季 鷺，王同科

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

Abel 變換是一種積分變換，常用于分析球?qū)ΨQ或軸對稱問題.Abel 變換經(jīng)常與Fourier 變換、Mellin 變換、Hankel 變換以及Radon 變換聯(lián)系起來，其在物理和工程等領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛[1-6].

定義[7]設(shè)函數(shù)f（r），r∈（0，+∞），則f（r）的Abel變換定義為

容易證明當(dāng)r→+∞時，若（fr）趨于0 的速度大于r-1，則Abel 變換（1）存在，且其逆變換為

為解決實際領(lǐng)域的計算問題，相關(guān)學(xué)者對Abel變換及其高精度計算進(jìn)行了大量研究.文獻(xiàn)[8]采用三次樣條函數(shù)近似方法計算Abel 逆變換，將其應(yīng)用于等離子體研究，該方法計算簡便，反演精度高，程序易于實現(xiàn).文獻(xiàn)[9]提出了一種預(yù)先確定強度分布的視線投影擬合方法（FLiPPID）計算Abel 逆變換.文獻(xiàn)[10]對Abel 逆變換的8 種算法進(jìn)行比較并分析了每種算法的計算效率，通過Abel 逆變換實現(xiàn)了千兆像素的圖像重構(gòu).文獻(xiàn)[11]通過構(gòu)造改進(jìn)的Chebyshev 積分運算矩陣，給出了穩(wěn)定的Abel 逆變換算法，并用于獲得自然界中不同測試剖面的Abel 逆變換圖像，即使對于數(shù)據(jù)中的小采樣間隔和高噪聲水平，也可以獲得較好的精度.文獻(xiàn)[12]基于Tikhonov 的正則化思想給出了Abel 變換數(shù)值反演的一種新算法，該算法具有精度高且數(shù)值穩(wěn)定等優(yōu)點.

本文探討Abel 變換及其逆變換在無窮遠(yuǎn)點的Puiseux 級數(shù)展開式，并給出一種高精度的Gauss-Legendre 積分算法計算它們的離散值.

1 Abel 變換及其逆變換在無窮遠(yuǎn)點的Puiseux級數(shù)展開式

對于包含奇點的函數(shù)，在奇點處其Taylor 級數(shù)不存在，但是Puiseux 級數(shù)可能存在.Puiseux 級數(shù)是冪級數(shù)的一種推廣，其展開式中可以包含負(fù)指數(shù)冪、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和對數(shù)因子，Puiseux 級數(shù)常用于描述微分方程的解在奇點的性態(tài).函數(shù)在某點的Puiseux 級數(shù)可以通過符號計算得到.

定理1 在Abel 變換定義中，設(shè)f（r）在r=+∞處的Puiseux 級數(shù)展開式為

其中：ui、μij為非負(fù)整數(shù)，則（fr）的Abel 變換F（y）在y=+∞的Puiseux 級數(shù)展開式為

其中B（p，q）為beta 函數(shù)，其高階偏導(dǎo)數(shù)可用漸近展開方法高效計算[13].

做變換t=x2，則有

將上式代入式（5），即得式（4）成立.

定理2 在Abel 逆變換式（2）中，設(shè)F（y）在y=+∞的Puiseux 級數(shù)展開式為

做變換t=x2，則有

將上式代入式（8），即得式（7）成立.

注：由級數(shù)展開式（4）和式（7）知，當(dāng)α1＞1 時，（fr）的Abel 變換存在；當(dāng)β1＞0 時，F(xiàn)（y）的逆變換存在.

定理1 和定理2 給出了Abel 變換在y=+∞的展開式和逆變換在r=+∞的展開式，這些展開式可以用來計算Abel 變換及其逆變換當(dāng)自變量較大時的近似值，但當(dāng)自變量變小時計算精度會逐漸降低，需要采用其他方法得到高精度的近似值.

2 Abel 變換的高精度數(shù)值積分方法

Abel 變換及其逆變換本身都是無窮限奇異積分，本節(jié)設(shè)計高效率的數(shù)值積分方法計算這些變換在一些點的近似值.由Abel 變換F（y）及其逆變換（fr）的積分表達(dá)式可知，被積函數(shù)在r=y 或y=r 處弱奇異，下面給出計算弱奇異積分的改進(jìn)Gauss-Legendre 求積方法.

設(shè)函數(shù)（ft）在區(qū)間（a，b）內(nèi)充分光滑，且在t=a和t=b 處存在Puiseux 級數(shù)展開式

其中：u、ui、v、wi、μi，j和vi，j均為非負(fù)整數(shù)；αi和βi為實數(shù)，滿足-1 ＜α1＜α2＜…＜αu，-1＜β1＜β2＜…＜βv.在式（9）中，選擇充分大的u 和v，可使余項r（at）和r（bt）在[a，b]上充分光滑.

設(shè)（ft）滿足式（9），考慮積分

對于區(qū)間（0，1）上的任意函數(shù)g（t），其q 個節(jié)點的Gauss-Legendre 求積公式為

其中σλ＞0 和θλ∈（0，1）（λ=1，2，…，q）分別為Gauss-Legendre 求積公式的權(quán)重和節(jié)點. 將區(qū)間[a，b]劃分為n 等份，步長為h=（b-a）/n，節(jié)點為ti=a+ih，i=0，1，…，n.由式（11）可得復(fù)合Gauss-Legendre 求積公式為

當(dāng)被積函數(shù)（ft）在t=a 和t=b 處均奇異時，其Gauss-Legendre 求積公式的計算精度顯著下降.這種情形需要修正Gauss-Legendre 求積公式.

定理3[14]設(shè)函數(shù)（ft）在t=a 和t=b 處的級數(shù)展開式（9）成立，則修正的Gauss-Legendre 求積公式為

式（13）右端項中i=u 和i=v 的2 項之和可以作為其誤差主項.

Abel 變換及其逆變換是無窮限積分，需要通過變換將求積區(qū)間轉(zhuǎn)換為（0，1）.，由Abel 變換的定義可得

根據(jù)Abel 逆變換式（2），設(shè)G（y）=F（′y），并令t= yr22，則有

由式（14）和式（15）可知，這2 個變換后的積分在t=0 和t=1 處弱奇異，可以使用前面給出的Gauss-Legendre 算法計算.在應(yīng)用算法之前，需要被積函數(shù)在t=0 和t=1 處的有限項級數(shù)漸近展開式，這些展開式可在實際計算時由符號計算軟件直接給出，此處不再詳述.

3 數(shù)值算例

利用Mathematica 軟件編寫程序，得到（fr）的Abel變換在y=+∞的有限項漸近展開式為

表1 例1 函數(shù)的Abel 變換在一些點的計算值及輸出誤差Tab.1 The calculated values and output errors at some points of Abel transform in Example 1

再使用Gauss-Legendre 求積算法計算，得到該Abel變換在一些點的近似值，表1 給出了某些點F∞（y）的計算值和修正的Gauss-Legendre 方法（GL）的計算值以及GL 輸出誤差.

例1 中f（r）的Abel 變換的表達(dá)式未知，但由表1可以看出，當(dāng)yi變大時，F(xiàn)∞（yi）和數(shù)值積分方法的計算結(jié)果非常接近，說明這2 種方法均可行，但數(shù)值積分方法的計算量會隨yi變大而變大.顯然，漸近展開式的方法更方便，但當(dāng)y 趨于零時，F(xiàn)∞（y）不再有效.

利用Mathematica 程序得到F（y）的Abel 逆變換在r=+∞的有限項漸近展開式為

表2 例2 函數(shù)的Abel 逆變換在一些點的計算值及誤差Tab.2 The calculated values and errors at some points of Abel inversion in Example 2

由表2 可見，隨著r 逐漸增大，漸近展開式誤差逐漸減小，當(dāng)r 趨于0 時，漸近展開式誤差變大，此時這種方法不再有效；而Gauss-Legendre 求積算法在整個區(qū)間上都具有很高的精度，但當(dāng)區(qū)間變大時，計算量隨之增加.

4 結(jié)語

本文得到了Abel 變換及其逆變換在無窮遠(yuǎn)點的Puiseux 級數(shù)展開式.這些展開式隨著自變量的變大越來越精確.對于自變量較小的情形，構(gòu)造了一種高精度的數(shù)值積分算法，數(shù)值算例表明，算法誤差大致在10-14～10-20，計算精度可以保證.當(dāng)然，數(shù)值積分算法當(dāng)自變量較大時仍可得到高精度的計算值，但計算量同時增加.因此，本文算法為Abel 變換的高精度計算提供了一種可行的方法.