曹 琪，王秀蓮

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)問(wèn)題是近年來(lái)金融數(shù)學(xué)的研究熱點(diǎn)之一，如何通過(guò)控制投資和再保險(xiǎn)使目標(biāo)值達(dá)到最優(yōu)一直是相關(guān)學(xué)者關(guān)注的問(wèn)題.文獻(xiàn)[1-2]利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原則確立了動(dòng)態(tài)再保險(xiǎn)策略，分別實(shí)現(xiàn)了期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)的最小化和預(yù)期貼現(xiàn)盈余水平的最大化.考慮到保險(xiǎn)公司出于盈利目的會(huì)選擇拿出一部分資產(chǎn)進(jìn)行投資來(lái)增加收入，文獻(xiàn)[3]在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的背景下建立模型，研究投資和比例再保險(xiǎn)的最優(yōu)問(wèn)題，并得到了其顯式解和最優(yōu)策略.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[4]又進(jìn)一步假設(shè)盈余的擴(kuò)散漸近模型中的2 個(gè)Brown 運(yùn)動(dòng)是相關(guān)的，以此建立了對(duì)應(yīng)的Hamilton-Jacob-Bellman（HJB）方程，得到了最優(yōu)投資策略和顯式解.非比例索賠再保險(xiǎn)的應(yīng)用也很廣泛，文獻(xiàn)[5]對(duì)隱含風(fēng)險(xiǎn)中性分布在巨災(zāi)超額損失再保險(xiǎn)的定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[6]則研究了多重超額損失再保險(xiǎn)的破產(chǎn)問(wèn)題.在經(jīng)典破產(chǎn)理論中，盈余為0 即認(rèn)為破產(chǎn)，從實(shí)際情況考慮，保險(xiǎn)公司的赤字在一定范圍內(nèi)，可以通過(guò)向銀行貸款等方式來(lái)彌補(bǔ)赤字，由此文獻(xiàn)[7]提出了實(shí)值破產(chǎn)的概念；文獻(xiàn)[3-4]則將模型建立在絕對(duì)破產(chǎn)的基礎(chǔ)上，絕對(duì)破產(chǎn)理論定義盈余為負(fù)無(wú)窮時(shí)才會(huì)破產(chǎn)；在現(xiàn)實(shí)中，當(dāng)赤字達(dá)到一定值時(shí)，公司會(huì)因資不抵債而不能繼續(xù)運(yùn)營(yíng)，由此文獻(xiàn)[8]考慮赤字達(dá)到某個(gè)負(fù)值時(shí)即認(rèn)為破產(chǎn).

本文基于復(fù)合Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程，在超額索賠再保險(xiǎn)的基礎(chǔ)上加入投資，在Black-Scholes 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的背景下建立模型，利用帶漂移的Brown運(yùn)動(dòng)模擬盈余過(guò)程，以公司盈余達(dá)到某個(gè)下界M 定義破產(chǎn)，將相應(yīng)的破產(chǎn)概率作為值函數(shù)，建立了最優(yōu)值函數(shù)的HJB 方程，從而得到最優(yōu)控制策略，并求得最優(yōu)值函數(shù)的顯式解.

1 模型描述

2 HJB 方程

3 HJB 方程的解