陳衛(wèi)軍　李文靖

【摘 要】數(shù)學(xué)核心知識(shí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的載體。教師在數(shù)學(xué)課堂中將數(shù)學(xué)核心知識(shí)的本質(zhì)展現(xiàn)在學(xué)生面前，能夠培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心能力，彰顯“問(wèn)題源于學(xué)生，方法學(xué)生找，思路學(xué)生講，困難學(xué)生破”的教學(xué)理念。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);核心知識(shí);核心能力;思維訓(xùn)練

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）34-0020-03

數(shù)學(xué)核心知識(shí)是一些基本原理和基本關(guān)系，適用范圍廣，它們?cè)跀?shù)學(xué)課程和教材中處于重要的、不可或缺的基礎(chǔ)地位，具有內(nèi)在邏輯的連貫性和一致性。數(shù)學(xué)高度抽象和概括的特征決定了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)知識(shí)框架的構(gòu)建過(guò)程。數(shù)學(xué)核心能力綜合體現(xiàn)出學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)態(tài)度等方面的掌握情況[1]。

本文以“確定二次函數(shù)的表達(dá)式”為例，主要利用問(wèn)題的開放性激發(fā)學(xué)生的參與意識(shí)，帶動(dòng)學(xué)生參與到課堂中來(lái)。

1? ?聯(lián)系轉(zhuǎn)化，深度融合

數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系的，很多新知識(shí)都是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上形成和發(fā)展而來(lái)。對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，只有把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系性，才能真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在日常教學(xué)中，教師不能只對(duì)單個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，而應(yīng)當(dāng)進(jìn)行必要的組織教學(xué)，讓學(xué)生及時(shí)掌握知識(shí)的關(guān)聯(lián)性和整體性，發(fā)展其思維能力。為了讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，筆者在“確定二次函數(shù)的表達(dá)式”一課的設(shè)計(jì)中做了如下嘗試。

問(wèn)題1：你能根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式快速得到圖象的哪些特征？填寫表1并畫出它們的圖象。

問(wèn)題2：解決問(wèn)題1后，你發(fā)現(xiàn)了什么？能解釋其中的原因嗎？

發(fā)現(xiàn)1：開口方向與大小是一樣的，因?yàn)閍都等于1/2。

發(fā)現(xiàn)2：拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)也是一樣的。

發(fā)現(xiàn)3：畫出來(lái)的函數(shù)圖象也是一樣的。

發(fā)現(xiàn)4：二次函數(shù)的三種表達(dá)形式各有特征與優(yōu)勢(shì)：三種都能快速看出拋物線的開口方向;頂點(diǎn)式能快速看出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);交點(diǎn)式能快速看出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);一般式能快速看出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

問(wèn)題3：這三種二次函數(shù)的表達(dá)式能相互轉(zhuǎn)化嗎？你有轉(zhuǎn)化的方法嗎？（答案如圖1所示）

三個(gè)問(wèn)題層層遞進(jìn)，能夠讓學(xué)生體會(huì)到二次函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系。通過(guò)畫二次函數(shù)圖象，建立圖象與表達(dá)式之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的理解，再次領(lǐng)會(huì)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征。同時(shí)將開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)與二次函數(shù)的表達(dá)式緊密聯(lián)系起來(lái)。鞏固整式恒等變形的基本技能（如完全平方公式、平方差公式的使用）、數(shù)學(xué)基本方法（如因式分解、配方）的使用，體會(huì)數(shù)學(xué)中的恒等意義與轉(zhuǎn)化思想。

2? ?類比引領(lǐng)，方法生成

類比是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有力工具之一。類比思想可以構(gòu)建起新舊知識(shí)間的橋梁，在新事物的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中起重要作用。培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，提高學(xué)生的類比遷移能力，有助于幫助學(xué)生養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)和歸納的良好思維習(xí)慣。教師在課堂上要利用類比思想來(lái)優(yōu)化學(xué)生的思維模式，以達(dá)到更好的教學(xué)效果[2]。在“確定二次函數(shù)的表達(dá)式”一課中，筆者為滲透類比思想設(shè)計(jì)了以下環(huán)節(jié)。

問(wèn)題4：我們知道：

（1）確定反比例函數(shù)的表達(dá)式 y=k/x（k≠0）需

要________個(gè)條件，為什么？（需要一個(gè)條件，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)待定系數(shù)k）

（2）確定一次函數(shù)的表達(dá)式 y=kx+b（k≠0）需

要_________個(gè)條件，為什么？（需要兩個(gè)條件，因?yàn)橛袃蓚€(gè)待定系數(shù)k和b）

（3）試問(wèn)：確定二次函數(shù)的表達(dá)式 y=ax+bx+

c（a≠0）需要___________個(gè)條件，你能說(shuō)明你猜想的理由嗎？（需要三個(gè)條件，因?yàn)橛腥齻€(gè)待定系數(shù)a、b、c）

通過(guò)類比確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達(dá)式所需條件，并猜想確定二次函數(shù)表達(dá)式所需條件，喚醒學(xué)生用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的意識(shí)，促成學(xué)生能力的遷移和發(fā)展，初步感受到確定二次函數(shù)表達(dá)式所需的條件，同時(shí)滲透類比思想[3]。

3? ?數(shù)形結(jié)合，難點(diǎn)突破

初中數(shù)學(xué)研究的對(duì)象主要是數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的。為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，感受數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，在“確定二次函數(shù)的表達(dá)式”一課中筆者設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)。

問(wèn)題5：如圖2，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（3，0）和（2，3），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。（你有哪些方法，試一試，思考為什么你要這樣做？）

【解法一】因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0）和（2，3）。

【解法二】因?yàn)椋?，0），（3，0）是拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，所以設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=a（x?1）（x?3）。

又因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)（2，3），有3=a（2?1）（2?3），

解之得：a=?3，

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=?3（x?1）（x?3）。

【解法三】因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)（1，0），（3，0），所以對(duì)稱軸為x=2。

因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)（2，3），所以點(diǎn)（2，3）是拋物線的頂點(diǎn)。

所以設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=a（x?2）+3，

又因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)（3，0），有0=a（3?2）+3，

解之得：a=?3，

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=?3（x?2）+3。

借助圖象特征是研究函數(shù)性質(zhì)的常用方法。函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。在課堂上讓學(xué)生將原生態(tài)解法、真實(shí)思維展露出來(lái)，凸顯了經(jīng)驗(yàn)下的類比，使其再次感受二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式、一般式各自反映的圖象特征。相比解法一，解法二借助了二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，解法三借助了二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以解答過(guò)程更簡(jiǎn)潔。在此過(guò)程中學(xué)生也感受到了數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢(shì)。

4? ?一題多解，深入探究

一題多解，就是要啟迪學(xué)生通過(guò)不同的角度、不同的思路、不同的計(jì)算方法來(lái)解決同一個(gè)問(wèn)題。一題多解可以讓不同的學(xué)生都有展示自己思維的舞臺(tái)，學(xué)生從不同層次、不同方法、不同思路去思考并進(jìn)行交流可以極大地開闊學(xué)生思路、發(fā)散學(xué)生思維，也增加了解題的新穎性和趣味性，更增加了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的信心和興趣。

問(wèn)題6：已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（?1，0），你能確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式嗎？你有幾種方法？

【解法一】因?yàn)閳D象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），

所以設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=a（x?2）+3，

圖象又經(jīng)過(guò)點(diǎn)（?1，0），故有0=a（?1?2）+3，

解之得：a=1/3，

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=1/3（x?2）+3。

【解法二】因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），所以對(duì)稱軸為x=2，圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（?1，0），由對(duì)稱性，另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），

所以設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=a（x?1）（x?5），

因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），故有3=a（2+1）（2?5），

解之得：a=1/3，

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=1/3（x+1）（x?5）。

【解法三】二次函數(shù) y=ax+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（?1，0），

有的學(xué)生做到此步，沒(méi)有辦法做下去了，陷入了困惑之中，懷疑缺少必要的條件。

【解法四】二次函數(shù) y=ax+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（?1，0），

學(xué)生也陷入了解三元方程組的泥潭之中，無(wú)法解題。

【解法四的完善方案】二次函數(shù) y=ax+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（?1，0），

由②得b=?4a，代入①可得c=?5a，

一題多解搭建了語(yǔ)言交流與思維碰撞的平臺(tái)，讓學(xué)生的思維得到了發(fā)散。通過(guò)展示學(xué)生的解答過(guò)程、組織學(xué)生討論等途徑，能夠讓學(xué)生在解題中學(xué)會(huì)分析，在交流中學(xué)會(huì)選擇，能依據(jù)已知條件靈活選擇、求出二次函數(shù)的表達(dá)式，引導(dǎo)學(xué)生形成善于觀察、勤于動(dòng)腦的習(xí)慣。同時(shí)學(xué)生也感悟到了二次函數(shù)三類表達(dá)式的歸一性，感受到數(shù)學(xué)高階思維——對(duì)比與選擇思想的運(yùn)用。通過(guò)完善解法三和解法四，加深學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的理解，特別是頂點(diǎn)坐標(biāo)，它不僅是圖象經(jīng)過(guò)的一個(gè)點(diǎn)，還表示拋物線的對(duì)稱軸，有了對(duì)稱軸，就可以利用對(duì)稱性找到圖象過(guò)的另一個(gè)點(diǎn)，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。讓學(xué)生直面問(wèn)題，充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)，給學(xué)生一定的思考空間，充分體現(xiàn)“問(wèn)題源于學(xué)生，方法學(xué)生找，思路學(xué)生講，困難學(xué)生破”的教學(xué)理念。

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要盡可能地讓學(xué)生在有一定“思維含金量”的地方充分展現(xiàn)知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生能在解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)知識(shí)的創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)，使其有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題。教師要把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知過(guò)程，將基本知識(shí)與基本技能等給學(xué)生清楚地展示出來(lái);同時(shí)又把隱含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化凸顯出來(lái)，讓學(xué)生在掌握知識(shí)與技能的基礎(chǔ)上感悟數(shù)學(xué)的魅力，從而掌握數(shù)學(xué)方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)到有“根”的數(shù)學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2]邢成云.類比引領(lǐng)，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，方法生成[J].中學(xué)數(shù)學(xué)初中版，2014（1）.

[3]王眉燕.滲透數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.小學(xué)版，2017（5）.