(qū)域材料分析了黑洞與基體材料差異對(duì)能帶的影響，為采用聲學(xué)黑洞梁抑制振動(dòng)向低頻帶拓展提供一定思路。

1 聲學(xué)黑洞聲子晶體梁

1.1 聲學(xué)黑洞中的彎曲波

當(dāng)彈性波在聲學(xué)黑洞中傳播時(shí)，波位移w(x)可以由式(1)描述：

式中：B(x)是x處的波幅k(x)為波數(shù)。

實(shí)際應(yīng)用中黑洞必然存在截?cái)郲13]，存在截?cái)嗪穸萮0，厚度h(x)=εxm+h0，則相應(yīng)波數(shù)k(x)為

式中：ρ、E、ω分別表示黑洞結(jié)構(gòu)密度、楊氏模量與角頻率。

1.2 聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)與傳輸特性

Bloch 波中電子能量的特征值問(wèn)題中包含了電子能量與波矢之間的關(guān)系，常出現(xiàn)沒(méi)有波矢與能量對(duì)應(yīng)區(qū)域,稱之為帶隙。而兩者之間的關(guān)系稱之為能帶結(jié)構(gòu)[14]。不計(jì)體力條件下，彈性波在具有晶格周期性的介質(zhì)中自由傳播時(shí)特征方程為

式中：ρ、λ、μ分別為結(jié)構(gòu)的密度、lame參數(shù)與剪切模量，v為位移函數(shù)，均為位置r的函數(shù)。

滿足式(3)解的波稱為Bloch波，可表示為

式中：Rn為正格矢。

周期性梁彎曲波表達(dá)形式為

式中：E、ρ、I、S分別為結(jié)構(gòu)楊氏模量與密度、截面慣性矩與面積，均為位置坐標(biāo)的周期函數(shù)。

其位移解滿足：

式中：a為晶格常數(shù)，n為周期數(shù)。

故周期性梁中傳播的彎曲波屬于Bloch 波，將波函數(shù)代入彈性波動(dòng)方程得到波矢與頻率之間關(guān)系，即頻散關(guān)系，但是在聲子晶體中也繼續(xù)沿用了能帶結(jié)構(gòu)的概念[15]。

無(wú)限周期聲子晶體梁帶隙內(nèi)彎曲波完全被屏蔽，能帶結(jié)構(gòu)足以描述聲子晶體的特性。而有限周期結(jié)構(gòu)中帶隙內(nèi)彎曲波傳遞表現(xiàn)為衰減而非完全無(wú)法傳播，即帶隙內(nèi)部分彎曲波仍能傳播，此時(shí)需要獲得結(jié)構(gòu)參數(shù)如位移、速度、加速度的傳遞函數(shù)。將傳遞函數(shù)與能帶結(jié)構(gòu)結(jié)合進(jìn)行分析。

但由于激勵(lì)與響應(yīng)幅值數(shù)量級(jí)的差異，振動(dòng)與聲學(xué)中通常采用如下定義的傳遞函數(shù)[16]，振動(dòng)中稱之為振級(jí)落差：

式中：X1為響應(yīng)，X0為輸入，可以是位移、速度或加速度。

1.3 能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法

計(jì)算聲子晶體結(jié)構(gòu)帶隙特性的方法通常有3種：傳遞矩陣法、平面波展開(kāi)法和有限元法。

采用傳遞矩陣法計(jì)算聲子晶體梁可得到精確解，對(duì)于計(jì)算不同材料恒定截面的梁較為簡(jiǎn)單。其原理在于利用變截面處或變材料處的彎曲受力與變形的關(guān)系建立傳遞矩陣，并利用聲子晶體周期性得到波矢與頻率之間的關(guān)系。但對(duì)于由聲學(xué)黑洞構(gòu)成的聲子晶體梁，其截面的變化是漸變的，利用傳遞矩陣法時(shí)，該方法并不太適用。

平面波展開(kāi)是將彈性波展開(kāi)成一系列平面波，在倒格矢空間將波動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為特征值方程進(jìn)行計(jì)算，但是計(jì)算嚴(yán)重阻抗失配的聲子晶體收斂慢。對(duì)于聲學(xué)黑洞漸變變截面的計(jì)算，以及本文所考慮的較大阻抗失配問(wèn)題，平面波展開(kāi)法存在一定局限性。

有限元法對(duì)于計(jì)算含有聲學(xué)黑洞這種復(fù)雜截面的聲子晶體梁有著很好的優(yōu)越性和收斂性。計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)時(shí)，通過(guò)將Bloch 位移波作為常規(guī)有限元法的位移解，設(shè)置周期性邊界條件，改變波數(shù)計(jì)算固有頻率即可得到結(jié)構(gòu)的頻散關(guān)系。

一維聲子晶體晶胞中任一點(diǎn)Q位移為

式中：vQ為位移uQ的幅度向量。

則對(duì)應(yīng)晶胞中單元節(jié)點(diǎn)位移uie為

式中：vie為位移uie的幅度向量。

有限元法中將單元中任一點(diǎn)位移用所在單元節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行插值：

將式(9)代入式(10)，得到單元任一點(diǎn)位移：

式中：

將式(11)代入單元平衡方程：

得到晶胞的單元平衡方程：

式中：ke與me為單元整體剛度矩陣與質(zhì)量矩陣。

通過(guò)整體組裝矩陣，得到整個(gè)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題為

式中：K與M為系統(tǒng)整體剛度矩陣與質(zhì)量矩陣；v為系統(tǒng)位移幅值列向量。

因此采用有限元法計(jì)算聲學(xué)黑洞聲子晶體梁的能帶結(jié)構(gòu)時(shí)，只需要選取一個(gè)晶胞單元，設(shè)置弗洛奎特周期性邊界條件。將波矢限制在第一布里淵區(qū)，通過(guò)計(jì)算晶胞的固有頻率即可得到結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)圖。故本文通過(guò)COMSOL 軟件采用有限元法對(duì)周期排列的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的帶隙特性與傳輸特性進(jìn)行分析。

2 有限元模型

2.1 晶胞模型

對(duì)于周期性聲學(xué)黑洞梁，聲學(xué)黑洞之間通常有一定間隔t。Tang 在文獻(xiàn)[5]中指出在黑洞中心1/4區(qū)域敷設(shè)阻尼層能較好提升黑洞抑制波傳播的效果，因此選擇黑洞與基體的組合作為聲子晶體梁的晶胞結(jié)構(gòu)，并在黑洞中心1/4 區(qū)域敷設(shè)厚度為1 mm的阻尼層材料。

圖1 聲學(xué)黑洞梁晶胞模型

基體長(zhǎng)度為間距t的1/2。t=20 mm，整體寬度B=50 mm，為矩形截面。如圖1所示，橙色區(qū)域?yàn)楹诙?，紅色部分為基體，藍(lán)色部分為阻尼層。當(dāng)構(gòu)成無(wú)限周期時(shí)，此結(jié)構(gòu)構(gòu)成一維聲子晶體。

王博涵等[17]選取黑洞長(zhǎng)度R=100 mm，冪指數(shù)m=2，對(duì)單個(gè)黑洞薄板進(jìn)行振動(dòng)特性分析，結(jié)果表明單個(gè)黑洞抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)有較好的抑制效果。本文將該文獻(xiàn)選取的參數(shù)作為參考，選取黑洞長(zhǎng)度為R=100 mm、冪指數(shù)m=2的聲學(xué)黑洞進(jìn)行分析。厚度取為h1=15 mm，考慮聲學(xué)黑洞最薄處不可能無(wú)限趨于0，選取截?cái)嗪穸葹?/100的梁厚度，即黑洞最薄處厚度h0=0.15 mm。選取黑洞最薄處為原點(diǎn)O，則黑洞表達(dá)式為

代入具體參數(shù)，即：

因此晶格常數(shù)為：a=2R+t=220 mm。

晶胞有限元網(wǎng)格模型如圖2所示，阻尼層采用一層的映射四邊形網(wǎng)格，寬度方向?yàn)? mm，黑洞區(qū)域采用自由四邊形網(wǎng)格，最小網(wǎng)格邊長(zhǎng)為0.15 mm，最大邊長(zhǎng)為1.875 mm?；w部分采用映射的四邊形網(wǎng)格，尺寸大小為1.875 mm×2 mm。

圖2 聲學(xué)黑洞晶胞有限元模型

為對(duì)比分析周期黑洞結(jié)構(gòu)的振動(dòng)波抑制效果，對(duì)具有同樣截面尺寸的矩形截面梁也進(jìn)行對(duì)比分析，其與黑洞晶胞等長(zhǎng)的幾何模型與有限元模型如圖3與圖4所示，網(wǎng)格采用映射四邊形網(wǎng)格，尺寸為1.875 mm×2 mm。與聲學(xué)黑洞梁相比，僅將黑洞區(qū)域替換成與基體等截面的截面梁,當(dāng)此部分區(qū)域材料不同時(shí)，這也構(gòu)成一種聲子晶體。

圖3 恒定截面梁幾何模型

圖4 恒定截面梁網(wǎng)格模型

2.2 有限周期結(jié)構(gòu)模型

實(shí)際中周期性聲學(xué)黑洞梁不可能具有無(wú)限周期，因此選取8個(gè)周期晶胞構(gòu)成的聲學(xué)黑洞梁與恒定截面梁，進(jìn)行彎曲振動(dòng)傳遞特性分析，幾何模型分別如圖5與圖6所示。有限元模型劃分尺寸大小與晶胞有限元模型一致，僅做8個(gè)周期的陣列。

圖5 8周期聲學(xué)黑洞梁模型

圖6 8周期恒定截面梁模型

3 帶隙特性與傳遞特性分析

對(duì)于無(wú)限周期的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)，利用有限元法對(duì)晶胞進(jìn)行分析，通過(guò)在晶胞兩端設(shè)置弗洛奎特周期性邊界條件，限制波數(shù)k在第一布里淵區(qū)內(nèi)，波數(shù)步長(zhǎng)為計(jì)算不同波數(shù)下結(jié)構(gòu)的固有頻率，得到波數(shù)與頻率之間的關(guān)系，即能帶結(jié)構(gòu)。

對(duì)于8個(gè)周期的不同結(jié)構(gòu)，取長(zhǎng)度L=8a=1 760 mm，在梁一端沿寬度方向施加大小為1 N/m的垂向分布力。在梁的另一端提取位移響應(yīng)，頻率范圍為5 Hz～4 000 Hz，步長(zhǎng)為5 Hz。選取輸入端與輸出端的位移響應(yīng)的均方值計(jì)算傳遞函數(shù)，進(jìn)而得到傳遞函數(shù)頻響曲線，具體處理方法如下：

有限元法中，通過(guò)網(wǎng)格在線與面上劃分出多個(gè)節(jié)點(diǎn)。設(shè)輸出端N個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)幅值分別為s1、s2、…、sN。

則輸出端平均位移響應(yīng)為

通過(guò)同樣的方法得到輸入端上均方位移響應(yīng)，則位移傳遞函數(shù)H為

3.1 鋼質(zhì)黑洞嵌入鋼質(zhì)基體

首先考慮基體與黑洞材料同為鋼時(shí)的帶隙特性與傳遞函數(shù)特性。具體結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 結(jié)構(gòu)材料參數(shù)

圖7 鋼質(zhì)黑洞梁彎曲波能帶結(jié)構(gòu)圖

聲學(xué)黑洞聲子晶體梁晶胞彎曲波能帶結(jié)構(gòu)如圖7所示，根據(jù)帶隙圖能較清晰看出帶隙的分布與寬窄，為了具體比較帶隙區(qū)間的頻率范圍，將帶隙區(qū)間列入表中，如表2所示，同時(shí)引入歸一化寬度[18]的概念：

式中：f1與f2分別為帶隙截止頻率與起始頻率。

表2 通過(guò)晶胞得到的彎曲波帶隙特性

圖8給出了8個(gè)周期聲學(xué)黑洞梁與等長(zhǎng)度的恒定截面梁的位移傳遞函數(shù)曲線。以0 dB為閾值，聲學(xué)黑洞梁帶隙區(qū)間（灰色陰影部分）的位移傳遞函數(shù)出現(xiàn)很大衰減，每個(gè)帶隙區(qū)間最大衰減都達(dá)到35 dB以上，效果顯著，進(jìn)一步驗(yàn)證了聲學(xué)黑洞構(gòu)成的聲子晶體梁存在彎曲波帶隙。而恒定截面梁位移傳遞特性則在閾值線附近振蕩，表明不存在帶隙特性。

將得到的此帶隙區(qū)間與通過(guò)晶胞計(jì)算得到的帶隙進(jìn)行比較，如表2與表3所示，可以看出兩者的帶隙區(qū)間大致一致，帶隙寬度與歸一化寬度差異較小。但是帶隙區(qū)間起止頻率有一定的差異。這一部分主要是無(wú)限周期結(jié)構(gòu)和有限周期結(jié)構(gòu)的差異。

從整個(gè)頻段看，聲學(xué)黑洞梁傳遞衰減明顯優(yōu)于恒定截面梁。除了帶隙區(qū)間外，在帶隙區(qū)間附近的頻帶（黑色陰影部分），周期聲學(xué)黑洞梁傳遞也出現(xiàn)較大衰減，如85 Hz 至400 Hz 頻帶最大衰減達(dá)到30 dB。這可以從能帶結(jié)構(gòu)圖中得到解釋，雖然這些區(qū)間沒(méi)有對(duì)彎曲波形成完全禁帶，但是由于在黑洞區(qū)域傳播時(shí)彎曲波數(shù)是隨截面變化的，這些部分抑制了部分波數(shù)傳播的彎曲波，因此在傳遞響應(yīng)圖中也出現(xiàn)較大衰減。

圖8 鋼質(zhì)黑洞梁振動(dòng)位移傳遞函數(shù)

表3 根據(jù)傳遞函數(shù)確定的彎曲波帶隙

為了分析周期聲學(xué)黑洞梁中周期結(jié)構(gòu)與聲學(xué)黑洞對(duì)抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的貢獻(xiàn)，選取與鋼質(zhì)周期聲學(xué)黑洞梁等長(zhǎng)度的單黑洞梁進(jìn)行對(duì)比分析。黑洞參數(shù)保持不變，為保證長(zhǎng)度一致，非黑洞部分取為恒定截面梁，如圖9所示。

圖9 等長(zhǎng)單黑洞梁模型

在靠近黑洞梁一端進(jìn)行激勵(lì)，另一端提取位移響應(yīng)，得到位移傳遞函數(shù)曲線如圖10所示。從圖中可以看出周期黑洞梁在帶隙區(qū)間（灰色陰影）抑制振動(dòng)效果明顯優(yōu)于等長(zhǎng)度的單黑洞梁，非帶隙區(qū)間內(nèi)兩者抑制振動(dòng)效果差別較小。這說(shuō)明周期性結(jié)構(gòu)對(duì)于形成帶隙區(qū)間從而有效抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)傳遞起著顯著作用，但是作為由變截面的單黑洞組成的結(jié)構(gòu)不能產(chǎn)生帶隙區(qū)間。

為了進(jìn)一步研究聲學(xué)黑洞對(duì)于采用周期聲學(xué)黑洞梁抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的效果，將黑洞替換為楔形梁，計(jì)算等長(zhǎng)度的8周期的鋼質(zhì)周期楔形梁的位移傳遞響應(yīng)，同樣在中心1/4 區(qū)域敷設(shè)阻尼，其結(jié)構(gòu)如圖11所示。

截面厚度表達(dá)式為

從圖12所示周期楔形梁與周期黑洞梁的位移傳遞響應(yīng)對(duì)比中可以看出，黑洞梁在[5，45]Hz、[1 080，1 460]Hz與[2 665，2 975]Hz 頻帶內(nèi)明顯削弱了結(jié)構(gòu)振動(dòng)的傳遞，而楔形梁在[25，285]Hz頻帶內(nèi)較大削弱振動(dòng)位移的傳遞，即周期黑洞梁抑制振動(dòng)的頻帶范圍明顯優(yōu)于周期楔形梁，聲學(xué)黑洞與周期排列的共同作用使得周期聲學(xué)黑洞梁產(chǎn)生了較好的帶隙特性。這也從側(cè)面說(shuō)明周期性結(jié)構(gòu)是形成帶隙的必要條件，選擇合適的原胞才能使結(jié)構(gòu)的帶隙特性更加明顯，從而更好抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)，而聲學(xué)黑洞可作為聲子晶體的一種良好的原胞。

圖10 單黑洞梁振動(dòng)傳遞函數(shù)

圖11 周期楔形梁及其組成單元

圖12 周期楔形梁振動(dòng)位移傳遞函數(shù)

3.2 鋁質(zhì)黑洞嵌入鋼質(zhì)基體

材料特性差異的周期性排列是聲子晶體研究的另一思路，為此將黑洞區(qū)域材質(zhì)更換為鋁，不改變基體材料。作為對(duì)比的恒定截面梁，中間段材料也變換為鋁。鋁材料參數(shù)見(jiàn)表4。

表4 鋁材料參數(shù)

聲學(xué)黑洞聲子晶體梁結(jié)構(gòu)的彎曲波能帶結(jié)構(gòu)如圖13所示。對(duì)應(yīng)得到鋁質(zhì)黑洞嵌入鋼基體的彎曲波帶隙見(jiàn)表5。對(duì)比表2可知，鋁制黑洞嵌入鋼質(zhì)基體的帶隙相較于鋼質(zhì)黑洞而言，整體向低頻移動(dòng)。

表5 鋁質(zhì)黑洞梁彎曲波帶隙特性

圖13 鋁質(zhì)黑洞梁彎曲波能帶結(jié)構(gòu)圖

位移傳遞特性曲線如圖14所示，響應(yīng)曲線中對(duì)應(yīng)帶隙區(qū)間（灰色陰影部分）的彎曲振動(dòng)傳遞出現(xiàn)極大衰減，在相應(yīng)的帶隙區(qū)間附近某些頻帶（黑色陰影）傳遞響應(yīng)也同樣出現(xiàn)較大衰減。相較于由鋁制恒定截面嵌入鋼基體梁而言，聲學(xué)黑洞梁傳遞特性衰減優(yōu)勢(shì)明顯，進(jìn)一步佐證了3.1節(jié)中的結(jié)論。

圖14 鋁質(zhì)黑洞梁位移傳遞函數(shù)

3.3 環(huán)氧樹脂黑洞嵌入鋼質(zhì)基體

為了進(jìn)一步驗(yàn)證3.2節(jié)中的結(jié)論，將鋁質(zhì)黑洞替換成與鋼基體阻抗失配更大的環(huán)氧樹脂材料進(jìn)行分析。環(huán)氧樹脂具體參數(shù)見(jiàn)表6。

表6 環(huán)氧樹脂材料參數(shù)

圖15 環(huán)氧樹脂黑洞梁彎曲波能帶結(jié)構(gòu)圖

表7 環(huán)氧樹脂黑洞梁彎曲波帶隙特性

圖15給出了環(huán)氧樹脂聲學(xué)黑洞梁彎曲波能帶結(jié)構(gòu)。其帶隙起止頻率見(jiàn)表7，結(jié)果表明黑洞材料換作密度與模量更小的環(huán)氧樹脂時(shí)，結(jié)構(gòu)的帶隙特性進(jìn)一步向低頻移動(dòng)，進(jìn)一步佐證了3.2 節(jié)中的結(jié)論。這是由于黑洞結(jié)構(gòu)材料變化時(shí)，一方面材料本身密度與楊氏模量較小，使得結(jié)構(gòu)的固有頻率向低頻移動(dòng)；另一方面黑洞部分與基體的阻抗失配效應(yīng)更明顯，更容易形成彎曲波帶隙。

對(duì)比圖16與圖8以及圖14給出的位移傳遞函數(shù)曲線也可以看出，同樣的頻率區(qū)間內(nèi)，黑洞材料越“軟”，基體與黑洞阻抗失配效應(yīng)越強(qiáng)，帶隙特性越容易在低頻出現(xiàn)，出現(xiàn)帶隙的數(shù)量就越多。這為基于周期聲學(xué)黑洞抑制低頻振動(dòng)提供一定借鑒。

圖16 環(huán)氧樹脂黑洞梁位移傳遞函數(shù)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文將聲學(xué)黑洞與聲子晶體相結(jié)合，采用有限元法研究了一種無(wú)限周期聲學(xué)黑洞梁的能帶結(jié)構(gòu)與有限周期聲學(xué)黑洞梁的彎曲波帶隙與振動(dòng)傳遞特性，并與恒定截面梁、單黑洞梁及周期楔形梁進(jìn)行了對(duì)比，得到了如下結(jié)論：

(1)聲學(xué)黑洞作為截面冪律變化的結(jié)構(gòu)，將其周期構(gòu)造成一維聲子晶體，相較于單黑洞梁與周期楔形梁，能產(chǎn)生較好的彎曲波帶隙特性。有限周期黑洞結(jié)構(gòu)帶隙特性與無(wú)限周期結(jié)構(gòu)帶隙特性類似，且除了禁帶區(qū)間，在其附近的頻帶內(nèi)由于聲學(xué)黑洞效應(yīng)，振動(dòng)位移衰減特性也十分明顯。這表明周期排列聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)對(duì)于抑制結(jié)構(gòu)彎曲波的有效性。

(2)將黑洞材料變換為密度與剛度較小的材料嵌入基體后，由于材料間的阻抗失配可以讓聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)在更低頻范圍內(nèi)出現(xiàn)帶隙特性，且相同頻率區(qū)間內(nèi)，帶隙數(shù)量越多，抑制彎曲波傳播的頻段更寬，抑制振動(dòng)傳遞的效果越好。這為周期性聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)抑制低頻振動(dòng)提供新的研究方向。