王凱宇 龐祥龍 李曉光

(西北工業(yè)大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 西安 710129)

超疏水表面液滴的振動(dòng)特性與接觸線的移動(dòng)、液滴體積、基底振幅等因素密切相關(guān).本文在基底振幅較小且恒定的條件下, 研究了超疏水表面液滴的共振振幅、模式區(qū)間、共振頻率等振動(dòng)特性及其與液滴體積(20—500 μL)的關(guān)系.此外, 將基于一般性疏水表面建立的Noblin 共振頻率計(jì)算模型應(yīng)用于超疏水表面, 并提出“虛駐點(diǎn)”的概念, 借此對(duì)模型進(jìn)行了誤差分析和修正.研究表明: 1)共振時(shí), 液滴高度變化率即比振幅隨體積增大而增大, 隨階數(shù)增大而減小; 2)各模式區(qū)間的起止頻率首尾相接, 其范圍隨體積增大而減小; 3)液滴體積越大, 共振頻率越小, 隨著階數(shù)增大, 共振頻率f 與體積V 的關(guān)系趨于f -V–0.4, 不同于一般性疏水表面上的f -V–0.5; 4)直接應(yīng)用Noblin 模型計(jì)算共振頻率會(huì)產(chǎn)生較大誤差, 主要原因在于液滴表面波波段數(shù)量統(tǒng)計(jì)存在較大偏差, 而修正后的模型可以準(zhǔn)確計(jì)算超疏水表面大體積液滴的共振頻率.

1 引 言

液滴振動(dòng)是一種常見(jiàn)且容易調(diào)控的動(dòng)態(tài)行為,在液滴霧化[1]、微流控制[2]、物質(zhì)結(jié)晶[3,4]等諸多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用.此外, 利用液滴振動(dòng), 還可以實(shí)現(xiàn)平衡態(tài)接觸角、表面張力、粘度等物理量的測(cè)量[5?9], 促進(jìn)內(nèi)部物質(zhì)混合[10?13], 增大細(xì)胞球尺寸[14], 等等.

對(duì)液滴振動(dòng)物理特性的研究由來(lái)己久.早在1879 年, Rayleigh[15]就從理論上研究了非黏性自由液滴的振動(dòng).此后, 人們逐步研究了自由液滴[16],以及親水、一般性疏水[3?5,17?27]和超疏水表面上液滴/座滴[28?32]的振動(dòng)行為.確定不同條件、不同振蕩模式下座滴的共振頻率具有重要意義.2004 年,Noblin 等[26]將座滴等效成水池中的液體, 結(jié)合水池一維表面波的本征頻率公式, 給出了一般性疏水表面上大體積液滴的共振頻率公式, 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為吻合.2006 年, Lyubimov 等[27]報(bào)導(dǎo)了半球形液滴的受迫振動(dòng)行為, 在忽略黏性耗散的情況下給出了相應(yīng)的共振頻率計(jì)算公式.2009 年, Ilyukhina等[28]建立了適用于描述任意浸潤(rùn)性表面的接觸線固著的小體積液滴振動(dòng)模型, 理論上可以計(jì)算超疏水表面上液滴的共振頻率.但實(shí)際上, 由于超疏水表面粘滯力很小, 液滴的接觸線常處于移動(dòng)狀態(tài), 與模型假定的接觸線固著并不相符.2012 年,Mettu 和Chaudhury[32]報(bào)導(dǎo)了超疏水表面小體積(1—20 μL)液滴的振動(dòng)行為, 他們采用白噪聲混頻信號(hào)來(lái)驅(qū)動(dòng)液滴振動(dòng), 利用傅里葉轉(zhuǎn)換同時(shí)獲取液滴在各個(gè)頻率下的振幅, 通過(guò)這種間接測(cè)量手段來(lái)確定共振頻率, 其實(shí)驗(yàn)結(jié)果與基于一般性疏水表面建立的Noblin 模型[26]理論值較為符合.2014 年,周建臣等[31]在保持基底振幅恒定的情況下, 通過(guò)調(diào)節(jié)頻率變化直接測(cè)量了超疏水表面小體積(9 μL)液滴的共振頻率, 發(fā)現(xiàn)測(cè)量結(jié)果滿足Rayleigh 公式, 這與之前Ramos 等[36]得出的超疏水表面球形液滴可近似看作自由液滴的結(jié)論相一致.然而, 作者沒(méi)有對(duì)大體積液滴的振動(dòng)行為, 及其共振頻率是否滿足Noblin 模型進(jìn)行研究.

總體而言, 目前對(duì)超疏水表面液滴的振動(dòng)特性認(rèn)識(shí)還不充分, 尤其是大體積液滴(大于20 μL)的共振頻率、振幅變化等問(wèn)題還未見(jiàn)報(bào)導(dǎo).此外, 以往的研究總是忽略了振動(dòng)模式(階數(shù))對(duì)應(yīng)的頻率區(qū)間問(wèn)題.液滴會(huì)隨頻率變化做不同階數(shù)的振動(dòng), 而每種振動(dòng)階數(shù)都不只對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率點(diǎn), 而是一個(gè)頻率區(qū)間, 這里我們稱其為“模式區(qū)間”.處于不同振動(dòng)階數(shù)的液滴的某些性質(zhì), 如內(nèi)部流場(chǎng)特征[33,34], 會(huì)存在明顯差異, 因此, 了解模式區(qū)間的變化規(guī)律具有重要意義, 而這方面的內(nèi)容目前也未見(jiàn)報(bào)導(dǎo).

基于以上背景, 本文在保持基底振幅恒定的條件下, 研究了超疏水表面液滴的振動(dòng)特性及其與液滴體積(20—500 μL)的關(guān)系.首先對(duì)不同體積液滴的幅頻關(guān)系進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)量, 從中提煉出了共振振幅、模式區(qū)間、共振頻率等參量的變化規(guī)律;繼而針對(duì)共振頻率進(jìn)行了理論研究, 重點(diǎn)研究了Noblin 模型的適用性和修正問(wèn)題.通過(guò)引入“虛駐點(diǎn)”對(duì)液滴的幾何特征進(jìn)行分析, 闡明了Noblin 模型誤差產(chǎn)生的原因及其隨液滴體積變化的機(jī)制, 并在此基礎(chǔ)上建立了修正模型.實(shí)驗(yàn)證明, 使用修正模型可以準(zhǔn)確計(jì)算超疏水表面大液滴的共振頻率.

2 研究方法

如圖1 所示, 采用美瑞克RK1212BL(20 W)音頻信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生正弦信號(hào), 將信號(hào)輸出至揚(yáng)聲器以產(chǎn)生簡(jiǎn)諧振動(dòng), 通過(guò)調(diào)節(jié)輸出電壓來(lái)調(diào)節(jié)揚(yáng)聲器振幅.實(shí)驗(yàn)中, 頻率調(diào)節(jié)范圍為30—350 Hz.利用烷基化二氧化硅溶膠, 結(jié)合提拉和水洗工藝在單凹玻片基底上制備超疏水二氧化硅薄膜[35], 其表面水接觸角為162° ± 2°, 滾動(dòng)角為5° ± 2°.將鍍膜后的玻璃片固定在揚(yáng)聲器振膜上, 再將水滴置于凹面中間使其做受迫振動(dòng).與Noblin 等[26]的實(shí)驗(yàn)一樣, 本研究采用帶凹面的基底, 目的是防止液滴在振動(dòng)過(guò)程中滾落.所用單凹玻片凹面處的曲率很小, 曲率半徑高達(dá)106.8 mm, 而本研究中最大液滴(500 μL)的寬度僅為12.6 mm, 因此, 液滴可近似看作是在平面基底上振動(dòng).采用高速攝像機(jī)以每秒2000 幀的速度拍攝液滴的振動(dòng)行為; 使用Adobe Photoshop 軟件對(duì)振動(dòng)瞬態(tài)圖像進(jìn)行疊加,判斷振動(dòng)階數(shù); 使用Adobe Illustrator 軟件測(cè)量液滴的輪廓長(zhǎng)度.

3 結(jié)果與討論

3.1 模式區(qū)間和共振振幅

如果液滴振動(dòng)劇烈, 引起了接觸線的大幅振蕩, 那么在接觸線滯后阻力等因素的影響下, 液滴振動(dòng)頻率會(huì)趨于基底振動(dòng)頻率的一半[5,17,19,31],在這種情況下, 液滴有時(shí)會(huì)做非軸對(duì)稱的星形振動(dòng)[5,17,19].如果振動(dòng)比較輕微, 接觸線保持固著或者僅輕微振蕩, 液滴則會(huì)做與基底同頻的軸對(duì)稱振動(dòng).本研究發(fā)現(xiàn), 超疏水表面的大體積液滴很容易在劇烈振動(dòng)下失穩(wěn), 因此, 通過(guò)調(diào)節(jié)電壓使得基底處于小幅振動(dòng), 并觀測(cè)到在這種情況下, 不同體積(20—500 μL)液滴皆與基底同頻振動(dòng), 且始終呈現(xiàn)為軸對(duì)稱的形態(tài).由于振動(dòng)的軸對(duì)稱性, 只考察液滴在側(cè)視平面內(nèi)的振動(dòng).

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖, 圖中玻片凹面處的曲率大小與實(shí)際情況相同.Fig.1.Sketch of experiment set, with the curvature of the concave area equal to that of the real substrate.

在振動(dòng)中, 液滴表面有些點(diǎn)的位置不隨時(shí)間變化, 被稱作“駐點(diǎn)”.駐點(diǎn)數(shù)量會(huì)隨頻率增加, 如圖2所示.一般把駐點(diǎn)數(shù)量的一半定義為振動(dòng)階數(shù), 并用于劃分振動(dòng)模式.本研究對(duì)階數(shù)的定義略有不同, 下面以圖3 為例進(jìn)行說(shuō)明.若接觸線固著, 液滴底部會(huì)存在兩個(gè)駐點(diǎn), 如同左邊液滴的情形.而本實(shí)驗(yàn)中可以觀察到接觸線的小幅移動(dòng), 如同右邊液滴的情形.后者相對(duì)于前者, 底部駐點(diǎn)消失, 按照通常的定義, 振動(dòng)模式由3 階降為2 階.然而,由于接觸線位移很小, 兩個(gè)液滴的形態(tài)差異并不明顯, 因此, 為便于比較, 仍將右邊液滴的振動(dòng)稱為3 階振動(dòng).換言之, 本文在討論實(shí)驗(yàn)中的液滴振動(dòng),以及接觸線移動(dòng)的Noblin 模型時(shí), 設(shè)定振動(dòng)階數(shù)n與駐點(diǎn)數(shù)k的關(guān)系為n=k/2 + 1, 而在討論接觸線固著的Noblin 模型時(shí), 仍然沿用階數(shù)的一般定義(n=k/2).

圖2 500 μL 液滴在不同頻率下的振動(dòng)瞬態(tài)圖像疊加(接觸線位移非常小, 近似認(rèn)為三相線處為駐點(diǎn)) (a) 30 Hz;(b) 50 Hz; (c) 70 Hz; (d) 100 HzFig.2.Snapshot-superimposed images of an oscillated droplet (500 μL) under different frequencies: (a) 30 Hz; (b) 50 Hz;(c) 70 Hz; (d) 100 Hz.

圖3 接觸線固著(左)和移動(dòng)(右)模式下駐點(diǎn)數(shù)分別為6 和4 的液滴振動(dòng)示意圖Fig.3.Schematics of droplet oscillations under pinned (left)and moving (right) contact lines, with the quantity of stationary points being 6 and 4, respectively.

為描述液滴振動(dòng)的劇烈程度, 引入一個(gè)無(wú)量綱參量—液滴比振幅, 定義為液滴在振動(dòng)過(guò)程中最大和最小高度之差 ?h與液滴靜止時(shí)的高度h之比.根據(jù)揚(yáng)聲器在不同頻率下的響應(yīng)選擇合適的輸入電壓(0.004—1.441 V), 來(lái)確?；渍穹?約16 μm)不隨頻率變化, 排除基底振幅變化對(duì)結(jié)果的影響.圖4(a)—4(d)展示了4 種不同體積液滴的比振幅隨頻率的變化, 可以看出, 整體上, 振動(dòng)階數(shù)隨振動(dòng)頻率增大而增大, 而每種模式的振動(dòng)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率區(qū)間(模式區(qū)間), 區(qū)間的兩端大致位于幅頻曲線的極小值處, 也就是說(shuō), 液滴剛進(jìn)入或離開(kāi)某個(gè)模式區(qū)間時(shí), 振幅最小.圖4(e)總結(jié)了不同體積液滴的3—5 階振動(dòng)模式區(qū)間, 可以看出,各階振動(dòng)模式區(qū)間首尾相接, 起止頻率隨體積增大而減小, 區(qū)間范圍也隨體積而減小.

在圖4(a)—4(d)中, 每個(gè)模式區(qū)間內(nèi)都有一個(gè)比振幅極大值, 對(duì)應(yīng)的頻率即為該振動(dòng)模式中的共振頻率.對(duì)于同一體積, 液滴的共振比振幅隨階數(shù)增大而減小; 對(duì)于同一階數(shù), 共振比振幅隨體積增大而增大, 如圖4(f)所示.前人在針對(duì)親水表面液滴以及超疏水表面小體積液滴的研究中也發(fā)現(xiàn)了類似規(guī)律[8,26,32], 然而, 有些研究忽視了基底本身振幅隨頻率的變化[26,32], 因此所得到的結(jié)果難以準(zhǔn)確反映出液滴振幅隨頻率和階數(shù)的變化規(guī)律.相比之下, 本文通過(guò)調(diào)節(jié)電壓使基底振幅在各個(gè)頻率下保持恒定, 排除了基底振幅變化的干擾, 從而使得具體結(jié)果和相關(guān)規(guī)律具有較高的準(zhǔn)確性和可靠性.

3.2 理論和實(shí)驗(yàn)共振頻率

超疏水表面的球形微液滴可以近似看作自由液滴, 它們的本征頻率可以用Rayleigh 公式來(lái)估算[31,36].而本研究涉及的液滴體積較大, 受到較強(qiáng)的重力作用, 這些液滴明顯偏離球形, 不能再視為自由液滴, 因此Rayleigh 公式不再適用.而Noblin 等提出的共振頻率計(jì)算模型適用于大體積液滴[26],因此采用這種模型用于共振頻率的理論計(jì)算.

Noblin 模型描述的是球冠/半球形液滴, 即一般性疏水表面上的液滴.該模型將靜止液滴輪廓弧長(zhǎng)p設(shè)定為表面波總長(zhǎng)度, 相鄰兩駐點(diǎn)包含1/2 個(gè)波段, 并根據(jù)接觸線移動(dòng)與否, 將液滴振動(dòng)分為兩種類型: 接觸線固著型和接觸線移動(dòng)型, 如圖5 所示.在此基礎(chǔ)上, 根據(jù)駐點(diǎn)數(shù)量確定表面波的波段數(shù)量N, 再利用表面波總長(zhǎng)p求出波段平均長(zhǎng)度,并將其定義為表面波的平均波長(zhǎng)

圖4 不同體積液滴的幅頻關(guān)系 (a) 20 μL, (b) 70 μL, (c) 200 μL, (d) 500 μL; 模式區(qū)間(e), 共振比振幅(f)與液滴體積的關(guān)系Fig.4.Droplet amplitudes versus oscillation frequencies for different droplet volumes: (a) 20 μL; (b) 70 μL; (c) 200 μL; (d) 500 μL;mode ranges (e) and resonance amplitudes (f) versus droplet volumes.

對(duì)于接觸線固著和移動(dòng)模型, 表面波波段數(shù)量N與駐點(diǎn)數(shù)的關(guān)系分別為

其中,j,k分別為這兩種模型中的駐點(diǎn)數(shù).需要指出的是, 式(3)意味著將圖5(b)中最下方駐點(diǎn)與基底之間的波段數(shù)量視為1/4, 盡管Noblin 等在文章中并未對(duì)該細(xì)節(jié)進(jìn)行說(shuō)明.

圖5 Noblin 模型示意圖 (a)接觸線固著型; (b)接觸線移動(dòng)型, 其中藍(lán)色區(qū)域表示靜止液滴, 實(shí)線、虛線分別為液滴處于最大和最小高度時(shí)的輪廓Fig.5.Illustrations of two types of Noblin models: (a) Fixed contact line; (b) mobile contact line, where the blue areas represent the static droplets, the solid and dashed curves represent droplet profiles at the maximum and minimum heights, respectively.

在此基礎(chǔ)上, Noblin 等將座滴的表面波等效為水池中液體的表面波, 把式(1)計(jì)算出的表面波平均波長(zhǎng)代入用來(lái)計(jì)算水池中液體一維表面波本征頻率f的公式[37]:

并將計(jì)算得到的f視作液滴共振頻率的理論值.其中,g為重力加速度,κ?1,γ,ρ分別為液體的毛細(xì)長(zhǎng)度、表面張力和密度,h為水池中水深(用液滴平均高度V/(πa2) 代替,V,a分別為液滴體積和接觸半徑),λ和q分別為水池中液體表面波的波長(zhǎng)(用座滴表面波平均波長(zhǎng)代替)和波矢.值得一提的是, 這種等效體的思路在科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛, 其本質(zhì)在于借用成熟的、易測(cè)量的研究體系來(lái)模擬復(fù)雜的實(shí)際研究對(duì)象, 基于各種設(shè)定和近似來(lái)測(cè)量或計(jì)算出所研究對(duì)象的參數(shù)或特性.例如, 在液體彈珠(空氣環(huán)境中表面附著顆粒的液滴)有效表面張力問(wèn)題的研究中, 常把液體彈珠等效成同體積的裸液滴, 利用裸液滴的表面張力測(cè)量手段得到液體彈珠的有效表面張力, 對(duì)此, 李曉光等人近期進(jìn)行了深入探討[38?41].

本研究將超疏水表面上的液滴等效成水池中的液體, 將相關(guān)液滴參數(shù)代入Noblin 模型來(lái)計(jì)算共振頻率.具體來(lái)說(shuō), 量取4 種不同體積液滴靜止?fàn)顟B(tài)的總弧長(zhǎng)和俯視圖半徑, 分別利用接觸線固著和移動(dòng)模型計(jì)算出3—6 階共振頻率理論值.從圖6(a)可以看出, 理論和實(shí)驗(yàn)共振頻率有一定偏差, 但整體規(guī)律一致, 都隨體積增大而減小, 隨階數(shù)增大而增大.從圖6(b)可以看出, 共振頻率f與體積V近似滿足f?V a(a為曲線斜率), 并且隨著階數(shù)增大, 實(shí)驗(yàn)曲線和理論曲線的斜率逐漸接近,都趨于–0.4.Noblin 等[26]用一般性疏水表面作基底, 也發(fā)現(xiàn)了f?V a的關(guān)系, 然而在他們的研究中,隨著階數(shù)的增大,a趨于–0.5.斜率的差異說(shuō)明, 當(dāng)表面浸潤(rùn)性不同時(shí), 液滴共振頻率隨體積變化的規(guī)律也有所不同.

3.3 共振頻率理論模型的誤差與修正

從圖6 還可以看出, 相對(duì)于實(shí)驗(yàn)測(cè)量的共振頻率, 基于接觸線固著模型的理論值偏大, 而基于接觸線移動(dòng)模型的理論值偏小.這說(shuō)明對(duì)超疏水表面上的液滴直接套用Noblin 模型會(huì)產(chǎn)生特定誤差.分析原因, 主要有兩方面因素需要考慮, 一是液滴的平均高度, 二是液滴表面波的波長(zhǎng).Noblin 模型在建立過(guò)程中將體積與底面積之比定義為液滴“平均”高度, 實(shí)為有效高度, 用于等效水池中的液體深度.這一設(shè)定其實(shí)是將球冠/半球形液滴等效成了圓柱體.按照該思路, 對(duì)于超疏水表面球形/橢球形液滴有效高度的求算, 應(yīng)該用體積除以俯視圖面積而不是底面積, 所以, 本研究將俯視圖面積代入計(jì)算.然而, 由于液滴并不關(guān)于俯視圖截面嚴(yán)格上下對(duì)稱, 所以算得的有效高度與Noblin 模型的設(shè)定并不完全一致.為檢驗(yàn)有效高度的影響, 將不同體積液滴的實(shí)際高度和有效高度分別代入式(4), 發(fā)現(xiàn)雙曲正切函數(shù)tanh(qh)這一項(xiàng)在所有情況下都大于0.999(極限值為1), 實(shí)際高度和有效高度的差異所引起的共振頻率f的變化在0.1 Hz 量級(jí), 與共振頻率的大小相比可以忽略不計(jì).這意味著在分析Noblin 模型適用性時(shí), 可以忽略有效高度這一因素.

圖6 普通坐標(biāo)系(a)和雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系(b)中液滴3—6階振動(dòng)的共振頻率與體積的關(guān)系曲線Fig.6.Theoretical and experimental resonance frequencies versus droplet volumes under oscillation mode numbers ranging from 3 to 6: (a) General coordinate system; (b) logarithmic coordinate system.

對(duì)表面波波長(zhǎng)這一因素的分析, 也需要圍繞幾何特征來(lái)展開(kāi).對(duì)于接觸線固著模型, 基底上存在駐點(diǎn), 該駐點(diǎn)與上方相鄰駐點(diǎn)間包含了1/2 個(gè)波段(圖5(a)).超疏水表面上液滴的接觸線會(huì)隨液滴一起振動(dòng), 因此基底上并不存在駐點(diǎn).然而, 將橫向和縱向形變最大時(shí)的兩個(gè)液滴輪廓向基底下方延長(zhǎng), 交匯處可形成“虛駐點(diǎn)”, 如圖7 所示.可以認(rèn)為, 虛駐點(diǎn)與上方相鄰的實(shí)駐點(diǎn)間包含1/2 個(gè)波段, 該波段以基底為界分成兩個(gè)部分(A,B).這意味著, 基底與上方駐點(diǎn)間(B部分)的波段數(shù)量實(shí)際不足1/2, 所以, 直接采用Noblin 接觸線固著模型, 波段數(shù)量會(huì)比實(shí)際偏多, 導(dǎo)致由式(1)得到的平均波長(zhǎng)偏小, 繼而使得由式(4)計(jì)算出的共振頻率偏大.

圖7 超疏水表面液滴表面波的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.7.Schematic of the surface wave structure of a droplet on a superhydrophobic surface.

對(duì)于接觸線移動(dòng)模型, 如前所述, 式(3)意味著該模型將基底至上方最近鄰駐點(diǎn)間的波段數(shù)量設(shè)定為1/4, 這可以結(jié)合一般性疏水基底上液滴表面波的形狀(圖5(b))來(lái)理解.當(dāng)接觸角約為90°時(shí), 波段弧線與基底正交, 可以認(rèn)為基底將一個(gè)1/2 波段截去了一半, 所以基底與上方最近鄰駐點(diǎn)間只有1/4 個(gè)波段.然而, 在超疏水表面上, 由于接觸角較大, 虛駐點(diǎn)的位置又很靠近邊緣, 所以基底只將1/2 波段截去了一小半(圖7, 區(qū)域A),在基底之上余留了一大半(圖7, 區(qū)域B), 也就是說(shuō), 基底與上方最近鄰駐點(diǎn)間的波段數(shù)量大于1/4.所以, 直接采用Noblin 接觸線移動(dòng)模型, 波段數(shù)量會(huì)比實(shí)際偏少, 導(dǎo)致由式(1)得到的平均波長(zhǎng)偏大,繼而使得由式(4)計(jì)算出的共振頻率偏小.

此外, 以實(shí)驗(yàn)值為標(biāo)準(zhǔn), 接觸線固著模型的相對(duì)誤差隨體積增大而減小, 而接觸線移動(dòng)模型的情況則剛好相反(圖8).以20 μL 和500 μL 液滴的3 階振動(dòng)為例, 對(duì)二者使用固著模型時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差分別為26%和7%; 使用移動(dòng)模型時(shí)分別為9%和17%.這主要是因?yàn)? 隨著體積增大, 接觸線移動(dòng)變得困難, 其長(zhǎng)度變化率會(huì)逐漸減小.根據(jù)圖7,當(dāng)接觸線長(zhǎng)度變化率較小時(shí), 區(qū)域B所占的比例較大, 包含的波段數(shù)接近1/2, 也就是接近接觸線固著模型對(duì)波段數(shù)的設(shè)定, 所以, 此時(shí)采用固著模型誤差較小.反之, 當(dāng)接觸線長(zhǎng)度變化率較大時(shí),區(qū)域B所占比例較小, 包含的波段數(shù)接近接觸線移動(dòng)模型設(shè)定的1/4 個(gè)波段, 所以, 此時(shí)采用移動(dòng)模型誤差較小.

圖8 利用Noblin 接觸線固著模型(a)和移動(dòng)模型(b)求得的共振頻率的相對(duì)誤差與體積的關(guān)系Fig.8.Relative errors of resonance frequencies, obtained from the two types of Noblin models, versus droplet volumes: (a) Fixed-contact-line model; (b) mobile-contactline model.

綜上, 將兩種Noblin 模型直接應(yīng)用于超疏水表面上的液滴, 產(chǎn)生的誤差都來(lái)源于對(duì)表面波波段數(shù)量的判定, 此外, 無(wú)論哪一種模型, 產(chǎn)生的最小誤差都已經(jīng)接近10%(3 階振蕩時(shí)).為此, 引入兩個(gè)修正系數(shù)/幾何因子α和β來(lái)對(duì)波段數(shù)量進(jìn)行修正, 以期提高模型的適用性.如圖9 所示, 設(shè)定區(qū)域A和B分別包含α和β個(gè)1/4 波段, 由于整個(gè)區(qū)域包含1/2 個(gè)波段, 所以α+β=2.由于接觸角很大, 接觸線移動(dòng)范圍較小, 所以區(qū)域B占比總是比區(qū)域A大, 因此有: 0<α<1 , 1<β <2.

圖9 包含修正系數(shù) α 和 β 的表面波結(jié)構(gòu)示意圖Fig.9.Schematic of the surface wave structure with correction coefficients ( α and β ) involved.

如前文所述, 接觸線固著模型統(tǒng)計(jì)的波段數(shù)偏多, 即多統(tǒng)計(jì)了圖中區(qū)域A包含的“虛”波段數(shù), 因此, 應(yīng)將其減去:

其中,j,Nfixed和N分別為該模型的駐點(diǎn)數(shù)、及修正前后的總波段數(shù).

相應(yīng)的, 接觸線移動(dòng)模型統(tǒng)計(jì)的波段數(shù)偏少,具體說(shuō)來(lái)是對(duì)區(qū)域B的波段數(shù)估計(jì)不足, 因此, 應(yīng)予以補(bǔ)足:

其中,k,Nmobile和N分別為該模型的駐點(diǎn)數(shù)、及修正前后的總波段數(shù).

至此, 只需將式(2)和(3)分別替換為式(5)和(6), 就完成了對(duì)兩種Noblin 模型的修正.實(shí)際上, 雖然式(5)和(6)分別是對(duì)兩種不同模型的修正, 但都描述了真實(shí)的波數(shù), 因此完全等價(jià).對(duì)同一個(gè)液滴振動(dòng),k=j– 2, 將其代入式(6)即可得到與式(5)相同的表達(dá)式.也就是說(shuō), 對(duì)于超疏水表面接觸線移動(dòng)較小的液滴振動(dòng), 計(jì)算其理論共振頻率時(shí), 既可以采用修正后的Noblin 接觸線移動(dòng)模型, 也可以采用修正后的固著模型, 其結(jié)果是一樣的, 只要知道α或β的數(shù)值, 即可計(jì)算求解出唯一的共振頻率值, 下面以α為對(duì)象進(jìn)行討論.

利用實(shí)驗(yàn)測(cè)得的共振頻率, 可以反向推出四個(gè)體積、四個(gè)振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)的α值, 如表1 所示.繼而, 對(duì)所得α值進(jìn)行指數(shù)擬合, 就可以得到各個(gè)振動(dòng)模式下α隨體積連續(xù)變化的曲線(圖10(a)), 及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式(3—6 階):

表1 不同體積及階數(shù)對(duì)應(yīng)的修正系數(shù)αTable 1.Values of correction coefficient α under different droplet volumes and oscillation mode numbers.

圖10 (a)修正系數(shù) α 的擬合曲線; (b)修正前后Noblin模型的相對(duì)誤差Fig.10.(a) Fitted curves of the correction coefficient α ;(b) Relative errors of resonance frequencies from pristine and modified Noblin models.

為了檢驗(yàn)修正模型的有效性, 補(bǔ)充測(cè)量了體積為50 和350 μL 的液滴的3—6 階共振頻率, 并利用上述函數(shù)關(guān)系求出α值, 繼而求出相應(yīng)的理論共振頻率.結(jié)果發(fā)現(xiàn), 以實(shí)驗(yàn)值為標(biāo)準(zhǔn), 理論值的相對(duì)誤差最大不超過(guò)3%, 且受體積影響很小.相比之下, 直接運(yùn)用修正前的Noblin 模型, 產(chǎn)生的相對(duì)誤差遠(yuǎn)大于修正后的結(jié)果, 最大誤差更是達(dá)到了20%以上, 而且誤差受體積影響較大(圖10(b)).以上結(jié)果說(shuō)明, 修正模型可以大幅度提高大體積液滴共振頻率理論值的精確度, 相比原始的Noblin模型更適用于超疏水表面.

4 結(jié) 論

本文揭示了超疏水表面液滴的共振振幅、模式區(qū)間、共振頻率等振動(dòng)特性及其與液滴體積(20—500 μL)的關(guān)系.發(fā)現(xiàn)共振時(shí)液滴的變形程度總體上隨體積增大而增大, 隨階數(shù)增大而減小.指出每個(gè)振動(dòng)階數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率區(qū)間即模式區(qū)間,其范圍隨體積增大而減小.重點(diǎn)研究了共振頻率,發(fā)現(xiàn)共振頻率隨體積變化的指數(shù)關(guān)系不同于一般性疏水表面上的結(jié)果.在理論共振頻率的研究方面, 發(fā)現(xiàn)將基于一般性疏水表面建立的兩種Noblin模型直接應(yīng)用于超疏水表面會(huì)產(chǎn)生較大誤差, 其中, 接觸線固著模型得到的共振頻率偏大, 接觸線移動(dòng)模型得到的共振頻率偏小, 前者的誤差隨體積增大而減小, 后者的誤差隨體積增大而增大.提出了“虛駐點(diǎn)”的概念用于表面波形狀分析, 基于此揭示了上述誤差及其變化的來(lái)源: 采用固著模型時(shí),由于接觸線實(shí)際發(fā)生了移動(dòng), 導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)的波段數(shù)量偏多; 采用移動(dòng)模型時(shí), 由于接觸角遠(yuǎn)大于Noblin模型中的接觸角(約90°), 導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)的波段數(shù)量偏少.為此引入了幾何因子對(duì)波段數(shù)量進(jìn)行修正, 利用修正后的模型計(jì)算共振頻率誤差明顯減小, 最大相對(duì)誤差不超過(guò)3%.