何秋靜,楊文韜,王曉雅,支啟軍

(1.貴州師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550000；2.六盤水師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院,貴州 六盤水 553004)

2020年春，各高等學(xué)校積極響應(yīng)“停課不停教、停課不停學(xué)”的要求，在疫情防控中充分利用已有課程積累和網(wǎng)絡(luò)資源，積極開展線上授課和線上學(xué)習(xí)等在線教學(xué)活動(dòng)[1-3]。在此背景下，本文采用GeoGebra 5.0軟件開發(fā)了手機(jī)和電腦都可以實(shí)現(xiàn)小球做單擺實(shí)驗(yàn)的過程。GeoGebra是為小學(xué)到大學(xué)的教學(xué)而設(shè)計(jì)的開源動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，GeoGebra針對(duì)不同的數(shù)學(xué)物件，提供不同的視區(qū)。不同的視區(qū)提供各自適用的工具列，包含了特定的工具、指令以及內(nèi)建函數(shù)與運(yùn)算子，使用者可以運(yùn)用不同表征的數(shù)學(xué)物件，來創(chuàng)造動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)。根據(jù)GeoGebra軟件的特點(diǎn)，用來做物理仿真實(shí)驗(yàn)，可以作為物理教學(xué)的一個(gè)工具，下面以單擺為例，利用GeoGebra軟件實(shí)現(xiàn)單擺實(shí)驗(yàn)的演示與仿真。

如果把懸掛的小球(擺球)自平衡位置拉至一邊(擺角θ<5°)，然后釋放，擺球即在平衡位置左右做周期性擺動(dòng)，這種裝置稱為單擺[4]。單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，單擺的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)，在振幅較小時(shí)與振幅無關(guān)，但與擺長(zhǎng)有關(guān)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期也越長(zhǎng)[5-7]。單擺原理在高中甚至大學(xué)物理中占據(jù)著重要的地位，故弄清單擺的原理及特點(diǎn)是非常重要的。本文利用GeoGebra 5.0軟件制作了小球做單擺的演示實(shí)驗(yàn)，在設(shè)計(jì)過程中嚴(yán)格遵循單擺的原理，運(yùn)用微分方程推導(dǎo)出擺球擺動(dòng)的函數(shù)關(guān)系式，提高仿真實(shí)驗(yàn)的可信度。學(xué)生在操作過程中，可以更深入的掌握單擺的原理，甚至比真實(shí)實(shí)驗(yàn)更加鍛煉理論推導(dǎo)能力。

1 實(shí)驗(yàn)原理

單擺是理想的物理模型，由理想化的擺球和擺長(zhǎng)組成，擺線的質(zhì)量不計(jì)，不可伸縮[8]。

(1)如圖1，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，小球受力為：重力mg和繩子的張力T。將重力進(jìn)行正交分解，重力mg可以分解為沿圓弧的切向和徑向的兩個(gè)力,L與垂線的夾角為θ,小球的位移為x。

圖1 單擺的受力分析圖

(2)根據(jù)牛頓第二定律，可以列出小球在切線方向上的運(yùn)動(dòng)方程：

切線方向的微分方程為：

(1)

方程兩邊消去質(zhì)量m得：

(2)

(3)

(4)

在切線方向小球僅受切向力，由(2-1)式可知

(5)

由Fτ=maτ

(6)

由圓周運(yùn)動(dòng)公式可知：aτ=ω2x

(7)

(2-7)式即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程

解微分方程得：θ=θ0sinωt，或θ=θ0cosωt

(8)

綜上所述，單擺的擺動(dòng)近似是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)[9]。

2 用GeoGebra仿真單擺實(shí)驗(yàn)過程

2.1 單擺仿真實(shí)驗(yàn)的動(dòng)態(tài)平面設(shè)計(jì)

GeoGebra是一款專門為理科生設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，GeoGebra軟件類似于幾何畫板式的幾何工具，它結(jié)合“幾何、代數(shù)、微積分”，可在上面畫點(diǎn)、向量、線段、多邊形、圓錐曲線、甚至函數(shù)[10]。通過單擺原理的理論推導(dǎo)，可知圓頻率ω與擺長(zhǎng)L有關(guān)，因此在設(shè)計(jì)過程中定義小球的數(shù)學(xué)函數(shù)是關(guān)鍵。

圖2 單擺的動(dòng)態(tài)平面效果圖

在3D繪制區(qū)中，基于單擺在平面坐標(biāo)系的設(shè)計(jì)步驟，可繪制出單擺擺動(dòng)的立體效果，單擺3D效果圖如圖3所示。

圖3 單擺的動(dòng)態(tài)立體效果圖

2.2 單擺仿真實(shí)驗(yàn)的正弦函數(shù)設(shè)計(jì)

單擺的擺角很小時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以近似的看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)可以用正弦函數(shù)來描述。

首先定義向量u[(0,-2),(3,-2)],作為時(shí)間t軸，再定義向量v[(0,-2.5),(0,-0.5)],作為y軸。定義動(dòng)點(diǎn)D(0.04t,-2+0.2lsin(ωt)),作為小球的運(yùn)動(dòng)情況。定義時(shí)間t1:t1=0.01t。最后定義曲線j[0.04t1,-2+0.2lsin(ωt1),t1,0,t],作為正弦曲線。單擺的正弦函數(shù)圖像如圖4所示。

圖4 單擺的正弦函數(shù)圖像

3 仿真實(shí)驗(yàn)的分析與總結(jié)

在GeoGebra平臺(tái)上設(shè)計(jì)單擺實(shí)驗(yàn)的過程不僅要掌握單擺擺動(dòng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論知識(shí)，還要具備數(shù)學(xué)的邏輯能力。在制作仿真單擺實(shí)驗(yàn)的過程中總結(jié)出了GeoGebra5.0軟件作為輔助教學(xué)的一些優(yōu)點(diǎn)。

3.1 操作簡(jiǎn)單，調(diào)試方便

GeoGebra 5.0軟件是定義數(shù)學(xué)物件來創(chuàng)造動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，平常所用到的線段、圓、曲線等，可直接用中文輸入代數(shù)區(qū)，中文輸入后就會(huì)顯示所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)格式，在繪制過程中只需把數(shù)字插入即可。在工具欄上的滑動(dòng)條，可根據(jù)所設(shè)置的變量，在區(qū)間內(nèi)隨意調(diào)試，這樣可看見不同情況下的實(shí)驗(yàn)效果，進(jìn)而可以記錄所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，這與真實(shí)實(shí)驗(yàn)收集多組數(shù)據(jù)的操作是一致的，且導(dǎo)出手機(jī)后可隨時(shí)觀看實(shí)驗(yàn)效果，可見GeoGebra平臺(tái)有平易近人的特點(diǎn)。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)與真實(shí)實(shí)驗(yàn)融合度高

圖5 小球擺過和個(gè)周期的時(shí)間圖

在單擺實(shí)驗(yàn)中最關(guān)鍵的就是控制擺角小于5°，在真實(shí)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中運(yùn)用工具是比較容易實(shí)現(xiàn)的，在GeoGebra平臺(tái)上如何保證小球的擺動(dòng)幅度在5°以內(nèi)呢？經(jīng)研究討論，結(jié)合單擺的擺動(dòng)的理論知識(shí)，單擺的擺角與擺長(zhǎng)有關(guān)，且由(8)式可知擺角是關(guān)于時(shí)間的正弦函數(shù)，故可在2.1單擺仿真實(shí)驗(yàn)的平面設(shè)計(jì)步驟中，起初定義點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1.3+0.2lsin(ωt),1.1-l)，但發(fā)現(xiàn)當(dāng)l取很小時(shí)，擺度過大，已經(jīng)不是單擺過程，從仿真來看，小球已經(jīng)離開圓c運(yùn)動(dòng)，或者說圓軌跡運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)已經(jīng)不重合，如圖6對(duì)點(diǎn)B定義的效果圖(a)所示。經(jīng)研究討論后定義點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1.3+0.1lsin(ωt),1.1-l)，這樣可以始終保證小球的擺動(dòng)幅度在5°之內(nèi)，如圖6對(duì)點(diǎn)B定義的效果圖(b)所示。

(a)

3.3 提高數(shù)學(xué)的邏輯思維能力

由于GeoGebra5.0軟件是用數(shù)學(xué)公式來指令動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，所以在GeoGebra平臺(tái)上做仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，要具備數(shù)學(xué)的邏輯思維。例如，在做單擺仿真實(shí)驗(yàn)的正弦函數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，小球擺動(dòng)的時(shí)間為80時(shí)，正弦函數(shù)圖很長(zhǎng)，不能體現(xiàn)小球擺動(dòng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況，且影響美觀，如圖7所示。

圖7 單擺的正弦函數(shù)圖

由于正弦函數(shù)圖像太長(zhǎng)，即x坐標(biāo)太長(zhǎng)。解決的方法就是壓縮，怎么壓縮函數(shù)？這就要運(yùn)用數(shù)學(xué)方面知識(shí)以及邏輯思維能力，單擺繪制的正弦曲線采用參數(shù)方程繪制，將x的參數(shù)乘以一個(gè)小于1的倍數(shù)，y坐標(biāo)不變就可以把函數(shù)圖像的x軸壓縮，從而把很長(zhǎng)的時(shí)間壓縮到一個(gè)較短的坐標(biāo)軸上，如圖8所示。

圖8 單擺的正弦函數(shù)圖

4 結(jié) 語

本文利用GeoGebra 5.0軟件實(shí)現(xiàn)了小球單擺實(shí)驗(yàn)的演示與仿真，對(duì)本實(shí)驗(yàn)中擺角的控制以及單擺的正弦曲線進(jìn)行了巧妙設(shè)計(jì)，這將有助于學(xué)生加深對(duì)小球做單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理解。此外，GeoGebra 5.0軟件在小學(xué)至大學(xué)中作為一種輔助教學(xué)工具，在未來有很大的發(fā)展前景。不管是教師將GeoGebra 5.0軟件制作的動(dòng)畫用于教學(xué)，還是學(xué)生拿來作為課前預(yù)習(xí)的實(shí)驗(yàn),這對(duì)于物理概念和物理規(guī)律的掌握以及運(yùn)用都有很大的幫助。