□周如俊

（灌南中等專業(yè)學(xué)校，江蘇灌南 222500）

例題（2020 年全國卷Ⅰ理科第20 題）已知A，B分別為橢圓的左、右頂點，G為E上頂點為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

第（1）問易求，橢圓E的方程為本文著重對第（2）問進(jìn)行“同構(gòu)”思維探究.

一、“同構(gòu)”運算思維的“過渡橋”

“同構(gòu)”運算思維的“過渡橋”，主要是指探尋圓錐曲線動弦過定點問題的條件與結(jié)論之間的問題同構(gòu)、邏輯重組、等價化歸，追究解法的自然與具有普遍指導(dǎo)意義的通性、通法，從而提煉一類問題解決的基本思想.

數(shù)學(xué)運算“同構(gòu)”是解決高考問題、獲得數(shù)學(xué)結(jié)果不可缺失的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié).對于直線CD過定點問題，自然的思路是把直線CD方程化為y-y0=k(x-x0)的形式，則定點為(x0,y0).其解法因坐標(biāo)設(shè)點而異，選擇不同運算方向、不同運算方法，解題過程繁簡不一，但是曲徑通幽.

方法一：直求法 .設(shè)P點坐標(biāo)(6,m)，通過直線PA、PD與橢圓兩個交點特征，由韋達(dá)定理分別求出兩點坐標(biāo)，寫出直線方程CD，即從而完成定點證明.此法解法自然，但對學(xué)生運算素養(yǎng)要求較高.

阿峰給我們推薦了一家當(dāng)?shù)靥厣牟宛^，就在老市場那邊，那條街有許多酒吧餐廳還有賣當(dāng)?shù)匚锲泛鸵恍┞糜渭o(jì)念品的商店。那家餐館生意很好，等著吃飯的人在街邊排隊。阿峰說回去的時候你只要叫輛突突，兩塊錢就可以把你們送回酒店。這里通用美金。阿峰覺得我們除了看古跡也應(yīng)該去逛逛這條街，因為這是暹?，F(xiàn)在最繁華和熱鬧的地方了。

方法二：特值法.從特殊情況同構(gòu)，如點P(6,6)，易求出直線CD方程為猜想定點坐標(biāo)結(jié)論，再論證猜想，體現(xiàn)解題思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.此法結(jié)論明確，但論證中求解坐標(biāo)計算運算量偏大，仍是考生此法越不過的“算”坎.

方法四：斜率法.利用橢圓上點與任意關(guān)于原點對稱的兩條連線的斜率乘積為定值的常 用 結(jié) 論故有-3yy=(x-3)(x-3（)以下解法

CDCD同代換法），從而避免非對稱式中因無法使用韋達(dá)定理解題被“卡住”的尷尬局面，體現(xiàn)了“對稱轉(zhuǎn)化”的同構(gòu)簡化策略.

方法六：齊次法.依據(jù)“大道至簡”、“移中不變”（斜率值不變）原理實施齊次化變換，利用過原點兩條張弦斜率之積為定值的簡潔特性，快速求出直線mx'+ny'=1 中m，n之間關(guān)系，從而鎖定定點坐標(biāo)，有效降低運算的難度.

具體解法是：

此外，還有仿射法[1]，即“伸縮變換”（化“橢”為“圓”）、“簡化運算”的“同構(gòu)”思維策略，有關(guān)文獻(xiàn)已闡述，不再贅述.

二、“同構(gòu)”解法思維的“中轉(zhuǎn)站”

“同構(gòu)”解法思維的“中轉(zhuǎn)站”主要是指探尋圓錐曲線動弦過定點問題的條件與結(jié)論之間的異題同解、解法歸一、模式同構(gòu)，追尋解法的“化歸”與“改頭換面”形異質(zhì)同的試題的識別、破解，從而抓住一類問題解決的本質(zhì)思想.

借鑒齊次法解法，通過數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模，可將例題化歸為“常態(tài)二次圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）F(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2≠ 0)上給定的P點與異于P點的動弦MN兩端點之間斜率之和（之積）為定值時，求解（證）動弦過定點的問題”，借助數(shù)學(xué)語言表征出相關(guān)“通法”引理與定理，能凸顯解題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

首先給出如下引理（證明過程略）.

【引理】M、N常態(tài)二次圓錐曲線F(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2≠ 0) 上 異于給點P(x0,y0)的動弦MN兩端點.已知直線PM，PN的斜率存在，分別記為kPM，kPN.將原點平移到點P(x0,y0)，設(shè)平移后的直線M'N'方程為mx'+ny'=1 ，并 記F1=2Ax0+C，F(xiàn)2=則有：

利用引理，給出如下定理（證明過程略，有興趣的讀者可參閱筆者拙文[2]）.

【定理】常態(tài)二次圓錐曲線F(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2≠ 0)上有一定點P(x0,y0)與異于P點的動弦MN兩端點. 已知直線PM，PN的斜率存在，分別記為kPM，kPN.并記F1=2Ax0+C，F(xiàn)2=2By0+D.

1.若kPM+kPN=λ，則有：

上述定理“同構(gòu)”常態(tài)二次圓錐曲線動弦過定點（定向）問題，形成一類簡捷、易記、便用的通法，克服了相關(guān)結(jié)論推導(dǎo)過程繁雜、表達(dá)式形式不一、相互間關(guān)聯(lián)度低、識記難等缺陷.

依托高考試題數(shù)據(jù)分析，是探索與“同構(gòu)”數(shù)學(xué)本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的重要研究手段，有利于增強(qiáng)學(xué)生基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實問題的意識.文獻(xiàn)大數(shù)據(jù)分析表明，2018 年全國卷（理）Ⅰ第19 題、2017 年全國卷（理）Ⅰ第 20 題、2016 年浙江高中競賽第17 題、2013 年江西卷（理）第20 題、2011 年全國高中聯(lián)賽第 11 題、2010 年江蘇卷第18 題、2009 年遼寧卷（理）第22 題、2005 年江西卷（理）第20 題、2004 年北京卷（理）第17題等高考（競賽）試題都屬于圓錐曲線動弦過定點類問題.

三、“同構(gòu)”命題思維的“背景源”

“同構(gòu)”命題思維的“背景源”主要是指探尋圓錐曲線動弦過定點問題的條件與結(jié)論之間的異題同源、命題同質(zhì)、解答同法，探尋解法的“共源”與“命題蓋頭”的揭秘、規(guī)律的破譯，從而領(lǐng)悟一類問題解決的核心思想.

極點與極線是高考圓錐曲線有關(guān)直線過定點的試題命題的隱含的一種背景知識.“一點一線一世界”，通過數(shù)學(xué)抽象與數(shù)據(jù)分析“同構(gòu)”，可以“識破”試題中蘊含的有關(guān)極點與極線的知識背景，并將使高考試題解法建構(gòu)為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的思維系統(tǒng)，從而有效把握命題的規(guī)律．

借助范方兵、王芝平的研究[3]所得，筆者給出如下極點與極線的主要性質(zhì)：

【極點和極線的幾何定義】如圖1，P不是圓錐曲線上的點，過P點引兩條割線依次交圓錐曲線于點E，F(xiàn)，G，H，連接EG，F(xiàn)H交于點M，連接EH，F(xiàn)G交于點N，則MN為點P對應(yīng)的極線，直線MP為點N對應(yīng)的極線，直線PN為點M對應(yīng)的極線，MNP稱為“自極三點形”.

圖1

【極點和極線的代數(shù)定義】已知圓錐曲線Γ為Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 ，則 稱 點P(x0,y0) 和直線=0 為圓錐曲線Γ的一對極點和極線.

【極點和極線的調(diào)和共軛】如圖2，設(shè)極點P關(guān)于圓錐曲線Γ的極線為l，過極點P任作一割線交Γ于A，B，交極線l于Q，則反之，若有則稱點P，Q調(diào)和分割線段AB，或稱點P與Q關(guān)于調(diào)和共軛．

圖2

以極點極線作為背景命制的試題屢見不鮮［如2019 年全國Ⅲ卷（理）第21 題、2008 年安徽卷（理）第22 題、2011 年四川卷（理）第21題等］，這既是高考考查潛能的需要，也是命題者學(xué)術(shù)背景使然[4].圓錐曲線的極點極線性質(zhì)，與“普法”思維聯(lián)合與“同構(gòu)”，既能“秒殺”試題的答案，也能增加試題解答的“珠聯(lián)璧合”.

圖3

對于例題溯源，第（2）問：如圖3，極點P(6,m)的極線+my=1 過定點同樣，極點的極線為x=6.運用極點極線知識求解可瞬間鎖定答案.