徐斌

摘 要：復(fù)習(xí)不僅是對(duì)所學(xué)知識(shí)的整理與回顧，而且要在此過(guò)程中達(dá)到知識(shí)的結(jié)構(gòu)化。只有結(jié)構(gòu)化的知識(shí)才能使學(xué)生有能力去解決問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)的素養(yǎng)。更重要的是，在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的過(guò)程中，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一，感悟數(shù)學(xué)的美，這種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的美好體驗(yàn)，對(duì)于形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)起著積極的作用。

關(guān)鍵詞：面積；復(fù)習(xí)；數(shù)學(xué)美；體驗(yàn)

下面是《平面圖形面積的總復(fù)習(xí)》一課的一個(gè)教學(xué)片斷，教師在復(fù)習(xí)了平面圖形的面積計(jì)算公式和推導(dǎo)過(guò)程之后，又組織學(xué)生對(duì)公式進(jìn)行比較，找聯(lián)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理。

師：你能根據(jù)公式之間的聯(lián)系，把這些知識(shí)整理成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)嗎？把你的想法說(shuō)給同伴聽(tīng)，然后合作畫(huà)出簡(jiǎn)圖，并用箭頭連接，表示出各種圖形的聯(lián)系。

小組合作完成，交流。

師：在小學(xué)階段，我們首先學(xué)習(xí)的是長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，這是為什么呢？

生：長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式是基礎(chǔ)，因?yàn)槠渌墓蕉际歉鶕?jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出來(lái)的。

師：這些推導(dǎo)過(guò)程有什么相同的地方？

生：都是用了轉(zhuǎn)化的方法。我們?cè)谔接懸环N新圖形的面積公式時(shí)，都是把它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形。

師：轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)很多地方都用得到它。

一、教學(xué)思考

1. 僅從推導(dǎo)過(guò)程中將面積計(jì)算公式聯(lián)系起來(lái)夠嗎？

在上述教學(xué)片斷中，學(xué)生根據(jù)計(jì)算公式之間的聯(lián)系，自主整理，將公式的推導(dǎo)過(guò)程有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，使平時(shí)所學(xué)的零碎知識(shí)結(jié)成網(wǎng)，連成片。同時(shí)，在復(fù)習(xí)整理的過(guò)程中，注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、反思，有機(jī)地結(jié)合所復(fù)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。但筆者覺(jué)得這樣教學(xué)不夠完美。既然要將所學(xué)知識(shí)連成片，我們不能僅僅從計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程中將公式聯(lián)系起來(lái)，從一些外在的形式上找知識(shí)之間的聯(lián)系，還應(yīng)該讓學(xué)生深入公式的內(nèi)部，探索公式之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生的深度思維。

2. 如何讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一美？

還有很重要的一點(diǎn)，復(fù)習(xí)的目標(biāo)，不能僅限于知識(shí)的梳理，我們是否可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)情感等方面有一個(gè)全面的提升？讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的“量”達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，在“質(zhì)”上有飛躍，并在數(shù)學(xué)情感方面有所升華，這才是復(fù)習(xí)應(yīng)有的教學(xué)目標(biāo)。當(dāng)學(xué)生將零碎的數(shù)學(xué)知識(shí)整理成一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)后，學(xué)生通過(guò)思考、交流，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)圖形之間的特殊與一般的關(guān)系，計(jì)算公式中的特殊與一般的關(guān)系，圖形的外在特征與內(nèi)部量的屬性統(tǒng)一協(xié)調(diào)的關(guān)系。當(dāng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這些公式間存在著密切的聯(lián)系，并形成一個(gè)具有統(tǒng)一美的嚴(yán)謹(jǐn)系統(tǒng)時(shí)，那種對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在高度統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)與驚嘆會(huì)油然而生。

基于以上思考，筆者對(duì)本課的復(fù)習(xí)進(jìn)行了再實(shí)踐。

師：長(zhǎng)方形的面積為什么是用長(zhǎng)乘以寬？

生：長(zhǎng)表示每排可放多少個(gè)小正方形，寬表示一共有幾排。求一共多少個(gè)，就是長(zhǎng)乘以寬。

師：計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，實(shí)際上我們是用直接擺面積單位的方法求得的。

【設(shè)計(jì)意圖】計(jì)算面積，實(shí)際上是計(jì)算圖形中所含面積單位的個(gè)數(shù)。如何讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)？復(fù)習(xí)長(zhǎng)方形面積的推導(dǎo)過(guò)程，回到最原始的方法，更利于學(xué)生從根源上認(rèn)識(shí)其本質(zhì)。

師：我們首先學(xué)習(xí)的是長(zhǎng)方形的面積，這是為什么呢？有什么想法先在小組里交流一下。

生：長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是基礎(chǔ)，其他圖形的面積計(jì)算公式是以長(zhǎng)方形為基礎(chǔ)推出來(lái)的。

師：可不可以先學(xué)平行四邊形的面積，再在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)其他圖形的面積計(jì)算公式？

生：不行。平行四邊形的角不是直角，擺正方形不好擺。

師：與其他的四邊形相比，長(zhǎng)方形比較特殊，四個(gè)角都是直角，里面擺小正方形有優(yōu)勢(shì)。

師：在研究了長(zhǎng)方形的面積之后，我們研究其他的平面圖形的面積，還需要擺小正方形嗎？為什么？

生：不需要，因?yàn)槎紱](méi)有直接計(jì)算，都是轉(zhuǎn)化為其他圖形計(jì)算的。

師：都是間接計(jì)算的。在小組里說(shuō)一說(shuō)其他圖形的面積的推導(dǎo)過(guò)程。

小組交流。

【設(shè)計(jì)意圖】計(jì)算長(zhǎng)方形的面積是直接測(cè)量的，其他圖形的面積則可看作是經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后的再測(cè)量，屬于間接測(cè)量。兩者相比較，突出了求面積的實(shí)質(zhì)是求面積單位的多少，同時(shí)也突出了轉(zhuǎn)化的思想方法。

師：從這些公式的推導(dǎo)過(guò)程中，我們可以發(fā)現(xiàn)它們之間不是孤立的，而是有內(nèi)在聯(lián)系的。你能根據(jù)公式之間的聯(lián)系，畫(huà)一幅圖讓人一眼就看出6個(gè)平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)方法之間的聯(lián)系嗎？

小組合作擺“網(wǎng)絡(luò)圖”，學(xué)生匯報(bào)并說(shuō)明：為什么這樣擺？怎樣擺更合理些？

師出示教材中的網(wǎng)絡(luò)圖（如圖1）：

圖1

引導(dǎo)學(xué)生觀察：想一想，為什么這樣擺？你能看出這些箭頭表示的意義嗎？

生：從左往右，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式可以推導(dǎo)出其他圖形的面積公式。長(zhǎng)方形的面積計(jì)算是基礎(chǔ)，正方形看成是特殊的長(zhǎng)方形；由長(zhǎng)方形的面積公式可以推導(dǎo)出平行四邊形、圓的面積公式；由平行四邊形的面積公式又可以推導(dǎo)出三角形和梯形的面積公式。

師：從右往左看，我們?cè)谔接懸环N新的圖形面積計(jì)算時(shí)，都是把它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形。所以我們要注重新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，并把新知轉(zhuǎn)化成舊知。

【設(shè)計(jì)意圖】新課標(biāo)倡導(dǎo)自主探索的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)過(guò)程要讓學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行自主梳理，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造能力。自主整理不是放羊，讓教師喪失其主導(dǎo)地位，而是教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問(wèn)題，從不同的角度找到統(tǒng)一點(diǎn)，構(gòu)建不同的、屬于學(xué)生自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖。

師：從圖形的外觀上比一比，想一想：與三角形、梯形相比，計(jì)算長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、圓形的面積時(shí)，為何不除以2？

生：因?yàn)闆](méi)用兩個(gè)完全一樣的圖形來(lái)拼。

生：長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的上、下都一樣大，圓的四周也一樣，而三角形和梯形不是這樣的。

師：在推導(dǎo)三角形、梯形的面積公式時(shí)都是轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的。當(dāng)延長(zhǎng)梯形的上底與下底相等時(shí)——

生：就成了平行四邊形。

師：當(dāng)梯形的上底縮短為一個(gè)點(diǎn)時(shí)——

生：就成為三角形。

師：梯形可以變化為這兩種圖形，那它的面積計(jì)算公式適用于計(jì)算這兩種圖形的面積嗎？

生：可以。變化為三角形時(shí)，上底為0，所以還是底乘高的積除以2；變化為平行四邊形時(shí)，上、下底相等，底乘2乘高再除以2，還是底乘高。

生：我發(fā)現(xiàn)用梯形的面積計(jì)算公式還可以計(jì)算長(zhǎng)方形的面積……

生：我還發(fā)現(xiàn)圓的面積也可以用梯形的面積計(jì)算公式計(jì)算……

……

【設(shè)計(jì)意圖】從圖形的外觀特征上找出面積計(jì)算公式之間的異同，目的是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到每個(gè)圖形的外表與內(nèi)在的統(tǒng)一；以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看，我們可以把梯形看成是平行四邊形和三角形的一般形式，而平行四邊形和三角形是梯形的極端情形，梯形的上底延伸至與下底相等或上底縮短為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，就成了平行四邊形或三角形。而當(dāng)學(xué)生以這種運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)思考圖形及其面積計(jì)算公式時(shí)，就打通了計(jì)算公式之間的內(nèi)部聯(lián)系，學(xué)生在數(shù)學(xué)思考中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一美。

二、教學(xué)反思

1. 比較，感受數(shù)學(xué)之美

學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)思考、交流，發(fā)現(xiàn)圖形之間的面積計(jì)算的一致性與差異性與圖形的特征（外觀）有著密切聯(lián)系，體會(huì)到每個(gè)圖形的外部特征與內(nèi)在數(shù)量化有著一致性，感受到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，這是縱向比較；而發(fā)現(xiàn)梯形的面積計(jì)算公式普遍適用于三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形甚至圓形后，完成對(duì)公式的統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，這是橫向比較。這種由公式表現(xiàn)出來(lái)的統(tǒng)一美，正是幾何知識(shí)系統(tǒng)內(nèi)在統(tǒng)一的體現(xiàn)。當(dāng)然，僅僅通過(guò)面積計(jì)算公式的復(fù)習(xí)，就想讓學(xué)生折服于數(shù)學(xué)完美的統(tǒng)一性是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。這種教學(xué)的意義還在于，能讓學(xué)生將這種關(guān)系自然拓展到其他的幾何圖形的知識(shí)，比如體積計(jì)算公式、周長(zhǎng)計(jì)算公式等。通過(guò)這樣的比較，學(xué)生會(huì)覺(jué)得所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)一下子有了豁然開(kāi)朗、經(jīng)脈被打通的感覺(jué)。經(jīng)過(guò)多種知識(shí)的溝通后，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的完美統(tǒng)一一定會(huì)有較深刻的體驗(yàn)。

2. 思考，促進(jìn)美感升華

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的感覺(jué)不僅僅來(lái)自于美麗的外在（美觀對(duì)稱的圖案）。通過(guò)學(xué)生深層次的思考，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的感受才更深刻。當(dāng)學(xué)生整理知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)公式之間的相互聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)梯形的面積計(jì)算公式能普遍適用于三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形甚至圓形，并形成一個(gè)具有統(tǒng)一美的嚴(yán)謹(jǐn)系統(tǒng)時(shí)，那種對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在高度統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)與驚嘆會(huì)油然而生。這是思考后的感受，能在學(xué)生頭腦中留下深深的印記，持久地影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感情，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著積極的推動(dòng)作用。