范學慧 ，劉明明 ，2

（1.江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學院智能制造學院，江蘇徐州221000；2.江蘇大學機械工程學院，江蘇鎮(zhèn)江212013）

隨著工業(yè)技術(shù)水平的不斷提高，人們在多種工作場景中都需要對重物進行搬運等操作，此時起重機就發(fā)揮了其獨特的優(yōu)勢［1］。液壓起重機依靠其可控性好、工作效率高以及抗干擾能力強等特點，被人們廣泛應(yīng)用于房屋建筑、物流倉儲以及林業(yè)種植等多個生活領(lǐng)域。正由于其在人們生活中的廣泛應(yīng)用，對其運動軌跡的控制進行研究就顯得具有一定的實用價值［2-3］。

通過專家學者的研究，目前出現(xiàn)了一些液壓起重機軌跡跟蹤的方法。例如，Daniel 等［4］通過對軌跡規(guī)劃算法和運動控制方法進行研究，設(shè)計了一種基于傳感器測量跟蹤參考軌跡的反饋控制器，用于控制液壓起重機的運動軌跡。文獻［5］中采用非線性模型預測控制實現(xiàn)協(xié)調(diào)動作，對液壓起重機軌跡控制過程所需數(shù)值進行處理，從而使得目標函數(shù)最小化，以實現(xiàn)液壓起重機的軌跡控制。Wu 等［6］設(shè)計了阻抗控制器，實現(xiàn)了負載的軌跡跟蹤和阻抗調(diào)節(jié)，采用間接自適應(yīng)魯棒控制方法，在存在參數(shù)不確定性和未知干擾的情況下，使系統(tǒng)的跟蹤性能達到最大，并獲得二級控制單元的精確參數(shù)估計。雖然以上方法能夠促進液壓起重機的軌跡控制效果，提高液壓起重機對目標軌跡的跟蹤正確度，但是，由于這些方法沒有考慮系統(tǒng)中的死區(qū)補償以及前饋信號控制，使得這些方法控制液壓起重機對目標軌跡跟蹤時，跟蹤正確性不夠高，存在較大的波動和誤差。

對此，本文通過分析液壓起重機的結(jié)構(gòu)，建立了其旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和執(zhí)行機構(gòu)的運動學模型。引入一個正弦波信號，建立了死去補償裝置模型，將氣缸開始移動的位置（輸出行程和輸入行程）與輸入正弦波進行比較，以補償死區(qū)信號；并通過液壓起重機的頻率響應(yīng)函數(shù)，求取前饋信號增益，以控制液壓起重機對目標軌跡的跟蹤。為了驗證本文方法的有效性，利用本文方法對矩形目標軌跡、圓形目標軌跡以及三角形目標軌跡進行了跟蹤測試，通過觀察測試曲線以分析本文方法的控制效果。

1 液壓起重機分析

圖1 為轉(zhuǎn)向節(jié)臂式液壓起重機，其具有3 個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和1 個伸縮關(guān)節(jié)。液壓起重機的第2 和第3個水平旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，提供了起重機在x與z軸上的笛卡爾操作［7-8］。

圖1 液壓起重機Fig.1 Hydraulic crane

通過Denavit-Hartenberg 方法可以求取負載的位置方程［9］為

式中：xTP、yTP、zTP分別為負載在x、y、z3個軸向上的位置；L1、L2分別為第2 和第3 個水平旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的長度；q1為第 2 旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)與x軸的夾角；q2為第 3 個水平旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)與第2旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的夾角。

從式（1）可見，負載在y軸上的位置為0，因此，在對液壓起重機的運動學分析時可忽略其y軸信息。

第 2 和第 3 個水平旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的角速度為q˙1和q˙2，可通過xTP、zTP計算而得到，方程為

式中：J-1為逆雅可比矩陣，其表達式為

根據(jù)起重機的逆運動學方法，通過q2的正弦值以及余弦值求取其正切值，在對正切值求取反變換，即可獲取q2的值為

獲取q2后，可將其聯(lián)合L1、L2來求取q1的值為

接頭的旋轉(zhuǎn)由液壓執(zhí)行器驅(qū)動。氣缸行程函數(shù)的關(guān)節(jié)角度值是一個特定于結(jié)構(gòu)的幾何映射，其測量了起重機接頭之間的距離。

采用曲線擬合的方法將氣缸活塞行程表示為關(guān)節(jié)角度的函數(shù)，從而獲得直接作動器運動學。首先，利用逆執(zhí)行器映射對操作點進行等距采樣；然后，將輸入和輸出數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為采樣數(shù)據(jù)，從而為直接執(zhí)行器運動學的曲線擬合提供了樣本數(shù)據(jù)。氣缸行程p擬合為連接角q的多項式函數(shù)可表示為

式中：N為擬合給定采樣數(shù)據(jù)時的多項式總數(shù)；K為多項式系數(shù)，其可通過Matlab 的數(shù)值曲線擬合工具箱確定［10］。

利用鏈式法則，對式（6）進行計算，以求取執(zhí)行機構(gòu)的速度值p˙［11］為

2 控制系統(tǒng)設(shè)計

本文設(shè)計的液壓起重機控制系統(tǒng)的框圖如圖2所示。

圖2 液壓起重機控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of hydraulic crane control system

圖2 表達了控制信號從路徑發(fā)生器到氣缸活塞行程和速度變化的完整信號流。圖中，控制系統(tǒng)的輸入端是一個路徑發(fā)生器，它在笛卡爾空間中提供一個具有負載位置和速度的時間序列?？刂葡到y(tǒng)通過起重機的逆運動學方法，得到起重機的關(guān)節(jié)角作為負載位置的函數(shù)。通過起重機的正向運動學方法，求取前饋控制信號所需要的逆雅可比方程。

由于液壓起重機中兩個氣缸的方向控制閥是重疊閥，因此，輸入端存在非線性的固有死區(qū)。本文通過引入一個相對低頻的正弦波來發(fā)現(xiàn)死區(qū)，將氣缸開始移動的位置（輸出行程和輸入行程）與輸入正弦波進行比較，以補償死區(qū)信號。由此可得死區(qū)補償裝置的模型為

式中：u為進入控制閥的控制信號；bpos、bneg分別為輸入信號ux的正和負時，氣缸開始移動的位置。

由于起重機的非線性特性，當施加多個周期的正弦波時，氣缸行程值將會產(chǎn)生漂移。此時，可利用輸入信號減去其導數(shù)平均值的線斜率，以消除測量數(shù)據(jù)的漂移。消除測量數(shù)據(jù)的漂移后，可從每次測量值中準確地提取出測量值振幅和相位，以求取測量的頻率響應(yīng)函數(shù)。通過該方法可得液壓起重機的頻率響應(yīng)函數(shù)為

式中：s為輸入信號的頻域值；K為穩(wěn)態(tài)增益；ζ為阻尼比；wn為固有頻率。

利用式（9）可求取下執(zhí)行器的傳遞函數(shù)GL（s）和上執(zhí)行器的傳遞函數(shù)GU（s）為

利用式（9）可計算出圖2 中前饋信號的反向穩(wěn)態(tài)增益kess為

聯(lián)合式（10）～式（12），可求出下執(zhí)行器的前饋增益值kessL和下執(zhí)行器的前饋增益值kessU分別為

3 實驗結(jié)果

以 Intel I3 雙核 CPU、4 GB 內(nèi)存的 Lenovo 計算機上作為實驗平臺，通過Matlab/Simulink 作為實驗軟件，對本文所設(shè)計方法的軌跡跟蹤效果進行實驗測試。測試中采用了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法作為對比，更為直觀地觀察本文方法的軌跡跟蹤優(yōu)越性。實驗中設(shè)置了多種目標軌跡，通過對本文方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的跟蹤軌跡進行觀察，以分析不同方法的軌跡跟蹤性能。

3.1 矩形目標軌跡跟蹤測試

通過設(shè)定一個矩形目標軌跡，利用本文方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對該目標軌跡進行跟蹤。兩種方法的對矩形目標軌跡的跟蹤結(jié)果如圖3所示。

通過觀察圖3 中兩種方法對矩形目標軌跡的跟蹤曲線，可以發(fā)現(xiàn)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的跟蹤軌跡中存在較多的波動，而且跟蹤軌跡相對目標軌跡產(chǎn)生偏移時，需要調(diào)整更久才能再次貼合目標軌跡。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的跟蹤軌跡中，與目標軌跡的最大偏差度為14.81%。本文方法的跟蹤軌跡波動次數(shù)較小，而且產(chǎn)生偏移時，能夠較快地再次貼合目標軌跡。本文方法的跟蹤軌跡中，與目標軌跡的最大偏差度為9.33%。由此說明，本文方法能夠較好地跟蹤矩形目標軌跡，跟蹤過程中出現(xiàn)的波動次數(shù)較少。

圖3 不同方法對矩形目標軌跡的跟蹤結(jié)果Fig.3 Tracking results of rectangular target trajectories by different methods

3.2 圓形目標軌跡跟蹤測試

圖4 顯示了不同方法對圓形目標軌跡的跟蹤結(jié)果。

如圖4 可見，與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對圓形目標軌跡的跟蹤曲線相比，本文方法對圓形目標軌跡的跟蹤曲線更為平滑，出現(xiàn)波動的次數(shù)更少。在對圓形目標軌跡跟蹤時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的跟蹤軌跡中，與目標軌跡的最大偏差度為32.26%。本文方法的跟蹤軌跡中，與目標軌跡的最大偏差度為12.5%。說明，與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相比，本文方法能夠更好地對圓形目標軌跡進行跟蹤。

3.3 三角形目標軌跡跟蹤測試

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法與本文方法對三角形目標軌跡的跟蹤結(jié)果，如圖5所示。

圖4 不同方法對圓形目標軌跡的跟蹤結(jié)果Fig.4 Tracking results of circular target trajectories by different methods

圖5 不同方法對三角形目標軌跡的跟蹤結(jié)果Fig.5 Tracking results of triangular target trajectories by different methods

圖5 中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在對三角形目標軌跡進行跟蹤時，平穩(wěn)度不高，產(chǎn)生波動的次數(shù)較多。整個跟蹤過程中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的跟蹤曲線出現(xiàn)了多次較大的波動，與目標軌跡相比，其跟蹤曲線中產(chǎn)生的最大偏差度為26.07%。而本文方法對三角形目標軌跡進行跟蹤時，平穩(wěn)度較高，產(chǎn)生波動的次數(shù)較少。與目標軌跡相比，本文方法的跟蹤曲線中產(chǎn)生的最大偏差度為8.70%?？梢钥闯?，本文方法能夠較好地跟蹤三角形目標軌跡。說明本文方法有助于提高液壓起重機對目標軌跡的跟蹤正確度，使得液壓起重機能夠更為平穩(wěn)、準確地按照目標軌跡進行工作

4 結(jié)語

本文針對具有笛卡爾軌跡跟蹤任務(wù)的液壓起重機，設(shè)計了一種軌跡跟蹤控制方法。在對液壓起重機分析的基礎(chǔ)上，推導了其關(guān)節(jié)角速度以及執(zhí)行機構(gòu)的速度模型。引入一個相對低頻的正弦波，構(gòu)造了死區(qū)補償裝置模型。并通過液壓起重機的頻率響應(yīng)函數(shù)，計算了前饋信號的反向穩(wěn)態(tài)增益。通過觀察本文方法對矩形目標軌跡、圓形目標軌跡以及三角形目標軌跡的跟蹤曲線，分析了本文方法的跟蹤性能。通過本文方法的跟蹤曲線，本文方法不僅有助于提高液壓起重機對目標軌跡的跟蹤正確度，而且還能保證液壓起重機對目標軌跡跟蹤過程的平穩(wěn)性。