唐保祥, 任 韓

(1.天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 天水 741001；2.華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 上海 200062)

1 預(yù)備知識(shí)

圖完美對(duì)集的計(jì)數(shù)理論有廣泛的應(yīng)用,也有重要的理論意義[1-3].目前還沒(méi)有統(tǒng)一的方法求一般圖完美對(duì)集的數(shù)目.但是,分類(lèi)嵌套遞推理方法是計(jì)算許多圖類(lèi)完美對(duì)集數(shù)的有效方法[4-10].

定義1 若圖G有一個(gè)1-正則生成子圖P,則稱(chēng)這個(gè)生成子圖P為圖G的完美對(duì)集.

定義2 設(shè)圖G是一個(gè)有完美對(duì)集的圖,若圖G的兩個(gè)完美對(duì)集P1和P2中有一條邊不同,則稱(chēng)P1和P2是G的兩個(gè)不同的完美對(duì)集.

圖1 圖2-nK2,2,2 Fig.1 Figure of 2-nK2,2,2

圖2 圖2-2nK2,1,1,1 Fig.2 Figure of 2-2nK2,1,1,1

2 結(jié)果及其證明

定理1 設(shè)圖2-nK2,2,2的完美對(duì)集數(shù)為ρ(n),則

證明圖2-nK2,2,2存在完美對(duì)集是明顯的.欲求ρ(n)的解析式,先定義圖G1并求出它的完美對(duì)集數(shù)的遞推式.把路ab的端點(diǎn)a,b分別與圖2-nK2,2,2頂點(diǎn)u11,w11連接一條邊,得到的圖記為G1,如圖3所示.

圖3 圖G1 Fig.3 Figure of G1

圖G1顯然有完美對(duì)集,π(n)表示圖G1的完美對(duì)集的數(shù).設(shè)圖G1完美對(duì)集的集合為P,圖G1包含邊ab,au11的完美對(duì)集集合分別為P1,P2,則P1∩P2=?,P=P1∪P2,故π(n)=|P|=|P1|+|P2|.

因?yàn)閍b∈P1所以au11,bw11?P1,由ρ(n)的定義知,|P1|=ρ(n).

位一直走到窗戶(hù)旁邊，再走回來(lái)。我按他的話(huà)向前走，心里卻十分尷尬。他斜靠在椅背上，手掌托著下巴，神情十分嚴(yán)肅。走完一個(gè)來(lái)回后，我又重新站到他的面前，然而他一句話(huà)也沒(méi)說(shuō)。為了掩飾我的窘態(tài)，我的眼睛一直沒(méi)從放在那張空椅下的鞋子上移開(kāi)。

π(n)=ρ(n)+2ρ(n-1)

(1)

故|P2|=π(n-1)+ρ(n-1).

故|P3|=ρ(n-1)+π(n-1).

綜上所述,

ρ(n)=6ρ(n-1)+2π(n-1)

(2)

把(1)式代入(2)式,得

ρ(n)=8ρ(n-1)+4ρ(n-2)

(3)

故遞推式(6)的通解為

式中c1,c2為待定常數(shù).

由圖4知,ρ(1)=8.

圖4 圖G2 Fig.4 Figure of G2

由圖5知,π(1)=10.

圖5 圖G3 Fig.5 Figure of G3

所以由(2)得,ρ(2)=68.故

定理2 設(shè)圖2-2nK2,1,1,1的完美對(duì)集數(shù)為η(2n),則η(2n)=8n.

證明顯然圖2-2nK2,1,1,1有完美對(duì)集.設(shè)圖2-2nK2,1,1,1完美對(duì)集的集合為P,圖2-2nK2,1,1,1含邊u13v11,u13v12的完美對(duì)集集合分別為P1,P2,則P1∩P2=?,P=P1∪P2,故η(2n)=|P|=|P1|+|P2|.

|P1|=4η(2n-1)

故|P2|=4η(2n-1).

所以η(2n)=8η(2(n-1))=L=8n-1η(2×1).

由圖6知，η(2×1)=8.故η(2n)=8n.

圖6 圖G4 Fig.6 Figure of G4