陳建華　衛(wèi)聞逸　蘇韻

【摘 要】矩陣作為大學數(shù)學的重要工具，其意義不言而喻。從知識層面而言，矩陣是研究線性方程組、二次型、歐氏空間等的基石;從解題角度來說，借助矩陣解題也是常用的解題手段。在大學數(shù)學的學習過程中，許多學生對解題的理解大多停留在套路和題型上，由于邏輯思維能力的欠缺而缺乏自主分析解題思路與方法的能力，導致解題過程比較僵化。本文結(jié)合“波利亞—如何解題”思想，借助分解思想對矩陣的解題展開討論，從高次冪矩陣、行列式、正定矩陣三個方面探究矩陣分解在解題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】矩陣分解思想;解題意義;高次冪;行列式

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0001-02

數(shù)學解題先驅(qū)喬治·波利亞的《怎樣解題》一書中的“怎樣解題表”將數(shù)學解題分為四個階段：理解題目、擬定計劃、實施計劃、驗算結(jié)果。而分解思想能把復雜問題分解成若干簡單子結(jié)構(gòu)以簡化解題過程。矩陣運算在高等代數(shù)中至關(guān)重要。本文從高次冪、行列式、正定矩陣三方面說明矩陣分解思想的解題意義[1]。

1? ?矩陣高次冪求解問題剖析

矩陣冪計算是典型的高等代數(shù)問題。低次冪矩陣可直接用矩陣乘法定義運算，高次冪矩陣可用特征多項式、二項式展開、數(shù)學歸納等方法求解，但這些方法較復雜，而約當標準型定理的誕生為矩陣分解求高次冪奠定了基礎(chǔ)。求高次冪的關(guān)鍵是將復雜矩陣分解為簡單矩陣：矩陣乘法結(jié)合律可解秩為1的矩陣高次冪問題，相似對角化定理和約當標準型定理可分別解可對角化和不可對角化的矩陣高次冪問題[2-4]。

1.1? 秩為1的矩陣高次冪問題

1.2? 可對角化的矩陣高次冪問題

1.3? 不可對角化的矩陣高次冪問題

2? ?行列式計算問題探究

3? ?正定矩陣的判定

分解思想在高等代數(shù)的解題中具有非常重要的作用。教師在教學中要融入數(shù)學思想，以問題為出發(fā)點，以數(shù)學思想方法為主線，以解決問題為目的展開探究，讓學生發(fā)揮積極性與主動性，使高等代數(shù)教學成為一個發(fā)展與培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質(zhì)的過程。

【參考文獻】

[1]楊子胥.高等代數(shù)精選題解[M].北京：高等代數(shù)出版社，2008.

[2]閆樹熙.方陣高次冪求解研究[D].榆林：榆林學院，2012.

[3]邵逸民.秩為1矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用[J].大學數(shù)學，2010（5）.

[4]李根深.波利亞教我們怎樣啟發(fā)學生思考[J].數(shù)學教學研究，2004（3）.

【作者簡介】

陳建華（1963～），男，漢族，江蘇南通人，碩士，副教授。研究方向：數(shù)學教育與代數(shù)環(huán)論。

蘇韻（2000～），女，漢族，江蘇泰州人，本科，揚州大學數(shù)學科學學院數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學（師范）專業(yè)2018級在讀本科生。研究方向：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學。

【通訊作者】

衛(wèi)聞逸（2000～），女，漢族，江蘇省蘇州市，本科，揚州大學數(shù)學科學學院數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學（師范）專業(yè)2018級在讀本科生。研究方向：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學。