陳明 葉玲菊 張紅

摘要：數(shù)學(xué)美需通過(guò)具有探究性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)體驗(yàn)。數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)強(qiáng)調(diào)利用主干問(wèn)題及其關(guān)系驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的脈絡(luò)，因此，可以成為引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的重要方式。《平行四邊形角平分線問(wèn)題》一課，以問(wèn)題鏈為載體，讓學(xué)生：發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)，體驗(yàn)和諧美;繁中抽簡(jiǎn)，體驗(yàn)統(tǒng)一美;不斷拓展，體驗(yàn)生長(zhǎng)美。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}鏈教學(xué);數(shù)學(xué)探究;數(shù)學(xué)美;《平行四邊形角平分線問(wèn)題》

數(shù)學(xué)是美的，但“與一般的美感不同，數(shù)學(xué)美感主要是指因?yàn)槔斫狻⒄J(rèn)識(shí)或發(fā)現(xiàn)（或意識(shí)到、領(lǐng)悟到）某種數(shù)學(xué)內(nèi)在實(shí)質(zhì)、數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)或數(shù)學(xué)思想方法等而產(chǎn)生的愉悅感、滿足感、興奮感、新奇感等”;“深層的數(shù)學(xué)美感主要是在潛心思考后所獲得的靈感與頓悟中感受的，也是在超越自然后所獲的自由與統(tǒng)一中感受的”。因此，數(shù)學(xué)美需通過(guò)具有探究性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)體驗(yàn)——可以說(shuō)是，像數(shù)學(xué)家一樣，通過(guò)“火熱的思考”來(lái)體驗(yàn)“冰冷的美麗”。這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（研究）中比較高的境界。

數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)強(qiáng)調(diào)利用主干問(wèn)題及其關(guān)系驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的脈絡(luò)，因此，可以成為引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想、精神，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的重要方式。教學(xué)《平行四邊形角平分線問(wèn)題》一課時(shí)，我們便著力思考如何通過(guò)問(wèn)題鏈讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)數(shù)學(xué)美。

這節(jié)課是教學(xué)完平行四邊形的相關(guān)知識(shí)后的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課。其目的是，一方面讓學(xué)生綜合應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)，另一方面讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考、研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。其基本思路是，在作出平行四邊形一條角平分線的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)圖形中存在的等量關(guān)系、特殊對(duì)象等，研究圖形變化中的不變性（繁中抽簡(jiǎn)）;進(jìn)而在增加角平分線數(shù)量的基礎(chǔ)上，研究相關(guān)問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)性。

一、發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)，體驗(yàn)和諧美

結(jié)構(gòu)化是數(shù)學(xué)的一個(gè)典型特征，數(shù)學(xué)對(duì)象之間存在著各種各樣的關(guān)聯(lián)。而數(shù)學(xué)對(duì)象之間關(guān)聯(lián)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程能讓人體驗(yàn)到一種和諧美。在幾何中，這種美既體現(xiàn)在幾何對(duì)象的位置關(guān)系上，又體現(xiàn)在幾何對(duì)象的數(shù)量關(guān)系上。因此在教學(xué)中，教師要有意識(shí)地創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷幾何關(guān)系的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的和諧美。

問(wèn)題1如圖1，BE是平行四邊形ABCD中∠ABC的平分線。請(qǐng)仔細(xì)觀察，你能由此發(fā)現(xiàn)哪些幾何關(guān)系？

問(wèn)題1是這節(jié)課的起點(diǎn)性問(wèn)題，難度較低，可以引出課題和后續(xù)問(wèn)題（平行四邊形角平分線的有關(guān)問(wèn)題）。在教學(xué)中，教師直接呈現(xiàn)問(wèn)題1，讓學(xué)生自主探索。學(xué)生由于比較熟悉幾何圖形中的邊、角等基本元素，幾何對(duì)象的相等、比例等數(shù)量關(guān)系，平行、垂直等位置關(guān)系，以及特殊的幾何對(duì)象等幾何研究的基本角度，因此能夠自然地從上述角度出發(fā)尋找?guī)缀侮P(guān)系。比如，從角的相等關(guān)系角度發(fā)現(xiàn)∠ABE=∠EBC=∠AEB=∠FED=∠DFE，由此轉(zhuǎn)向線段相等關(guān)系的角度，發(fā)現(xiàn)AB=AE、FD=ED、FC=BC，進(jìn)而轉(zhuǎn)向特殊幾何對(duì)象的角度，發(fā)現(xiàn)△ABE、△DFE、△CFB均為等腰三角形。這樣，從平行四邊形的一條角平分線出發(fā)，發(fā)現(xiàn)豐富的角、邊的相等關(guān)系以及特殊的幾何對(duì)象，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)象之間的和諧美。而且，這些關(guān)系都是學(xué)生根據(jù)已知條件自己找出來(lái)的，因此，美的體驗(yàn)也更為強(qiáng)烈。

二、繁中抽簡(jiǎn)，體驗(yàn)統(tǒng)一美

米山國(guó)蔵認(rèn)為，數(shù)學(xué)中充滿著統(tǒng)一建設(shè)的精神，教師應(yīng)將這種精神教給學(xué)生。事實(shí)上，統(tǒng)一性既是數(shù)學(xué)發(fā)展中的一種精神追求，又為數(shù)學(xué)發(fā)展提供了一種方法論。歐幾里得的《幾何原本》和布爾巴基學(xué)派的公理化運(yùn)動(dòng)即是這一方面的典型例證。具體地，統(tǒng)一性旨在尋求紛繁多樣的數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)問(wèn)題背后數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想上的一致性或相似性，明晰數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯，因此，能讓人感受到發(fā)現(xiàn)變化中的不變性（繁中抽簡(jiǎn)）后的統(tǒng)一美。在教學(xué)中，教師要有意識(shí)地滲透一般化思想，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化中的不變性。

問(wèn)題2是否從平行四邊形所有內(nèi)角的平分線出發(fā)都能得到上述結(jié)論？

問(wèn)題3是否從所有平行四邊形出發(fā)都能產(chǎn)生上述結(jié)論？

問(wèn)題1給定了一個(gè)特殊平行四邊形的一個(gè)特殊角。因此，站在一般化的角度，學(xué)生容易提出問(wèn)題2和問(wèn)題3。具體地，有學(xué)生由圖1自然會(huì)想到∠ABC與∠BAD（或∠BCD）是有差異的，甚至懷疑∠ABC與∠CDA也是有差異的，于是提出問(wèn)題2;也有學(xué)生由圖1自然會(huì)想到平行四邊形ABCD的位置（形狀）比較特殊，還能畫(huà)出其他位置（形狀）的平行四邊形（如圖2—圖4），于是提出問(wèn)題3。

在教學(xué)中，教師沒(méi)有直接讓學(xué)生一個(gè)個(gè)地探究問(wèn)題2和問(wèn)題3中的各種情況，而是組織學(xué)生先思考問(wèn)題2中的四個(gè)角能否分類、歸并，問(wèn)題3中的四種位置（形狀）具有怎樣的內(nèi)在關(guān)系，并通過(guò)“畫(huà)圖—旋轉(zhuǎn)（翻折）—觀察—分析”的方法來(lái)解決。具體地，針對(duì)問(wèn)題2，要求學(xué)生畫(huà)出角平分線，直觀感受角平分線與邊交點(diǎn)的位置;進(jìn)而以兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為中心，將平行四邊形順（逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，發(fā)現(xiàn)∠ABC與∠CDA重合，∠BAD與∠DCB重合;因此，只需要再討論是否從∠BAD的平分線出發(fā)也能得到上述結(jié)論。針對(duì)問(wèn)題3，要求學(xué)生先在紙上畫(huà)出圖1—圖4所示的平行四邊形，然后從紙的反面看圖2，發(fā)現(xiàn)與圖1一樣;以兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為中心，將圖3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，發(fā)現(xiàn)與圖2一樣;以兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為中心，將圖4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，發(fā)現(xiàn)與圖1一樣;因此，只需要研究是否從圖1所示的平行四邊形出發(fā)能夠得到上述結(jié)論。基于此，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)變化中的不變性。

問(wèn)題4圖1中點(diǎn)E的位置一定在邊AD上嗎？為什么？

聚焦角平分線與邊交點(diǎn)的位置，學(xué)生還能提出一般化問(wèn)題，即問(wèn)題4。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生借助問(wèn)題1中線段的等量關(guān)系，利用邏輯推理，反向畫(huà)出交點(diǎn)在邊AD上、與頂點(diǎn)D重合、在邊AD延長(zhǎng)線上等三種情況的平行四邊形。同時(shí)，將其與問(wèn)題3聯(lián)系起來(lái)，使問(wèn)題3中的四種位置（形狀）與問(wèn)題1中的基本圖形建立起另一重關(guān)聯(lián)，從而更加強(qiáng)化對(duì)統(tǒng)一美的體驗(yàn)。

三、不斷拓展，體驗(yàn)生長(zhǎng)美

數(shù)學(xué)文化觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)是人類的一項(xiàng)創(chuàng)造性活動(dòng)，本質(zhì)上不是先驗(yàn)的、固化的，而是經(jīng)驗(yàn)的、生長(zhǎng)的。在教學(xué)中，教師要不斷地拓展內(nèi)容（增加對(duì)象），深化認(rèn)識(shí)（綜合思考），讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的生長(zhǎng)美。

問(wèn)題5剛才的研究聚焦于平行四邊形的一條角平分線所引發(fā)的問(wèn)題，如果在圖1中增加角平分線的數(shù)量，又能引發(fā)哪些問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)什么幾何關(guān)系呢？

問(wèn)題5是在問(wèn)題1基礎(chǔ)上拓展內(nèi)容（增加角平分線的條件）提出的更具復(fù)雜性和周延性的問(wèn)題。針對(duì)問(wèn)題5，學(xué)生能夠畫(huà)出圖5，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)更多的幾何關(guān)系。比如，AE∥CH，BG∥DF，AE⊥BG，AE⊥DF，CH⊥BG，CH⊥DF（平行四邊形對(duì)角的平分線相互平行，鄰角的平分線相互垂直）;四邊形ADEF、BCGH為菱形，四邊形IJKM是長(zhǎng)方形等。此外，圖中還有很多等腰三角形、直角三角形和平行四邊形。探索這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)這些結(jié)論，是一種美妙的“生長(zhǎng)”體驗(yàn)。

問(wèn)題6平行四邊形兩個(gè)內(nèi)角的平分線相交時(shí)，交點(diǎn)在什么位置？

聚焦兩條角平分線交點(diǎn)的位置，學(xué)生還能提出一般化問(wèn)題，即問(wèn)題6。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，類比遷移問(wèn)題4的探究經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快感覺(jué)到，雖然圖5中兩條角平分線的交點(diǎn)I、J、K、M都在平行四邊形內(nèi)部，但它們也可能在平行四邊形邊上或外部;類比遷移問(wèn)題2和問(wèn)題3的探究經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到，考慮到對(duì)稱性，只需要研究圖5中點(diǎn)K的位置。具體地，當(dāng)DE+CG>CD，即2AD>CD時(shí)，點(diǎn)K在平行四邊形ABCD內(nèi)部;當(dāng)DE+CG=CD，即2AD=CD時(shí)，點(diǎn)K在邊CD上，且是邊CD的中點(diǎn);當(dāng)DE+CG

問(wèn)題7如圖6，四邊形ABCD是平行四邊形，P是邊CD上一點(diǎn)，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，如果AD=5 cm，AP=8 cm，求△APB的周長(zhǎng)。

聚焦問(wèn)題6中兩條角平分線交點(diǎn)的特殊位置，即在平行四邊形邊上的情況，學(xué)生可以根據(jù)問(wèn)題5中得到的幾何關(guān)系，編制出諸如問(wèn)題7的習(xí)題（并解決）。這也是一種體驗(yàn)數(shù)學(xué)生長(zhǎng)美的方式。

總之，本節(jié)課以問(wèn)題鏈為載體，引導(dǎo)（驅(qū)動(dòng)）學(xué)生深入探究，不斷發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，從中感受數(shù)學(xué)的思想和精神，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)美。

*本文系浙江省教研項(xiàng)目“基于問(wèn)題鏈的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)探索”（編號(hào)：G2019156）、全國(guó)教育科學(xué)規(guī)劃課題教育部重點(diǎn)課題“指向深度理解的‘問(wèn)題鏈教學(xué)研究”（編號(hào)：DHA200318）的階段性研究成果。

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