王飛龍 孫鋆

摘要：長期以來，數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在“重結(jié)果、輕過程，重傳遞、輕建構(gòu)”的問題。利用數(shù)學(xué)問題鏈，可以讓學(xué)生更好地經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，自主建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)，要注意滲透從特殊到一般的思維方法，凸顯概念之間的聯(lián)系，并且適當(dāng)體現(xiàn)從概念到性質(zhì)、從建構(gòu)到應(yīng)用的研究“套路”。以“異面直線所成的角”教學(xué)的問題鏈設(shè)計(jì)為例來說明。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念教學(xué);問題鏈設(shè)計(jì);異面直線所成的角

一、觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要問題鏈的驅(qū)動

數(shù)學(xué)概念是反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的思維形式和載體，具有高度抽象的特征，在該類對象的范圍內(nèi)具有普遍意義。從概念到命題或結(jié)論（其實(shí)是概念的性質(zhì)）再到推理（比如解題），就是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一般過程。因此，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維（知識及應(yīng)用或問題及解決）的基礎(chǔ)——李邦河院士說：“數(shù)學(xué)是玩概念的。技巧，不足道也?！弊匀坏?，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。

然而，長期以來，數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在“重結(jié)果、輕過程，重傳遞、輕建構(gòu)”的問題。

一方面，從知識的角度看，數(shù)學(xué)概念常被看作已有的結(jié)果性對象，學(xué)生所要掌握的只是其內(nèi)涵、外延、表示等結(jié)果性要素。因此，數(shù)學(xué)概念課常出現(xiàn)“10分鐘玩概念、30分鐘練概念”的現(xiàn)象。而事實(shí)上，數(shù)學(xué)概念具有過程與結(jié)果兩重性。也就是說，數(shù)學(xué)概念本身有一個(gè)形成（包括發(fā)生、發(fā)展）的過程，而非“天上掉下來”的結(jié)果。因此，只有結(jié)果而沒有過程的數(shù)學(xué)概念教學(xué)是不完整的。

另一方面，從教學(xué)的角度看，教學(xué)作為結(jié)果的數(shù)學(xué)概念時(shí)，傳遞無疑是有效的。也就是說，通過教師的講授、學(xué)生的接受與練習(xí)，就能達(dá)到對概念的熟記與套用，甚至還能建立與其他概念的關(guān)聯(lián)。但是，這樣的學(xué)習(xí)是從外而內(nèi)的植入式學(xué)習(xí)，會導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解是淺層次的。因此，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，自主建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。只有這樣，學(xué)生才能理解數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，建立數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)體系，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念;與此同時(shí)，學(xué)生還能體悟概念建構(gòu)過程中的數(shù)學(xué)思維方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)問題鏈?zhǔn)墙處熢谡n外預(yù)設(shè)并在課上以多種方式呈現(xiàn)給學(xué)生的、有序的主干數(shù)學(xué)問題序列，可以驅(qū)動學(xué)生的數(shù)學(xué)探究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的脈絡(luò)。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，利用數(shù)學(xué)問題鏈，可以讓學(xué)生更好地經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，自主建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

那么，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如何設(shè)計(jì)問題鏈呢？

一般而言，數(shù)學(xué)概念是在大量具體案例的基礎(chǔ)上通過比較、分析，歸納共性、抽象本質(zhì)而形成的。除此之外，數(shù)學(xué)概念之間有著廣泛的聯(lián)系，很多新概念是在舊概念的基礎(chǔ)上，通過各種關(guān)系而形成的。具體來說，有些新概念是在舊概念的基礎(chǔ)上加入一些本質(zhì)屬性而形成的，是強(qiáng)抽象的結(jié)果，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等概念;有些新概念是在舊概念的基礎(chǔ)上去掉一些本質(zhì)屬性而形成的，是弱抽象的結(jié)果，如數(shù)系擴(kuò)充過程中的新概念等;還有一些新概念是在舊概念的基礎(chǔ)上通過某些方面的相似類比遷移而形成的。因此，設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)，要注意滲透從特殊到一般的思維方法，凸顯概念之間的聯(lián)系，并且適當(dāng)體現(xiàn)從概念到性質(zhì)、從建構(gòu)到應(yīng)用的研究“套路”。

二、案例：“異面直線所成的角”教學(xué)的問題鏈設(shè)計(jì)

“異面直線所成的角”是人教A版高中數(shù)學(xué)教材（2019年版）必修第二冊“8.6.1 直線與直線垂直”中的內(nèi)容。一方面，分析這一概念的形成過程，首先是初中的平面內(nèi)兩條相交直線所成的角（夾角）的類比遷移，體現(xiàn)空間問題平面化的思維方法;其次是從長方體中的異面直線到任意異面直線的推廣，體現(xiàn)從特殊到一般的思維路徑。據(jù)此，可以設(shè)計(jì)四個(gè)主干問題，分別指向平面內(nèi)兩條相交直線所成的角的定義、長方體中異面直線所成的角的猜想與確認(rèn)、任意異面直線所成的角的定義。當(dāng)然，在教學(xué)中，除了教師提出問題，更要注重引導(dǎo)學(xué)生提出問題。對此，教師可以基于學(xué)生視角，根據(jù)主干問題預(yù)設(shè)一些輔助問題（子問題）。另一方面，分析這一概念的有關(guān)性質(zhì)和應(yīng)用，最基礎(chǔ)、最直接的就是取值范圍和垂直這一特殊情況。據(jù)此，可再設(shè)計(jì)兩個(gè)主干問題。綜上，具體問題鏈設(shè)計(jì)如下：

問題1平面內(nèi)兩條直線相交，為了刻畫一條直線相對于另一條直線的傾斜程度，我們學(xué)習(xí)了兩條相交直線所成的角。初中是如何定義兩條相交直線所成的角的？

問題1引導(dǎo)學(xué)生回顧平面內(nèi)兩條相交直線所成的角的概念，明確可以用角來刻畫一條直線相對于另一條直線的傾斜程度。作為起點(diǎn)性問題，不僅難度較低，而且可以引出后續(xù)問題——其觸發(fā)點(diǎn)在于，空間中是否也能用角來刻畫一條直線相對于另一條直線的傾斜程度。

問題2如圖1，長方體ABCDA1B1C1D1中，棱AB與A1D1和A1C1構(gòu)成兩對異面直線。相對于AB，A1D1和A1C1之間有沒有差異？如何刻畫這種差異？

問題21能否找一個(gè)幾何量來刻畫這種差異？

問題22對于異面直線AB與A1C1，如何得到這個(gè)角？

問題2創(chuàng)設(shè)長方體的情境，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受兩條直線A1D1和A1C1相對于與它們異面的一條直線AB的傾斜程度不同，并且思考如何刻畫這種差異。問題21讓問題2的思考方向更明確，將學(xué)生面對問題2時(shí)存在的思考困難提了出來。問題22將問題21的思考推向更遠(yuǎn)，讓學(xué)生嘗試構(gòu)建角這一幾何量。

教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生能夠借助幾何直觀，運(yùn)用類比方法，將直線AB平移到直線A1B1處，用相交直線A1B1與A1C1所成的銳角來刻畫直線A1C1相對于與它異面的直線AB的傾斜程度，由此將∠C1A1B1稱為異面直線AB與A1C1所成的角。對此，教師需要點(diǎn)明其中的數(shù)學(xué)思想方法：研究異面直線所成的角時(shí)，通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，這體現(xiàn)了研究立體幾何時(shí)基本的降維思想，即把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。

問題3根據(jù)問題2中的做法得到的角的大小是固定的嗎？

問題31運(yùn)用問題2中的方法，兩條異面直線所成的角有幾種可能？這些角都一樣大嗎？

問題32如圖2，如果將直線AB平移到與直線A1C1相交但不過點(diǎn)A1（而過A0）的位置，那么異面直線AB與A1C1所成的角是哪個(gè)角？兩次平移產(chǎn)生的兩個(gè)角相等嗎？

問題33如圖3，如果在空間中取一點(diǎn)A′，過點(diǎn)A′分別作A′B′∥AB， A′C′∥ A1C1，那么哪個(gè)角可以看成異面直線AB與A1C1所成的角？不同的平移方法所產(chǎn)生的角相等嗎？

上面的問題2旨在引導(dǎo)學(xué)生得出刻畫兩條異面直線中一條相對于另一條的傾斜程度的一種方法，問題3則轉(zhuǎn)向關(guān)于這個(gè)方法的一個(gè)核心問題的研究，即結(jié)果的唯一性。從數(shù)學(xué)思維的角度看，這是一個(gè)非常重要的問題，但學(xué)生很難想到，因此，要由教師提出來。同樣地，學(xué)生解決這一問題時(shí)也存在困難，因此，設(shè)計(jì)問題31和問題32這兩個(gè)輔助問題（子問題），使問題3變得更為具體。問題33則既是對前兩個(gè)子問題的進(jìn)一步拓展，也是對學(xué)生學(xué)習(xí)的一種檢驗(yàn)，體現(xiàn)了問題鏈教學(xué)中學(xué)習(xí)評價(jià)的伴隨性。

在問題3的系列研究中，需要引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出如下結(jié)論：空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ);異面直線可以通過平移變?yōu)橄嘟恢本€，從而求得其所成的角，而且所得結(jié)果與平移后交點(diǎn)的位置無關(guān)。并且在此過程中，自然而然地理解公理4（基本事實(shí)4），即空間直線平行的傳遞性和空間等角定理，讓知識的學(xué)習(xí)順理成章而不感突兀。

問題4能否定義兩條異面直線a與b所成的角？

問題4引導(dǎo)學(xué)生從特殊走向一般，繼續(xù)運(yùn)用降維轉(zhuǎn)化思想，水到渠成地建構(gòu)異面直線所成的角概念：經(jīng)過空間中任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的非鈍角叫作異面直線a與b所成的角（夾角）。

通過上述問題鏈的分階段探究，學(xué)生便經(jīng)歷了異面直線所成的角概念的形成過程，體會到其建構(gòu)的必要性和合理性。

問題5兩條異面直線a與b所成角的范圍是什么？

問題6長方體ABCDA1B1C1D1的所有棱中，與AB垂直的異面直線有幾條？

問題5是對異面直線所成的角概念最基本的性質(zhì)的探究。學(xué)生運(yùn)用定義，不難得到異面直線所成角的范圍。教師需要特別指出：當(dāng)所成的角為π2時(shí)，異面直線a、b互相垂直;同時(shí)需要提醒學(xué)生注意：兩條直線垂直分為相交垂直和異面垂直兩種情況，從而為后續(xù)垂直關(guān)系的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

而問題6則聚焦長方體中的異面垂直，是對問題5的進(jìn)一步延伸，也是對所得結(jié)論的進(jìn)一步應(yīng)用。

*本文系全國教育科學(xué)規(guī)劃課題教育部重點(diǎn)課題“指向深度理解的‘問題鏈教學(xué)研究”（編號：DHA200318）的階段性研究成果。

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