□張 昆

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北 235000）

在探究平面幾何證明思路時(shí)，題設(shè)條件、題斷結(jié)論與證明思路（簡稱為“三要素”）都與其所設(shè)定的背景情境結(jié)構(gòu)密切相關(guān).因此，只有將證明思路作為整體背景結(jié)構(gòu)的一部分時(shí)，探究活動(dòng)才能起作用.這是“格式塔”（用信息組建輪廓的“完形”，信息輪廓經(jīng)由準(zhǔn)確性檢驗(yàn)，形成結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)是某個(gè)平面幾何知識(shí)或原理的體現(xiàn)）心理學(xué)觀點(diǎn)所堅(jiān)持的[1].只有充分考慮“三要素”的背景結(jié)構(gòu)，才有利于探究證明思路.

一、探究平面幾何證明思路的途徑分析

在探究平面幾何問題證明思路時(shí)，解題主體應(yīng)該仔細(xì)辨別“三要素”可能設(shè)定的情境所隱含的信息輪廓（往往不止一個(gè)）特點(diǎn)，并分析這些特點(diǎn)，比照具體公理、定理、性質(zhì)等平面幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，或在過去的探究證明思路實(shí)踐中已經(jīng)萌生并且保存在記憶中的觀念，從而賦予信息輪廓以平面幾何具體知識(shí)結(jié)構(gòu)的意義.可行的命題證明思路，往往蘊(yùn)含于這種信息特點(diǎn)所生成的背景結(jié)構(gòu)賦予信息輪廓以幾何意義中.

發(fā)現(xiàn)具有一定難度問題的證明思路，一定不是以題設(shè)條件的簡單疊加自然推導(dǎo)出題斷結(jié)論，而是必須利用“三要素”形成（不止一種）輪廓（轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)）背景，從中離析出具體的證明思路.思維中的哪些信息要素占據(jù)主導(dǎo)地位，這是隨著問題的不同特點(diǎn)而不同的，不可能給出一個(gè)具體程式.

從信息到組構(gòu)輪廓，再到檢驗(yàn)輪廓形成真確結(jié)構(gòu)的過程，蘊(yùn)含著平面幾何問題證明思路的觀念，給平面幾何推理論證教學(xué)提供了方向、途徑與策略.只有通過將“三要素”組成真確結(jié)構(gòu)，才能從中體會(huì)與發(fā)現(xiàn)證明思路.數(shù)學(xué)教師離開這條途徑的教學(xué)方式，必定損傷教學(xué)有效性.因此，這種發(fā)現(xiàn)對(duì)于命題證明教學(xué)具有重要現(xiàn)實(shí)意義.

二、探究平面幾何證明思路的教學(xué)示例

陸游詩云：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”《增廣賢文》曰：“理在用中方識(shí)妙，事非經(jīng)過不知難.”雖有至善的教學(xué)理論，如果不將其與具體的教學(xué)實(shí)踐結(jié)合起來，那么教學(xué)理論的力量是蒼白的，教學(xué)實(shí)踐無法被理論引入到那種至善方向，必定損傷教學(xué)有效性[2].以下舉例說明運(yùn)用“三要素”萌生真確結(jié)構(gòu)，探究平面幾何問題證明思路的策略與途徑.

例 1如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連結(jié)CF，過點(diǎn)D作CF的垂線交CF于點(diǎn)E，設(shè)AD=a，AB=b.求證

采用分析法，結(jié)論①的突出特點(diǎn)就是數(shù)據(jù)形式，首先考察被開方數(shù)，可得：

由形式的相似性，分子可以寫成：

由②的誘發(fā)，考慮構(gòu)造容納②的某個(gè)結(jié)構(gòu)形式，聯(lián)想到勾股定理，于是希冀構(gòu)造一個(gè)直角三角形，并且意識(shí)到其兩直角邊分別為2a與b，與等式③形成關(guān)聯(lián).由思維的監(jiān)控系統(tǒng)可以意識(shí)到，這條證明思路已經(jīng)出現(xiàn).

在圖 1 中，由這兩組數(shù)（式）決定某些要素已經(jīng)存在，另一些要素還沒有出現(xiàn)，可以通過輔助線構(gòu)造出來，其要素組成的整體結(jié)構(gòu)是直角三角形.如此，延長CF交DA的延長線于G，所要的Rt△CDG就構(gòu)成了.

圖1

證明：延長CF交DA的延長線于G，可得由“邊角邊”公理知△AFG△BFC，所以，AG=BC=a. 在 △CDG中 ，由 于DC⊥DG，所以

由于DE⊥CG，所以

由④⑤知

又CG=（2a）2+b2=4a2+b2，DG=2a，DC=b，將這三個(gè)數(shù)據(jù)代入式⑥，可以解得，DE

這道題所設(shè)定的條件與結(jié)論，涉及線段長度的數(shù)量a，b和的具體特點(diǎn).因此，在探究證明思路時(shí)，考慮結(jié)論式①代表的圖形特點(diǎn)，讓我們聯(lián)想到直角三角形勾股定理，正是勾股定理結(jié)構(gòu)將相關(guān)題設(shè)、結(jié)論及其蘊(yùn)含的思路等要素形成幾何意義，啟發(fā)制作輔助線.教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)在于，教師應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生從“三要素”中，萌生直角三角形的勾股定理結(jié)構(gòu)，而不應(yīng)該直接讓學(xué)生制作這兩條輔助線，從而將證明思路給予學(xué)生.

例2如圖2，平行四邊形ABCD中，BF=DG，BF與DG相交于點(diǎn)E，連結(jié)AE.求證：AE是∠BED的平分線.

采用分析法，要證明AE是∠BED的平分線，由“角平分線的互逆定理”知，只要過點(diǎn)A作AN⊥BF于N，AM⊥DG于M，并證明AN=AM（記作②），就達(dá)到目的.如何證明等式②成立呢？

在解題教學(xué)中，由“三要素”組建結(jié)構(gòu)探究證明思路的原理，想到必須要將①②放入一個(gè)結(jié)構(gòu)中去，才有可能獲得這個(gè)問題的證明思路.筆者在長期數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)了具有不同思維方式的兩類情況：

第一種情況，存在少數(shù)對(duì)圖形中線段關(guān)系特點(diǎn)特別敏感的學(xué)生.這類學(xué)生由AN⊥BF與AM⊥DG這兩組線段垂直作為背景性條件特點(diǎn)，立即意識(shí)到一種運(yùn)算結(jié)構(gòu)，即試探由①②組成的一種運(yùn)算關(guān)系BF·AN=DG·AM（記作③；題設(shè)條件、題斷結(jié)論與證明思路這“三要素”組成一個(gè)結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)中應(yīng)該含蘊(yùn)證明思路），證明③成立就行了.由③左右兩邊的積的結(jié)構(gòu)形式，考慮到可證明△ABF與△ADG的面積相等，因?yàn)檫@兩個(gè)三角形面積都等于平行四邊形面積的一半.這類學(xué)生的思維具有直覺上突發(fā)性領(lǐng)悟的特點(diǎn)，這需要對(duì)圖形信息（線段垂直）要素關(guān)系特別敏感，是偏于幾何型思維的一種體現(xiàn).

圖2

大部分學(xué)生都很難采用上述這類學(xué)生的途徑發(fā)現(xiàn)證明思路.因此，教師必須要為這類學(xué)生開拓更為廣闊的背景，這種背景需要探究平面幾何證明的經(jīng)驗(yàn)與觀念的指導(dǎo).這就是第二種情況.通過一段較長時(shí)間學(xué)習(xí)，學(xué)生積累了探究平面幾何證明思路的經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該能夠形成這樣的觀念：其一，絕大多數(shù)情況下，教科書（或數(shù)學(xué)試卷等）所提供的幾何證明題不會(huì)出現(xiàn)多余的條件；其二，題設(shè)條件肯定成立，要證明的結(jié)論肯定也成立.第二點(diǎn)可以萌生出探究證明思路的觀念，就是如何配置條件因素與結(jié)論因素，從而生成某種意義上的一種大的背景結(jié)構(gòu)，在這種背景結(jié)構(gòu)中，可能蘊(yùn)含證明思路.

那么，如何將上述第二條探究證明題思路的觀念應(yīng)用于這道題中來呢？由于這道題中最為重要的條件是等式①，要證明的結(jié)論是等式②，如此，在探究證明思路時(shí)，解題主體就會(huì)將自己的注意力集中于如何配置①②這兩個(gè)等式，使這兩者組織成一種更大的背景結(jié)構(gòu)，再給這種背景結(jié)構(gòu)賦予具體的幾何意義.那么，如何配置①②這兩個(gè)等式？

一種想法是，將①②的左右兩邊進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，在其結(jié)果中尋找有意義的幾何結(jié)構(gòu).可以得到這樣的一系列等式：

學(xué)生需要結(jié)合圖2的圖形直觀，辨別出哪些等式有價(jià)值？在圖2中，等式④⑤⑦很難得到一種像樣的幾何意義的解釋，只有等式⑥，結(jié)合圖2中的兩個(gè)線段的垂直關(guān)系，可以賦予其幾何意義.聯(lián)結(jié)AF、AG，等式⑥兩邊的兩條線段乘積分別是△ABF與△ADG面積的2 倍，都等于平行四邊形ABCD的面積.因此等式⑥成立 . 由于BF=DG，故AN=AM，從而AE是∠BED的平分線[3].

兩類學(xué)生最終都形成一種結(jié)構(gòu)，即等式⑥，沒有這樣的結(jié)構(gòu)，證明過程就不能發(fā)生.然而，達(dá)到這個(gè)結(jié)構(gòu)的思維途徑不同：第一種情況的特點(diǎn)是學(xué)生直觀上把握?qǐng)D2 的相關(guān)要素結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，屬于直覺領(lǐng)悟；第二種情況的特點(diǎn)是學(xué)生沒有直接領(lǐng)悟到等式⑥，此時(shí)，就需要利用過去探究證明思路所形成的一系列經(jīng)驗(yàn)與觀念的介入.

三、探究證明思路的形式邏輯與背景結(jié)構(gòu)之間關(guān)系

對(duì)于邏輯推理內(nèi)涵，丹齊克說得好：“嚴(yán)密推理及其規(guī)律是人類智慧的骨架：每一個(gè)具有智力的人在他的日?；顒?dòng)中都有機(jī)會(huì)應(yīng)用這些規(guī)律.他知道，要想嚴(yán)密推理，首先必須把前提作明確的規(guī)定，然后一步一步地應(yīng)用邏輯的規(guī)律，最后達(dá)到一個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論是他使用的邏輯方法所要達(dá)到的唯一結(jié)果.”[4（]著重號(hào)為原文所加）

遺憾的是，許多教師沒有認(rèn)識(shí)到，這種嚴(yán)密邏輯不能提供具體論證思路.卡爾文說：“邏輯是論題的一種屬性而非精神過程的屬性.邏輯性是由對(duì)事物的內(nèi)在秩序的猜測所組成的——但只是當(dāng)確實(shí)有一種明確無誤的內(nèi)在順序可作猜測時(shí)（數(shù)學(xué)即佳例）.”[5]這說明邏輯推理只能作為說服他人的精致表達(dá)結(jié)果，它沒有提供這種表達(dá)結(jié)果的來源.因此，借助于平面幾何命題論證的學(xué)科素材，培養(yǎng)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)證明思路的能力顯得特別重要.這些邏輯環(huán)節(jié)是如何產(chǎn)生的？邏輯環(huán)節(jié)的序列是如何安置的？繞不過由“三要素”組建結(jié)構(gòu)的輔助.

教師具有一種傾向：向?qū)W生提供研究好的邏輯證明環(huán)節(jié)，卻把依據(jù)題設(shè)條件及題斷結(jié)論的信息要素組成可能結(jié)構(gòu)的合理性排除在外.如此，將邏輯推理還原為受任意綜合的零零散散的規(guī)則支配的游戲，從而把邏輯過程看作是先天預(yù)成的.雖然這種專門化的嚴(yán)密邏輯推理是值得贊賞的，但是如果這意味著真正描繪的是邏輯推理的結(jié)果，而不是通過“三要素”萌生結(jié)構(gòu)生成證明思路，那就把主體思維變成貧乏的東西，剝?nèi)チ俗鳛榻Y(jié)果的嚴(yán)密邏輯在真正的創(chuàng)造性過程中可以起到的重要作用，就與課程目標(biāo)格格不入.

關(guān)于形式邏輯與“三要素”的背景結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系問題是值得所有數(shù)學(xué)教師深入思考的.不論數(shù)學(xué)教師對(duì)形式邏輯、背景結(jié)構(gòu)與認(rèn)識(shí)論三者之間所形成的關(guān)系具有怎樣的理解，不論數(shù)學(xué)教師是否意識(shí)到邏輯通路的出現(xiàn)是不是需要正視“三要素”組成的結(jié)構(gòu)問題，這種結(jié)構(gòu)總是客觀地確確實(shí)實(shí)地存在于那里，并且對(duì)真正的、有意義的、創(chuàng)造性的、動(dòng)態(tài)的探究證明思路過程總是起著決定性的作用.這是數(shù)學(xué)教師必須要認(rèn)識(shí)到的.

平面幾何證明過程不是簡單地在條件疊加過程中得出結(jié)論的.對(duì)學(xué)習(xí)主體而言，有些比較困難的問題的證明，一定要通過題設(shè)條件、題斷結(jié)論與證明思路“三要素”的整合，形成有價(jià)值的結(jié)構(gòu)（由于整合“三要素”所生成的輪廓不止一個(gè)，這種結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生有一個(gè)價(jià)值判斷與選擇的過程）.數(shù)學(xué)教師在平面幾何推理論證教學(xué)中，要特別注意這種形成結(jié)構(gòu)的過程，本文所舉的兩個(gè)例子就很好地說明了這個(gè)問題.